2025-2026学年福建省福州一中八年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年福建省福州一中八年级（上）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. x2⋅x3=x6B. (x2)3=x5C. x24÷x6=x4D. (x2y)4=x8y4
3.已知，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论中不一定成立的是( )
A. AC=A′C′
B. AB//B′C′
C. BB′⊥MN
D. BO=B′O
4.若长方形的两条边长分别是2n和3n−1，则此长方形的面积是( )
A. 6n2−1B. 6n2−2nC. 10n−2D. 5n2−2n
5.如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是( )
A. SASB. ASAC. AASD. SSS
6.如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，若PH=10，则点P与射线OA上某一点连线的长度可以是( )
A. 2
B. 5
C. 8
D. 11
7.下列各式中，不能用平方差公式计算的是( )
A. (−b−a)(a−b)B. (a−b)(b+a)C. (a−b)(−a−b)D. (a−b)(−a+b)
8.下列命题的逆命题是假命题的是( )
A. 在角的内部，角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B. 等腰三角形的两底角相等
C. 有两边相等的三角形是等腰三角形
D. 两个全等三角形的面积相等
9.数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是( )
A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③
10.如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，CA上(不与顶点重合)，设∠BAC=α，∠FED=θ.若△BED≌△CFE，则α，θ满足的关系是( )
A. α+θ=90∘B. α+2θ=180∘C. α−θ=90∘D. 2α+θ=180∘
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：x2−6x=______.
12.若(x+3)(x−2)=x2+kx−6，则k=______.
13.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和6，则该等腰三角形的周长是 .
14.如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是△ABC的三条 的交点.
15.若a+2=b，a2+b2=10则a+b= .
16.如图，在长方形ABCD中，∠ABD=48∘，P为AD边上一点，连接BP，作△PBA关于BP对称的△PBE，点F与点E关于BD对称.设∠ABP=x∘，若点F在△PBD内(不包括边界)，则x的取值范围是 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)13a3⋅6ab−(a2)2⋅b；
(2)(a3)3÷(a4)2+(6ab+8b)÷(2b)+a0.
18.(本小题8分)
先化简，再求值：(x+1)2+(x+1)(x−1)，其中x=−2.
19.(本小题8分)
如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC.
(1)求证：△ABC≌△AED.
(2)求证：∠BCD=∠EDC.
20.(本小题8分)
如图，点E在∠BAC的平分线上，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥CD于点G，且EF=EG.
(1)求证：CE是∠ACD的平分线；
(2)求证：AC=AF+CG.
21.(本小题8分)
如图，在△EBD中，EB=ED，点C在BD上，CE=CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA=EC.
(1)求∠EBC的度数；
(2)求证△ABC为等边三角形．
22.(本小题10分)
一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变；这样的式子叫做对称式.
例如：交换：代数式m+n中字母m，n的位置，可得到代数式n+m，所以m+n是对称式.而交换式子m−n中字母m，n的位置，得到代数式n−m，因为m−n≠n−m，所以m−n不是对称式.
(1)写出一个对称式，使其是一个二次三项式：______.
(2)若关于m，n的代数式(m−n)2−km2+n2(k是常数)为对称式，求常数k的值.
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AC=2AB.
(1)尺规作图：作∠BAC的平分线AD，交BC于点E；作线段AC的垂直平分线交AC于点F，交AD于点G；连接BG，CG(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，证明：AB⊥BG.
24.(本小题12分)
综合与实践：
阅读材料
对于关于x的多项式M，有如下结论：如果x−a是M的因式，则x=a时，M=0.这个结论被称为因式定理.例如：若x−1是多项式M=x2−1的因式，则当x=1时，M=0.
问题背景
某工厂生产一种特殊形状的金属零件，其体积可以用三次多项式V(x)=x3+ax2+bx+6表示，其中x表示零件的关键尺寸(单位：厘米)，技术人员通过测试发现：
测试结果1：当x=1cm时，零件体积V(1)=0；测试结果2：当x=2cm时，零件体积V(2)=0请根据上述信息解决下列问题：
问题解决
(1)利用因式定理，确定多项式中的参数a和b的值；
(2)若该零件的体积为12cm3，求此时的关键尺寸x的值；
拓展探究
(3)在实际生产过程中，技术人员发现该零件的一种性质：存在常数m，使得对于多个(两个或以上)关键尺寸x，使V(x)+m能写成某些正整数的平方.
例如：当m=4时，x=3和x=5满足条件V(3)+4=16=42，V(5)+4=100=102.
当x=5和x=7时，请找出所有满足该性质的正整数m，并说明理由.
25.(本小题14分)
如图1，已知等边△ABC，以B为直角顶点向右作等腰直角△BCD，连接AD.
