河南省南阳市六校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省南阳市六校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线斜率为，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是
A．B．C．D．
3．记椭圆：，双曲线：的离心率分别为，，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
4．点关于直线的对称点为（ ）
A．B．C．D．
5．已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．
6．已知圆与直线：相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（ ）
A．2B．C．3D．
7．已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（ ）
A．B．2C．D．3
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的斜率，则倾斜角
B．过点且与直线垂直的直线方程为
C．过任意两点，的直线都可以用方程表示
D．直角坐标系xOy内的任意直线都可以用方程表示
10．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为8c，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
11．已知抛物线：的焦点为，若过点的直线与交于两点，且在第一象限，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．面积的最小值为2
B．当直线的倾斜角为时，
C．线段的中点到的准线的距离等于
D．在x轴上存在一点，使直线与的斜率之和为定值
三、填空题
12．若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是 .
13．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，过椭圆上除A，B外任意一点P向x轴作垂线，垂足为Q，若，则椭圆的焦距为 .
14．已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为 .
四、解答题
15．设直线与交于点P，已知直线l过点P.
(1)若l与直线平行，求l的方程；
(2)若l在x轴和y轴上的截距互为相反数，求l的方程.
16．已知点，，，的外接圆为圆C.
(1)求圆C的方程；
(2)设的AB边上的高所在的直线为l，求l被圆C所截得的弦长.
17．已知椭圆C：的离心率，以C的四个顶点为顶点的四边形的面积为.
(1)求的方程；
(2)若直线交椭圆于两点，求.
18．已知直线l：与抛物线C：相切于点P.
(1)求C的方程以及点P的坐标.
(2)过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M.
（i）当轴时，求L的方程；
（ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值.
19．已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为.
(1)求C的方程.
(2)若动直线l过点F，且与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第四象限），过点M作直线的垂线，垂足为D.
（i）证明：直线DN恒过点；
（ii）设O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值.
1．A
根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案.
【详解】设倾斜角为，依题意，
由于，所以.
故选：A
2．C
【详解】试题分析：焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C．
考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．
3．B
由椭圆和双曲线离心率计算公式即可求解.
【详解】由题意知，，
因为，
所以，
即，解得.
故选：B
4．A
设对称点为，由，即可求解.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，
解得，即.
故选：A
5．C
过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为，由抛物线定义得到即可求解.
【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为.
如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为.
由抛物线的定义得，
所以，当三点共线时取等号，
故的最小值为.
|
故选：C
6．A
由为正三角形，得到圆心到直线的距离，即可求解.
【详解】圆C：，
即，圆心为，半径，
因为圆与：相交于两点，且为正三角形，
所以圆心到直线的距离，，
则，解得.
故选：A
7．B
根据直线与圆的位置关系，结合图象，利用点到直线的距离公式，可得答案.
【详解】由题意知圆O与l交于B，C两点，且，，
当直线过点时，得，
由对称性可知，折叠后的弧BC对应的圆的方程为，
当与劣弧BC相切时，有，所以，其中舍去，
结合图形可知，当时，直线与两段弧恰有4个交点.结合选项知B符合题意.
故选：B.
8．C
设圆与线段，，分别相切于点,由，确定，进而确定直线的方程，得到，即可求解.
【详解】由题意知，，.
如图，设圆与线段，，分别相切于点，则，，，
所以，
所以，从而可知内切圆的圆心C在直线上.
因为的斜率为，所以倾斜角为，
因为是的平分线，
所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得，
所以，即圆C的半径为，得圆C的面积为.
故选：C
9．AD
由斜率与倾斜角的关系可判断A，由垂直关系可判断B，由特殊位置可判断C，由一般方程概念可判断D.
【详解】解析 对于A，由条件可知，又，
当时，，
当时，，A正确；
对于B，直线的斜率为，其垂线的斜率为3，
所以过点且与直线垂直的直线方程为，
即，故B错误；
对于C，当直线垂直于坐标轴时，不能用方程表示，故C错误；
对于D，任何直线的方程都有一般式，故D正确.
故选：AD
10．BCD
根据椭圆长轴与短轴以及其定义，可得答案.
【详解】设椭圆的长轴长为.
