四川省宜宾市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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满分150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号正确填涂在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.测试范围：人数A版必修第一册第一、二章.
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合用列举法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式可得，再由即可求得结果.
【详解】易知.
故选：B
2. 设，则下列不等式中正确的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式和不等式的传递性即可选出答案.
【详解】∵，由基本不等式得，∴
故选：B.
3. 已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用子集的定义即可求解.
【详解】∵集合满足， ∴集合一定包含元素1，2，可能包含元素3或元素4，
即或或或.故集合的个数是4个.
故选：D.
4. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】由条件可得二次方程有解，列不等式求的范围即可.
【详解】由已知二次方程有解，
所以，且，
所以且.
故选：D
5. 已知且，则的最小值为（ ）
A. B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为9.
故选：C
6. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分类讨论可得，，从而可得结论.
【详解】，
当时，可得，所以此时，
当时，可得，所以此时，故，
又，此时，
又，此时，故，
所以
故选：A.
7. 已知集合，，若满足，则实数的值为（ ）
A. 5或或3B. 5C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得，分、两种情况讨论，分别求出，再代入检验.
【详解】因为，且，
所以，
若，则，此时，，不满足，故舍去；
若，解得或，
当时，，集合不满足集合元素的互异性，故舍去；
当时，，，满足，符合题意；
综上可得.
故选：D
8. 已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（ ）
A. 1B. C. D. 与的取值有关
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案．
【详解】由题意，若，，
，
，
，
综上，集合.
所以集合A中所有元素的乘积为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的充要条件.
B. “”是“”的充分不必要条件.
C. 若，则“”是“”的充分不必要条件.
D. “”是“”的必要不充分条件.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】对于A：若，，满足，但是，故充分性不成立，
若，，满足，但是，故必要性不成立，
所以“”是“”的既不充分又不必要条件，故A错误；
对于B：可以推得出，故充分性成立，
由，推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对于C：由推不出，故充分性不成立，故C错误；
对于D：由，解得，
所以由推不出，故充分性不成立，
由推得出，故必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.
故选：BD
10. （多选）不等式的解集是，对于系数a,b,c，下列结论正确的是（ ）
A. a>0B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由不等式的解集为得，且方程的两根为，计算可得，再根据即可判断.
【详解】因为不等式的解集为，
所以，解得.
所以.
即.
故选：BCD.
11. 设集合为实数集的非空子集.若对任意，都有，则称为封闭集.以下结论正确的序号有（ ）
①为封闭集；
②若为封闭集，则一定有；
③存在集合，A不为封闭集；
④若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】ABC
【解析】
【分析】①设，，其中，验证否属于M即可判断；②取x＝y即可判断；③取集合即可判断；④取，即可判断．
【详解】①设，，其中．
则，
∵，，∴；
，
∵，，∴；
，
∵，，∴，
综上，为封闭集.①正确；
②若为封闭集，则，取，得，故②正确；
③取，
∵，∴A不为封闭集，故③正确；
④取，满足条件，但，
∴不是封闭集，故④错误．
故选：ABC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 集合，，则________.
【答案】
【解析】
分析】联立方程组，求解即可.
【详解】联立方程组，解得，
所以.
故答案为：.
13. 若，设，，则M，N的大小关系是M________N.（用“”、“”、“”、“”、“”填空）
【答案】
【解析】
【分析】利用作差法即可比较两数的大小.
【详解】
，
因为，所以，所以，所以.
故答案为：.
14. 若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】对方程的两个根进行分类讨论，求出不等式的解集，再让解集中含有两个整数，由不等式求的取值范围.
【详解】令，解得或.
当，即时，不等式解得，
则不等式中的两个整数解为2和3，有，解得；
当，即时，不等式无解，所以不符合题意；
当，即时，不等式解得，
则不等式中的两个整数解为0和-1，有，解得.
综上，的取值范围是或.
故答案为：或.
【点睛】关键点睛：本题考查了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想，掌握一元二次方程、一元二次函数和一元二次不等式三个二次之间的关系是解题关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出适当的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，．
（1）当时，求集合；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，得出，结合交集的概念即可得解；
（2）对集合是否是空集分类讨论，依次列出不等式（组）即可求解.
【小问1详解】
当时，集合，，
故．
【小问2详解】
当时，，即，满足，故满足题意；
当时，，即时，，
解得，于是得，所以，
故实数m的取值范围是．
16. （1）若命题：，是假命题，求的取值范围；
（2）若，成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，是真命题，再分、两种情况讨论，当时，解得即可；
（2）参变分离可得，成立，利用基本不等式求出，即可得解.
【详解】（1）若命题：，是假命题，
则命题：，是真命题，
当时恒成立，符合题意；
当时，则，解得，
综上可得，即的取值范围为；
（2）因为，成立，
即，成立，
所以，成立，
又，当且仅当，即时取等号，即，所以，
即实数的取值范围为.
17. 为宣传2023年上海马拉松，某校现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有形状、大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度均为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为.

（1）设其中一个栏目的宽为，试把整个矩形海报的面积表示成的代数式，并求出的最小值；
（2）如果要求整个矩形海报的面积不超过，并且的长度不超过的一半，求长度的取值范围.
【答案】（1），，的最小值为
（2）
【解析】
【分析】（1）设矩形栏目的高为，利用矩形栏目面积得，表示出海报广告的面积，利用基本不等式求出最小值即可；
（2）根据题意列不等式结合一元二次不等式的解法求解即可.
【小问1详解】
设矩形栏目的高为，由题意，所以，
则整个矩形海报广告的高为，宽为，(其中)，
则整个矩形海报广告的面积：
，
当且仅当，即时取等号，此时.
故当矩形栏目的宽为，高为时，可使整个矩形海报的面积最小为.
【小问2详解】
由题意，即，
所以，解得，
又的长度不超过的一半，所以，所以，
又，所以，
所以，即长度取值范围为.
18. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，且，求实数m的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求得，时，，再根据集合的并集定义求解即可；
（2）由集合对两端点的距离要求，可分三类情况考虑即得.
【小问1详解】
集合
当时，，
所以.
【小问2详解】
因为， ，
，且，
因为，则，
所以，
当时，，解得；
当时，，此时满足条件的m不存在；
当时，，解得，
综上，m的值为或.
19. 高一某学生阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积”
（1）若，，求和；
（2）证明：“”的充要条件是“”；
（3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为.记，，满足，对，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据的定义直接运算求解；
（2）根据的定义结合充分必要条件分析证明；
（3）首先表示出，，，结合基本不等式求出，即可得到的取值范围即可.
【小问1详解】
因为，，且，
所以，；
【小问2详解】
若，设，
由定义可知：且，
所以“”是“”的充分条件；
若，对任意，均有，
即对任意，均有，
由任意性可知，则，
所以“”是“”的必要条件；
综上所述：“”是“”的充要条件.
【小问3详解】
依题意，，，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
又，对，恒成立，
所以，即的取值范围为.