(1)若AC=6 2，求点D到AB边的距离；
(2)如图2，过点B作AD的垂线，分别交AD，CD于点E，F，求证：EF=CF+BE；
(3)如图3，在△CAD中，AD边上的高为3，M，N，P分别是BC、CD、DB边上的动点，求MN+NP+PM的最小值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、x2⋅x3=x5，故此选项不符合题意；
B、(x2)3=x6，故此选项不符合题意；
C、x24÷x6=x18，故此选项不符合题意；
D、(x2y)4=x8y4，故此选项符合题意；
故选：D.
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方，等于积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意分析，由轴对称的性质可以得到：对应线段相等，即A选项成立；对应点的连线与对称轴的位置关系是垂直，即C选项成立；对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，即D选项成立；AB与B′C′为非对应线段，无法得到AB与B′C′的关系，
故选：B.
由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系．
本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，由轴对称的性质不能得出非对应线段的关系．
4.【答案】B
【解析】解：2n(3n−1)=6n2−2n，
即此长方形的面积是6n2−2n，
故选：B.
由题意列式为2n(3n−1)，再利用单项式乘多项式法则计算即可．
本题考查单项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查作图-尺规作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图中信息，灵活运用所学知识解决问题．
如图，由作图可知，OA=OB=CE=EF，AB=CF.根据SSS证明△AOB≌△CEF.
【解答】
解：如图，由作图可知，OA=OB=CE=EF，AB=CF.
在△AOB和△CEF中，
AO=CEOB=EFAB=CF，
∴△AOB≌△CEF(SSS)，
故选：D.
6.【答案】D
【解析】解：∵OC平分∠AOB，PH⊥OB，PH=10，
∴根据角平分线的性质可得，点P到OA的距离为10，
所以点P与射线OA上某点连线的长度大于等于10，
综上所述，可以是11.
故选：D.
根据角平分线的性质可知点P到OA的距离为10，进而得出答案．
本题主要考查了角平分线的性质，关键是角平分线性质定理的熟练掌握．
7.【答案】D
【解析】解：−(a+b)(a−b)=(−b−a)(a−b)，它满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则A不符合题意，
(a−b)(b+a)=(a−b)(a+b)，它满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则B不符合题意，
(a−b)(−a−b)=−(a−b)(a+b)，它满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则C不符合题意，
(a−b)(−a+b)=−(a−b)(a−b)，它不满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则D符合题意，
故选：D.
平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，据此进行判断即可．
本题考查平方差及完全平方公式，熟练掌握其表现形式是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、在角的内部，到角两边的距离相等的点在角的平分线上，正确，故A不符合题意；
B、有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，故B不符合题意；
C、等腰三角形的两腰相等，正确，故C不符合题意；
D、面积相等的三角形不一定全等，故D符合题意．
故选：D.
由全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，即可判断．
本题考查命题与定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：在方案①中，可得：a2−b2=(a+b)(a−b)，可以验证平方差公式；
在方案②中，可得：a2−b2=(a+b)(a−b)，可以验证平方差公式；
在方案③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积(a+b)2−(a−b)2=4ab，右边阴影部分面积=2a⋅2b=4ab，
可得：(a+b)2−(a−b)2=2a⋅2b，不可以验证平方差公式．
能验证平方差公式的是①②，
故选：B.
针对每一种拼法，利用代数式表示拼接前、后的面积，适当化简或变形可得答案．
本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼接前后的面积是得出答案的前提．
10.【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=α，
∴∠B+∠C=180∘−α，
∵△BED≌△CFE，
∴∠B=∠C=90∘−12α，∠BDE=∠FEC，
∴∠BDE+∠BED=180∘−∠B=180∘−(90∘−12α)=90∘+12α，
∴∠FEC+∠BED=90∘+12α，
∵∠FED=θ，∠FEC+∠BED+∠FED=180∘，
∴90∘+12α+θ=180∘，
∴α+2θ=180∘，
故选：B.
由∠BAC=α，得∠B+∠C=180∘−α，根据△BED≌△CFE，即有∠B=∠C=90∘−12α，∠BDE=∠FEC，故∠FEC+∠BED=90∘+12α，从而90∘+12α+θ=180∘，即可得到答案．
本题考查全等三角形的性质及应用，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
11.【答案】x(x−6)
【解析】解：x2−6x=x(x−6).
故答案为：x(x−6).
首先找出公因式，进而提取公因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12.【答案】1
【解析】解：(x+3)(x−2)=x2+3x−2x−6=x2+x−6=x2+kx−6，
∴k=1.
故答案为：1.
根据多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加计算，然后列式求解即可．
本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘法法则是关键．
13.【答案】14
【解析】解：因为2+2