内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷

这是一份内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷，共16页。
注意事项：
答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内.
选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色显水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.
保持卡面清洁，不折叠，不破损.
考试结束，将答题卡交回.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
下列说法正确的是（）
我校高个子的同学能组成一个集合
联合国安理会常任理事国能组成一个集合
，， ， ，
数1，0，5 1 2 41 组成的集合中有 7 个元素
3 3 69
由不大于 4 的自然数组成的集合的所有元素为 1，2，3，4
2 集合 A  x | 1  x  2 ， B  x |1  x  2 ，则 A ∩ B  （）
A. x | 1  x  2
B. x | 1  x  2
C. x |1  x  2
D. x |1  x  2
若 a  b ，则下列不等式一定成立的是（ ）
1  1
ab
a2  b2
b2  ab
3a  2a  b
已知集合 A  x | x2  4, B  x | ax  1. 若 B  A ，则实数 a 的值是（）
2
1B. 2C.
1 ,  1
22
11

D. 0,,
22
不等式 1  x  1  x   0 的解集是（）
 2 3

x x  1 或 x  1 
x x  1 
x x  1 
x x  1 
32 
2 
3
2 
1
3

已知命题 p : x  R, x2  2x 1  0 ；命题 q : x  R, x2  3x 1  0 ，则（）
000
A. p 和 q 都是真命题B. p 和 q 都是真命题
C. p 和q 都是真命题D. p 和q 都是真命题
已知正数 x,y 满足 x  2 y 1  2 .若不等式 x  2 y  m2  2m 恒成立，则实数m 的取值范围是
（）
A , 4 ∪ 2, 
C. 4, 2
B. , 2 ∪ 4, 
D. 2, 4
当1  x  4 时，关于 x 的不等式 x2  mx  m 15 ≤ 0 有解的一个充分不必要条件是（）
A. m 5, 
B. m 6, 
C. m 7, 
D. m ,8
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
下列四个关系中错误的是（ ）
1  1, 2, 3
11, 2, 3
1, 2,3  1, 2,3
空集  1
若 a, b, c  R ，则下列命题正确的是（ ）
若 ab  0 且 a  b ，则 1  1
ab
C. 若 a  b  0 ，则 b  1  b
若0  a  1，则 a3  a
D. 若c  b  a 且ac  0 ，则cb  ab
a  1a
下列说法中，正确的有（）
命题 p : n  N, n2  2n  5 ，则命题 p 的否定为n  N, n2  2n  5
“ x  y  0 ”是“ x2  y2 ”的充要条件
命题“对任意实数 a ，二次函数 y  2x2  a 的图象关于 y 轴对称”是真命题
命题“若 a  b ，则 ac  bc ”是假命题
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
2
命题“ x x∣1  x  1, x2 ”的否定是．
已知集合 M 满足1,1  M  4, 1,1, 2，则不同的集合 M 的个数为．
已知关于 x 的一元二次不等式 ax2  bx  c  0 的解集为x 3  x  5，则不等式cx2  bx  a  0 的解集为．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
已知全集U  R ，集合 A  x 1  x  2, B  x 0  x  3 ．求：
A  B 及 A ∪ B ；
ðU  A  B 及A ðU B
利用基本不等式求下列式子的最值：
若 x  0 ，求 x  4 的最小值；
x
已知 x, y  0 ，且 x  4 y  1，求 xy 的最大值；
若0  x  3 ，求4x(3  2x) 的最大值.
2
已知集合 A  x a 1  x  a 1， B  x 0  x  3 .
若 A ∪ B  B ，求实数 a 的取值范围；
若 A ∩ B   ，求实数 a 的取值范围.
18 已知函数 f  x  ax2  4x  3 ．
若关于 x 的不等式 f  x  0 的解集是x∣b  x  1 ，求 a, b 的值．
若 a  0 ，求关于 x 的不等式 f  x  ax 1 的解集．
19. 已知集合 A  x x2  1， B  x 2  a  x  3a
若 A ∩ B  B ，实数 a 的取值范围；
若x  A ， x2  x  m  0 是假命题，求实数m 的取值集合C ；
设不等式(x  3a)(x  a  2)  0 的解集为 D，若 x  C 是 x  D 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围.
2025-2026 学年第一学期高一年级第一次学业诊断检测
数学试题
考试时间：120 分钟；考试分值：150 分；命题教师：王海龙
注意事项：
答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内.
选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色显水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.
保持卡面清洁，不折叠，不破损.
考试结束，将答题卡交回.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
下列说法正确的是（）
我校高个子的同学能组成一个集合
联合国安理会常任理事国能组成一个集合
，， ， ，
数1，0，5 1 2 41 组成的集合中有 7 个元素
3 3 69
由不大于 4 的自然数组成的集合的所有元素为 1，2，3，4
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合概念逐一判断即可.
【详解】对于 A，高个子缺少判断的明确标准，不能构成集合，错误；
对于 B，联合国安理会常任理事国指的是中、法、俄、英、美五国，能构成集合，正确；
，， ， ，
对于 C，因为 2  4 ，1  1 ，故数1，0，5 1 2 41 组成的集合中只有 5 个元素，错误；
36933 3 69
对于 D，由不大于 4 的自然数组成的集合的元素有 0，1，2，3，4，错误.
故选：B
集合 A  x | 1  x  2 ， B  x |1  x  2 ，则 A ∩ B  （）
A. x | 1  x  2
B. x | 1  x  2
C. x |1  x  2
D. x |1  x  2
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义判断.
【详解】因为 A  x | 1  x  2 ， B  x |1  x  2 ，所以 A ∩ B  x |1  x  2.
故选：C
若 a  b ，则下列不等式一定成立的是（ ）
1  1
ab
【答案】D
【解析】
a2  b2
b2  ab
3a  2a  b
【分析】取特殊值判断 ABC，利用作差法判断 D.
【详解】当 a  2  b  1 时， 1  1，即 1  1 ，故 A 错误；
2ab
当 a  0  b  1时， a2  0  b2  1，故 B 错误；当 a  1, b  0 时， b2  0  ab ，故 C 错误；
因为3a  2a  b  a  b  0 ，所以3a  2a  b ，故 D 正确.
故选：D
已知集合 A  x | x2  4, B  x | ax  1. 若 B  A ，则实数 a 的值是（）
2
1B. 2C.
1 ,  1
22
11

