沪科版（2024）切线的判定与性质教学课件ppt

这是一份沪科版（2024）切线的判定与性质教学课件ppt，共38页。PPT课件主要包含了情境引入，切线的性质定理，观察与思考，∴l⊥OA，应用格式，知识要点，练一练，典例精析，∴∠OAP＝90°，切线的判定定理等内容，欢迎下载使用。
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为圆的切线呢？学完这节课，你就都会明白.
如图，如果直线 l 是 ⊙O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？如何证明？
证明：当直线 l 与⊙O 相切时，设切点为 A，连接 OA. 在直线 l 上任取一个不同于点 A 的点 B，连接 OB.因为点 B 在 ⊙O 外，所以 OB＞OA. 这就是说，OA 是点 O 到直线 l 上任一点的连线中最短的，所以 OA 是点 O 到直线 l 的垂线段，即 OA⊥l.于是我们可以得到：切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径.
∵ 直线 l 是 ⊙O 的切线，A 是切点，
切线性质： 圆的切线垂直于经过切点的半径．
如图，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线 MN 与⊙O 相切于点 B，若∠ABN = 30°，则∠AOB = °.
例1 如图，点 O 是∠BAC 的边 AC 上的一点，⊙O 与边 AB 相切于点 D，与线段 AO 相交于点 E，若点 P 是⊙O 上一点，且∠EPD＝35°，则∠BAC 的度数为 (　　)
A．20° B．35° C．55° D．70°
解析：连接 OD，如图.∵⊙O 与边 AB 相切于点 D，∴ OD⊥AD. ∴∠ADO＝90°. ∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°.∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.
例2 如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与 ⊙O 交于 B、C 两点，∠P＝30°，连接 AO、AB、AC.(1) 求证：△ACB≌△APO；
∴△ACB≌△APO（ASA）.
证明：∵ PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点，
∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°.又∵ OA＝OB，∴△AOB 为等边三角形.∴ AB＝AO，∠ABO＝∠AOB.
又∵ BC 为 ⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°＝∠OAP.
(2) 若 AP＝ ，求 ⊙O 的半径．
∴ AO＝AP·tan30°＝1，即 ⊙O 的半径为 1.
已知 ⊙O 上一点 A，怎样根据圆的切线定义过点 A 作 ⊙O 的切线？
作法：1. 连接 OA； 2. 过点 A 作直线 BC⊥OA. 则直线 BC 即为所作.
为什么直线 BC 即为所作呢？
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
∵ OA 为⊙O 的半径，
∴ BC 为⊙O 的切线.
利用切线的判定定理，判断下列各直线是不是圆的切线，如果不是，请说明理由.
(1) 不是，因为没有垂直.
(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点.
判断一条直线是一个圆的切线有三种方法：
1. 定义法：直线和圆只有一个公共点 时，我们说这条直线是圆的切线.
2. 数量关系法：圆心到这条直线的距 离等于半径 (即 d = r) 时，直线与 圆相切.
3. 判定定理：经过半径外端点且垂直 于这条半径的直线是圆的切线.
例3 如图,∠ABC = 45°，AB 是☉O 的直径，AB = AC.求证：AC 是 ☉O 的切线.
提示：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证出 AB 垂直于 AC 即可.
证明：∵ AB = AC，∠ABC = 45°，
∴∠ACB =∠ABC = 45°.
∴∠BAC =180° -∠ABC -∠ACB = 90°.
∴ AC 是 ☉O 的切线.
∵ OA 是 ☉O 的半径，
例4 已知：直线 AB 经过☉O 上的点 C，并且 OA = OB，CA = CB. 求证：直线 AB 是☉O 的切线.
提示：由于 AB 过☉O 上的点 C，所以连接 OC，只要证明 OC⊥AB 即可.
证明：连接 OC，如图.∵ OA＝OB，CA＝CB， ∴ 在等腰△OAB 中，OC⊥AB. ∵ OC 是⊙O 的半径，∴ AB 是⊙O 的切线.
例5 如图，△ABC 中，AB＝AC ，O 是 BC 的中点，⊙O 与 AB 相切于 E.求证：AC 是⊙O 的切线．
提示：根据切线的判定定理，要证明 AC 是 ⊙O 的切线，只要证明由点 O 向 AC 所作的垂线段 OF 是 ⊙O 的半径就可以了，而 OE 是 ⊙O 的半径，因此只需要证明 OF = OE.
