精品解析：河北省石家庄市第四十四中学2024—2025学年九年级上学期期末数学试题 答案

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一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每题只有一项符合题目要求）
1. 方程的解是（ ）
A B. C. ，D. ，
2. 在中，，，则（ ）
A B. C. D.
3. 如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框变形为以A为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为（ ）
A. B. C. 25D. 20
4. 甲、乙、丙、丁四位同学进行了10次计算比赛，甲丙两人10次的平均成绩都是95，乙丁两人10次的平均成绩都为93，但是方差分别是，，，，这10次比赛中成绩又高又稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5. 如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则周长为（ ）
A. 12B. 13C. 16D. 24
8. 如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）

A. B. C. D.
9. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，将菱形纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在射线上的点E处，折痕交于点P．若，，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，在中，是直径，是弦，D是弧的中点，于点G，交于点E，交于点F，下列结论一定正确的有（ ）个
① ② ③ ④若，则
A. 1B. 2C. 3D. 4
三、填空题（共3小题，共12分）
13. 若方程有一个根是a，则的值为________．
14. 如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了_____．
15. 如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=____．
16. 在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（．为常数且）与轴交于点．
（1）若，则抛物线的顶点坐标为________；
（2）若线段（含端点）上的“完美点”个数大于个且小于个，则的取值范围是________；
（3）若抛物线与直线交于、两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有个“完美点”，则的取值范围是________．
四、解答题（共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）解方程：
（2）计算：
18. 如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为，
（1）在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为
（2）分别写出、的对应点、的坐标．
（3）点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________．
19. 我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容为学生开设四类社团活动（要求每人必须参加且只能参加一类活动）：A．合唱社团B．足球社团；C．科技社团；D．文学社团，为了了解学生对这四类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）本次参与调查的学生共有________人；将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“科技社团”所对应的百分比为________，“文学社团”所对应的圆心角度数为________．
（3）现从“文学社团”表现优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取两名同学参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲和丁两名同学的概率．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围；
（3）设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由．
21. 图1是我国古代提水的器具枯槔（），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．
（1）如图2，求支点到小竹竿的距离（结果精确到米）；
（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶水平移动的距离（结果精确到米）．（参考数据：）
22. 某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液．经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，某月销售量就减少10桶．
（1）若售价定为35元，每月可售出________桶；若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为________元．
（2）当超市每月有8000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？
（3）若销售价格不能低于40元/桶，又不能高于65元/桶，请问销售价格定到多少元/桶时才能使超市获得最大利润，最大利润是多少？
23. “不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右摇摆．某款“不倒翁”的纵截面（沿顶端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图1，它由半圆O和等边三角形组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动．
（1）如图1，若，则的长为________（结果保留根号）；
（2）如图2，连接，向右拨动“不倒翁”使，
①猜想与的位置关系并证明；
②点C到距离为________（结果保留根号）；
（3）当或垂直于时“不倒翁”开始折返．求在一次摆动（由图2到图3）的过程中圆心O移动的距离．
24. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将此抛物线在轴下方的图像沿轴向上翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像，若将直线向上平移个单位长度，使得平移后的直线与图像有两个公共点，请直接写出的取值范围．
（3）如图②点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，直接写出的最大值及此时点的坐标；