①若光线从沿长轴向左射出，则第二次经过时，光走过的路程为，所以，得；
②若光线从沿长轴向右射出，则第二次经过时，光走过的路程为2a，所以，得；
③若光线从沿其他方向射出，则第二次经过时，光走过的路程为6a，所以，得.
故选：BCD.
11．ACD
直线AB的方程为，，，联立抛物线方程，得到，，由可判断A，由焦点弦长公式可判断B，由弦长公式可判断C，由斜率公式结合韦达定理得到，可判断D.
【详解】由题意知，设直线AB的方程为，，，
联立直线与抛物线的方程，得
消去整理得，则，.
对于A，，
故时，的面积取得最小值，为2，故A正确；
对于B，当直线AB的倾斜角为时，直线AB的方程为，
将代入，得，解得，，
所以，，所以，故B错误；
对于C，由题意知C的准线方程为，由前面的分析，知，，
所以，
又，
所以，故C正确；
对于D，由前面的分析，知，，
设，则
，
所以当时，为定值0，即存在，使为定值，故D正确.
故选：ACD
12．
由焦点在轴上，得到，求解即可.
【详解】由题意得，
解得.
故答案为：
13．
由题意设出点的坐标，根据两点距离公式，整理等式，结合椭圆方程，求得参数，易得答案.
【详解】由题意知，，
设，则，，
所以，整理得，对照椭圆方程可知，
所以，故椭圆的焦距为.
故答案为：
14．
根据直线与圆的位置关系，结合圆切线的性质以及勾股定理，可得答案.
【详解】由题意，得圆C：的圆心到直线l：的距离，
所以l与圆C相离，如图，可知当取得最大值时，取最小值，的最小值为点C到l的距离，即，
此时，所以，故的最大值为.

故答案为：.
15．(1)
(2)或.
（1）联立直线方程，求得交点，根据直线平行，建立方程，可得答案；
（2）利用截距的定义，分类讨论，建立方程，可得答案.
【详解】（1）联立得，解得，即.
若l与直线平行，则l的斜率，
所以l的方程为，即.
（2）若l经过坐标原点，设l：，代入P点坐标，解得，
所以l的方程为.
若l不经过坐标原点，设l：，
代入P点坐标，得，解得，
所以l的方程为，即.
所以l的方程为或.
16．(1)
(2)
（1）利用待定系数法，设出圆的一般式方程，代入已知点，可得答案.
（2）由已知点求得直线方程，利用点到直线方程以及弦长公式，可得答案.
【详解】（1）设圆C的方程为，
将，，三点的坐标代入，
得解得
故圆C的方程为，即.
（2）由题意得，与AB垂直的高线的斜率为1，
又过，所以：.
圆的圆心到的距离，
则被圆截得的弦长为.
17．(1)
(2)
（1）由条件得到，求解即可；
（2）直线方程与椭圆方程联立，由弦长公式即可求解.
【详解】（1）设C的半焦距为.
由题意得得
C的方程为.
（2）设，.
联立，得化简得，
，.
.
18．(1)，
(2)（i）；（ii）证明见解析
（1）联立方程，根据直线与曲线相切，可知方程根的个数，利用一元二次方程根的判别式，可得参数值，从而可得答案.
（2）（i）由题意设出直线方程，联立方程，再根据一元二次方程根的判别式，可得答案；（ii）根据一元二次方程，根与系数关系，整理算式，建立方程，可得答案.
【详解】（1）由可得（*），
由题意知，解得（舍去），
所以C的方程为.
将代入（*）式可得，解得，
将代入C的方程可得：，即.
（2）（i）易知L的斜率存在且不为0，设，
与C的方程联立，得.
由及点P不在L上，得或或.
设，，则，.
当轴时，，即，满足题意，
所以L的方程为.
（ii）由（i）可得，
.
所以，
即为定值.
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）15
【详解】（1）由题意知解得
所以C的方程为.
（2）（i）设l：，点，，.
由可得，
因为l与C在第一象限和第四象限各有一个交点，所以，
且，，
直线DN：，
令，得，
又，
所以直线DN恒过点.
（ii）如图，设，
则.
设，则，在上单调递增，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
A
C
A
B
C
AD
BCD
题号
11









答案
ACD