证明：连接 OE ，OA，过 O 作 OF⊥AC，如图.
∵ ⊙O 与 AB 相切于 E，∴ OE⊥AB.
在△ABC 中，∵ AB＝AC ，O 是 BC 的中点．
∴ AO 平分∠BAC.
∴ AC 是 ⊙O 的切线．
又∵ OE⊥AB ，OF⊥AC，
∵ OE 为 ⊙O 的半径，∴ OF 为 ⊙O 的半径.
如图，已知直线 AB 经过⊙O 上的点 C，并且 OA＝OB，CA＝CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
如图，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O 的直径为 6. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
通过对比，你能得出什么结论？
(1) 有公共点，连圆心，证垂直 (如：例 4)；(2) 无公共点，作垂直，证半径 (如：例 5).
◑证切线时辅助线的添加方法：
◑已知切线时常见辅助线的添加方法：
见切线，连切点，得垂直 (如：例 1).
1. 判断下列命题是否正确. (1) 经过半径外端点的直线是圆的切线. （ ） (2) 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） (3) 过直径的端点并且垂直于这条直径的直线是圆 的切线. （ ） (4) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） (5) 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ）
2. 如图，A 是 ☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13， AP = 12，则 PA 与 ☉O 的位置关系是 .
3. 如图，在☉O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径， ∠BCD = 120°，过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于 点 P，则∠ADP 的度数为 （ ） A．40° B．35° C．30° D．45°
4. 如图，PB 切 ☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O 的半径是多少？
解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°.
设⊙O 的半径为 r，则OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2.
在 Rt△OBP 中，
OB2 + PB2 = PO2，即 r2 + 42 = (2 + r)2.
即 ⊙O 的半径为 3.
5. 如图，△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P，PE⊥AC 于 E. 求证：PE 是⊙O 的切线.
证明：连接 OP，如图.∵ AB = AC，∴∠B =∠C. ∵ OB = OP，∴∠B =∠OPB. ∴∠OPB =∠C. ∴ OP∥AC. ∵ PE⊥AC， ∴ PE⊥OP. ∴ PE为⊙O 的切线.
6. 如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为 圆心，OA 长为半径的 ⊙O 与 BC 相切于点 M. 求证： CD 与⊙O相切.
证明：连接 OM，过点 O 作 ON⊥ CD 于点 N，如图.∵ ⊙O 与 BC 相切于点 M，∴ OM⊥BC.又∵ ON⊥CD，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，∴ OM＝ON.∴ CD 与 ⊙O 相切．
7. 已知：△ABC 内接于 ☉O，过点 A 作直线 EF. (1) 如图1，AB 为直径，要使 EF 为☉O 的切线，还需 添加的一个条件是（只需写出两种情况）： ① ___________；② ____________. (2) 如图2，AB 是非直径的弦， ∠CAE =∠B，求证：EF 是☉O 的切线.
证明：如图，连接 AO 并延长交 ☉O 于 D，连接 CD，则 AD 为 ☉O 的直径.∴ ∠D +∠DAC = 90°.∵ ∠D 和 ∠B 都是 所对的圆周角，∴ ∠D =∠B.又∵ ∠CAE =∠B，∴ ∠D = ∠CAE.∴ ∠CAE + ∠DAC = 90°，即 AD⊥EF.∴ EF 是 ☉O 的切线.
1．[2024·浙江]如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC.已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为________．
【点拨】如图，连接OC.∵DC切⊙O于C，∴∠DCO＝90°.又∵∠D＝40°，∴∠COB＝∠D＋∠DCO＝130°.
4．[2024·合肥蜀山区二模]如图，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，若AM＝1，BM＝5则AD＝________．
【点拨】如图，连接CO.∵AM＝1，BM＝5，∴AB＝6.∴OA＝OB＝OC＝3.∵CD为⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠DCO＝∠CMO＝90°.
5．如图，已知△POM，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线是(　　)A．∠O＋∠P＝90°B．∠O＋∠P＝∠OMPC．OM2＋PM2＝OP2D．点N是OP的中点
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连圆心，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线添加方法：见切线，连切点，得垂直