D. 0, ,
22
【答案】D
【解析】
【分析】
计算 A  2, 2，考虑 B  2， B  2 ， B   三种情况，计算得到答案.
【详解】 A  x | x2  4  2, 2 ， B  A ，
当 B  2时， 2a  1， a  1 ；当 B  2 时， 2a  1 ， a   1 ；当 B   时， a  0 .
22
即 a  0 或 a  1 或 a   1 .
22
故选：D.
【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力，忽略掉空集是容易发生的错误.
不等式 1  x  1  x   0 的解集是（）
 2 3

x x  1 或 x  1 B.
x x  1 
x x  1 
1
3
x x  1 
32 
2 
3
2 

【答案】A
【解析】
【分析】整理可得 x  1  x  1   0 ，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.
2 3 

【详解】由 1  x  1  x   0 ，可得：  x  1  x  1   0 ，
 2 32 3 

解得 x  1 或 x  1 ，即x x  1 或 x  1  .
2

233
故选：A
已知命题 p : x  R, x2  2x 1  0 ；命题 q : x  R, x2  3x
1  0 ，则（）
000
A. p 和 q 都是真命题B.
C. p 和q 都是真命题D.
p 和 q 都是真命题
p 和q 都是真命题
【答案】B
【解析】
【分析】先确定原命题的真假，再得到否命题的真假，判断选项即可.
【详解】注意到当 x  1 时， x2  2x 1  0 ，则 p 是假命题， p 是真命题；
00
又注意到 x  1 时， x2  3x
所以p 和 q 都是真命题．
1  1 ，则 q 为真命题， q 是假命题；
故选：B.
已知正数 x,y 满足 x  2 y 1  2 .若不等式 x  2 y  m2  2m 恒成立，则实数m 的取值范围是
（）
A. , 4 ∪ 2, 
C. 4, 2
B. , 2 ∪ 4, 
D. 2, 4
【答案】C
【解析】
【分析】由基本不等式乘“1”法，求得 x  2 y 的最小值，进而可求解.
min
【详解】由题意知：不等式 x  2 y  m2  2m 恒成立，即(x  2 y) m2  2m ，
Q(x  2)( y 1)  2 ，即： 2 y  x  xy ，
∴ 2  1  1，
xy
∴ x  2 y  (x  2 y) ( 2  1 )  4  4 y  x ，
xyxy
又∵ x  0 ， y  0
∴ 4 y  0 ， x  0
xy
4 y  x xy
∴ 4 y  x  2 4 ，当且仅当 4 y  x 即 x  4
时等号成立.

xyxy
 y  2
∴当 x  4 时， x  2 y 取得最小值为 8.

