河南省南阳市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省南阳市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，保持卷面清洁，不折叠、不破损等内容，欢迎下载使用。

数学试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．
2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两直线互相垂直斜率的关系及点斜式即可求解.
【详解】与直线垂直的直线的斜率，
∴所求的直线方程为，即为，
故选：.
2. 在空间四边形中，点，分别是和的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量加法的三角形法则即可求解
【详解】如图所示，是的中点，则，
，
故选：C.
3. 设随机变量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于p的方程，解出p的值，再根据，由二项分布的方差公式求得到结果．
【详解】随机变量，∴， 解得，
∴ ，则.
故选：D．
4. 直线截圆所得的弦长为，则实数的值为（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据弦长等于直径确定直线过圆心即可求解.
【详解】圆的圆心为，
半径，
因为直线截圆所得的弦长为，
所以直线经过圆的圆心，所以解得，
故选:A.
5. 将甲，乙等5名志愿者全部分派到4个核酸采样点协助工作（每个采样点至少1人），其中甲，乙两人不能去同一个采样点，则不同的分派方案共有（ ）
A. 120种B. 216种C. 240种D. 432种
【答案】B
【解析】
【分析】先分成四组，再排列即可求解.
详解】依题意，
情况一：甲，乙单独作为一组，剩余3人分成2组，
则有种方案；
情况二：甲与其他三人中的一人作为一组，剩余乙和其他2人作为3组，
则有种方案；
情况三：乙与其他三人中的一人作为一组，剩余甲和其他2人作为3组，
则有种方案；
所以总共的方案为：种.
故选：B.
6. 与圆相切，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有（ ）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
【答案】C
【解析】
【分析】在两坐标轴上的截距互为相反数的直线，斜率为1或直线过原点，由直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程求解即可．
【详解】圆，圆心坐标为，半径为，
满足题意的直线方程斜率可以为1，设直线方程为，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即 解得，∴此时满足条件的直线有两条：和；
满足题意的直线可以过原点时，直线倾斜角为时显然不与圆相切，设直线方程为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，解得或，其中时，直线为轴，不合题意，故此时满足条件的直线有一条：；
综上所述∶满足条件的直线有三条，如图所示，
．
故选：C.
7. 如图，在正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的坐标运算求线面夹角.
【详解】建系如图，设正方体边长为2，
所以,
所以,
设平面的法向量为，
所以令，
所以，
所以,
所以与平面所成的角的正弦值为.
故选:B.
8. 5个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人不相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用插空法，结合古典概率模型求解即可.
【详解】5个人全排列且甲排在乙的前面有种方法，
将剩余三人排成一列有中排法，产生4个空位，
让甲、乙选择两个空位插空，则有种方法，
所以甲、乙两人不相邻的安排方法有种方法，
其中甲排在乙的前面的有种方法，
所以甲、乙两人不相邻概率为，
故选:C.
9. 已知点，，，则平面的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设平面的方程为，代入三点的坐标求系数即可.
【详解】设平面的方程为，不同时为0，
代入三点的坐标，得，解得，
所以平面的方程为.
故选：A
10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线仅有一个公共点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知条件求出过且与双曲线仅有一个交点的直线方程，将该直线与双曲线联立求得点的坐标，最后利用双曲线的定义求出即可.
【详解】由已知得，∴左焦点的坐标为，
∵过的直线与双曲线仅有一个公共点，
∴该直线与双曲线的渐近线或y = -x平行，
∴不妨设该直线方程为，
将直线与双曲线联立，解得，即,
∴,
又∵, ∴,
故选：.
11. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项展开式，令求出，再令即可求解.
【详解】令，则有，即，
再令可得，
所以，
故选:A.
12. 已知抛物线：的（）焦点为，准线为，过的直线交抛物线于，两点，若在直线上存在一点，使是等边三角形，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设直线的方程为，，的中点为，结合题意，可得且，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式即可求解.
【详解】设直线的方程为，，，的中点为，
联立方程组，整理可得，
则，，所以，
，
要使是等边三角形，则且，
即，
所以，
将②式代入①式整理，可得，
所以，所以，所以，
所以直线的斜率为，
故选：.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知随机变量服从正态分布，若，则实数______．
【答案】3
【解析】
【分析】由正态分布曲线的特点可知，得正态曲线关于对称，且，结合题意得到a的值．
【详解】随机变量服从正态分布，正态曲线关于对称，且，
由，可知，解得．
故答案为：3．
14. 若展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答）
【答案】40
【解析】
【分析】根据二项式系数和为，求出，即可求出二项式展开式中常数项.
【详解】因为二项式系数和，
因此，
又，
令，常数项为.
故答案为：40.
15. 如图，已知四棱柱的底面是边长为1的正方形，且，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】记，，，利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算即可.
【详解】设 ，，， 则 ，
底面是边长为1的正方形，且，，
则有，，，，，，
则 ，
所以.
故答案为：
16. 已知为坐标原点，为双曲线（，）的左焦点，是该双曲线上的一点，且是等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为______．
【答案】或
【解析】
【分析】双曲线的右焦点为，由已知条件计算，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可.
【详解】设双曲线的右焦点为，
当时，如图，连接，
为等腰直角三角形，所以，，
所以， ，
则双曲线的离心率为 .
当时，如图，连接，
又为等腰直角三角形，所以，，
在中，， 由余弦定理得 ，
所以 ，，
双曲线的离心率为 .