∴ m2  2m  8 解得： 4  m  2
 y  2
故选：C.
当1  x  4 时，关于 x 的不等式 x2  mx  m 15 ≤ 0 有解的一个充分不必要条件是（）
A. m 5, 
m 6, 
m 7, 
m ,8
【答案】C
【解析】
【分析】先求出当1  x  4 时，关于 x 的不等式 x2  mx  m 15 ≤ 0 有解的充要条件，再根据充分不必要条件与充要条件的关系得出答案.
【详解】当1  x  4 时，关于 x 的不等式 x2  mx  m 15 ≤ 0 有解，
即 m 
x2 15
x 1
在1  x  4 上有解.令t  x 1，Q1  x  4 ，
所以2  t  5 ，则 x  t 1，
x2 15t 12 15t 2  2t 115t 2  2t 1616
代入得
x 1tt
 t 
tt
 2 ，
t  16
t
Qt  16  2  2
t
 2  6
当且仅当
t  16
t
时取等号，此时t  4 ，
x2 15
x 1
的最小值为 6.
故当1  x  4 时，关于 x 的不等式 x2  mx  m 15 ≤ 0 有解的充要条件是 m  6 ，所以满足题意的充分不必要条件是 m  6 的真子集，选项中只有 C 符合
故选：C
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
下列四个关系中错误的是（ ）
1  1, 2, 3
11, 2, 3
1, 2,3  1, 2,3
空集  1
【答案】AB
【解析】
【分析】利用元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可.
【详解】对于 A，应该为11,2,3，对于 B，应该为1  1, 2, 3 ，故 A、B 错误．对于 C，1,2,3  1,2,3 ，故 C 正确．对于 D，空集  1 ，故 D 正确．
故选：AB.
若 a, b, c  R ，则下列命题正确的是（ ）
若 ab  0 且 a  b ，则 1  1
ab
C. 若 a  b  0 ，则 b  1  b
若0  a  1，则 a3  a
D. 若c  b  a 且ac  0 ，则cb  ab
【答案】BC
【解析】
a  1a
【分析】举反例判断 AD；作差法判断 B；对于 C，结合不等式的性质利用作差法判断即可.
【详解】对于 A，取 a  1, b  2 ，满足 ab  0 且 a  b ，但 1  1  1  1 ，不满足 1  1 ，错误；
ab2ab
对于 B，因为0  a  1， a  1  0, a  1  0 ，
所以 a3  a  a a2 1  a a 1a 1  0 ，即 a3  a ，正确；
对于 C， b 1  b  ab  a  ab  b 
a  b
，
a 1aa a 1
a a 1
因为 a  b  0 ，所以 a  b  0 ，所以 b 1  b  0 ，所以 b  1  b 成立，正确；
a a 1
a 1a
a  1a
对于 D，取c  1, b  0, a  1，满足c  b  a 且ac  0 ，但cb  ab  0 ，不满足cb  ab ，错误.
故选：BC
下列说法中，正确的有（）
命题 p : n  N, n2  2n  5 ，则命题 p 的否定为n  N, n2  2n  5
“ x  y  0 ”是“ x2  y2 ”的充要条件
命题“对任意实数 a ，二次函数 y  2x2  a 的图象关于 y 轴对称”是真命题
命题“若 a  b ，则 ac  bc ”是假命题
【答案】CD
【解析】
【分析】根据否定的定义判断 A，应用特殊值法判断 B，D，根据二次函数对称轴判断 C.
【详解】命题 p : n  N, n2  2n  5 ，则命题 p 的否定为n  N, n2  2n  5 ，A 选项错误；
当 x  2, y  1时，满足 x2  y2 不满足 x  y  0 ，所以“ x  y  0 ”不是“ x2  y2 ”的充要条件，B 选项错误；
对任意实数 a ，二次函数 y  2x2  a 的图象关于 x  0 轴对称，C 选项正确；
当 a  b, c  0 时，得 ac  bc ，则命题“若 a  b ，则 ac  bc ”是假命题，D 选项正确.
故选：CD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
2
命题“ x x∣1  x  1, x2 ”的否定是．
2
【答案】x x∣1  x  1, x2 
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定概念即可.
2
【详解】由存在量词命题的否定概念可得， x x∣1  x  1, x2 
2
故答案为： x x∣1  x  1, x2 
已知集合 M 满足1,1  M  4, 1,1, 2，则不同的集合 M 的个数为．
【答案】4
【解析】
【分析】根据集合的包含关系列举出集合 M ，即可得解.
【详解】由题知 M 中必然含有元素1，1，可能含有元素4 ，2，所以 M 可能为1,1,4, 1,1,1,1, 2,4, 1,1, 2，共 4 个．故答案为：4
已知关于 x 的一元二次不等式 ax2  bx  c  0 的解集为x 3  x  5，则不等式cx2  bx  a  0 的解
集为．
【答案】 x  1  x   1 