故答案为：或.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为，标准差为．
（1）求和；
（2）已知这批零件的内径（单位：）服从正态分布，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．
参考数据：若，则：
，，
，．
【答案】（1），
（2）这台设备需要进一步调试，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用公式计算出平均数和方差，进而求出标准差；
（2）计算出五个零件的内径中恰有1个不在的概率约为，而又试产的5个零件中内径出现了1个不在内，根据原则，得到结论.
【小问1详解】
,
，
故；
【小问2详解】
由题意得：，
，即，
所以五个零件的内径中恰有1个不在的概率为，
又试产5个零件中内径出现了1个不在内，
所以小概率事件出现了，根据原则，这台设备需要进一步调试.
18. 已知四个点：，，，．
（1）从，，，四点中选3个点确定一个三角形，求出该三角形的外接圆的方程；
（2）过点作直线交圆于，两点，若，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】(1)利用圆的一般方程，待定系数法求解；
(2)根据弦长公式求出直线的距离为1，再根据点到直线距离公式求解.
【小问1详解】
设所求圆方程为，
(i)选，，，
则有解得,
所以所求圆方程；
(ii)选，，，
则有解得,
所以所求圆方程为；
(iii)选，，，
则有解得,
所以所求圆方程为；
(iiii)选，，，
则有解得,
所以所求圆方程为.
【小问2详解】
由(1)可知圆心为半径，
设圆心到直线的距离为，
因为解得，
若直线的斜率不存在，则方程为，
此时圆心到直线的距离为满足题意；
若直线的斜率存在，则设方程为，
即，
因为圆心到直线的距离解得，
所以直线的方程为即.
综上直线的方程为或.
19. 已知点到点的距离比它到直线的距离大1．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）点为轨迹上任意一点，过点作圆：的切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值．
【答案】（1）
（2）四边形面积的最小值为.
【解析】
【分析】(1)设点，由条件公式列等式化简可得轨迹方程.
(2)求的最小值，由此可求四边形面积的最小值．
【小问1详解】
设为曲线上任意一点，
因为点到点的距离比它到直线的距离大1．
所以，
当时，化简可得，
当时，化简可得，又，矛盾，
所以点轨迹的方程为；
【小问2详解】
由圆：可得，半径为2，
设点的坐标为，，
则，
所以当时，取最小值，又
所以当时，取最小值，
又四边形面积，
所以，当且仅当点的坐标为或时等号成立，
所以四边形面积的最小值为.
20. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，．
（1）证明：；
（2）若，求二面角的平面角的大小．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）为坐标原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，得到相关向量，计算即可；
（2）求出平面的法向量，求出平面的法向量，利用空间向量夹角公式即可得到二面角大小.
【小问1详解】
，，
平面，面，，
故以为坐标原点, , ,为轴建立空间直角坐标系如图,
，，
,设,则，
，
，.
【小问2详解】
由（1）知，
平面的法向量取,
,
设平面的法向量，
则，即，
取得，
，
由图易得此二面角的平面角为锐角，
所以二面角的平面角的大小为.
21. 本次数学考试中共有12个选择题，每小题5分，共60分，在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本次考试的12个选择题中，甲同学会其中的10个，另外2个题只能随意猜；乙同学会其中的9个，其它3个题中有2个题各能排除2个错误选项，另外1个题能排除1个错误选项．
（1）设甲同学在本次考试中选择题得分为，求的分布列及均值；
（2）设乙同学在本次考试中选择题得分为，求的分布列及均值；
（3）求甲同学和乙同学在本次考试中选择题得分相同的概率．
【答案】（1）分布列见解析，；
（2）分布列见解析，；
（3）.
【解析】
【分析】(1)由条件求随机变量的所有可能取值，确定取各值的概率，即可确定其分布列和均值；
(2)由条件求随机变量的所有可能取值，确定取各值的概率，即可确定其分布列和均值；
(3)利用概率乘法公式和加法公式求概率.
【小问1详解】
由已知随机变量的可能取值为50,55,60，
，，
，
所以随机变量的分布列为
；
【小问2详解】
由已知随机变量的可能取值为45,50,55,60，
，
，
，
，
所以随机变量的分布列为
；
【小问3详解】
因为，
，
，
所以甲同学和乙同学在本次考试中选择题得分相同的概率.
22. 已知椭圆：（）的离心率，且短轴长为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点为椭圆的左焦点，斜率存在的直线与椭圆交于，两点，若直线上任意一点到直线和的距离始终相等．
①试证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．
②求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）直线l过定点，证明见解析，面积的最大值为
【解析】
【分析】（1）由椭圆离心率和短轴长，列方程组解出，可得椭圆的标准方程；
（2）①设直线的方程，代入椭圆方程，利用已知条件结合韦达定理，求解直线所过定点的坐标；
②求弦长和点到直线距离，把的面积表示出来，通过换元和基本不等式，求解面积的最大值.
【小问1详解】
(1)由题知， 解得，
故椭圆C的标准方程为：
【小问2详解】
①：设直线l的方程为，代入 整理得
，设，
则，，
左焦点，若直线上任意一点到直线和的距离始终相等，直线和关于直线对称，有，则
即﹐
故，即 ，则，
故直线l过定点，该定点的坐标为.
②：由①得，，

到的距离，故
设
(当且仅当，即 时等号成立）
所以面积的最大值为
50
55
60
45
50
55
60