35 
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根和二次项系数的正负,利用韦达定理将b, c 用 a 表示,再化简所求的不等式并求解.
【详解】已知不等式 ax2  bx  c  0 的解集为x 3  x  5,所以 a  0 ，且方程 ax2  bx  c  0 的两根为3, 5 ，
根据韦达定理 b  3  5 ，  c  3 5 ，所以b  8a ， c  15a .
aa
不等式cx2  bx  a  0 可化为15ax2  8ax  a  0 ，两边同时除以 a ，
得15x2  8x 1  0 ，即3x 15x 1  0 ，解得 1  x   1 ，
35
11 
所以不等式cx2  bx  a  0 的解集为x   x   .
35 
故答案为： x  1  x   1 .


35 
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
已知全集U  R ，集合 A  x 1  x  2, B  x 0  x  3 ．求：
A  B 及 A ∪ B ；
ðU  A  B 及A ðU B
【答案】（1） A  B  x 0  x  2， A ∪ B  x 1  x  3
（2） ðU  A  B  x x  1或 x  3 ， A ∩ ðU B  x 1  x  0
【解析】
【分析】（1）由集合的交集、补集运算即可求解；
由交集、并集、补集运算即可求解；
【小问 1 详解】
因为 A  x 1  x  2, B  x 0  x  3 ，所以 A  B  x 0  x  2，
A ∪ B  x 1  x  3
【小问 2 详解】
由（1）可得： ðU  A  B  x x  1或 x  3 ，
由 B  x 0  x  3 ，可得： ðU B  x x  0 或 x  3 ，所以 A ðU B  x 1  x  0
利用基本不等式求下列式子的最值：
若 x  0 ，求 x  4 的最小值；
x
已知 x, y  0 ，且 x  4 y  1，求 xy 的最大值；
若0  x  3 ，求4x(3  2x) 的最大值.
2
1
【答案】（1）4（2）
16
9
2
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式即可求解.
利用基本不等式即可求解.
利用基本不等式即可求解.
【小问 1 详解】
x  4
x
因为 x  0 ，所以 x  4  2
x
故最小值为 4，此时 x  2 .
【小问 2 详解】因为 x, y  0 ，
 4 ，当且仅当 x  2 时取等号，
 1 4 y  4 y 2
所以1 4 y  4 y21 ，当且仅当 y  1 , x  1 时取等，
xy  1 4 y  y   82
4416
故 xy 最大值为 1 .
16
【小问 3 详解】
因为0  x  3 ，
2
 2x  3  2x 293

所以4x 3  2x  2  2x 3  2x  2 
 ，当且仅当 x  时取等号，
224

9
故所求最大值为 .
2
已知集合 A  x a 1  x  a 1， B  x 0  x  3 .
若 A ∪ B  B ，求实数 a 的取值范围；
若 A ∩ B   ，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1）1  a  2
（2） 1  a  4 .
【解析】
【分析】（1）依题意可得 A  B ，即可得到不等式组，解得即可；
（2）依题意可得0  a 1  3 或0  a 1  3 ，即可求出参数的取值范围.
【小问 1 详解】
解：因为 A ∪ B  B ，所以 A  B ，
a 1  0

所以a 1  3 ，即1  a  2 ；
【小问 2 详解】
解：因为 A ∩ B   ，
所以0  a 1  3 或0  a 1  3 ，所以1  a  4 .
已知函数 f  x  ax2  4x  3 ．
若关于 x 的不等式 f  x  0 的解集是x∣b  x  1 ，求 a, b 的值．
若 a  0 ，求关于 x 的不等式 f  x  ax 1 的解集．
【答案】（1） a  7, b   3 ；
7
（2）答案见详解.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数解集的区间端点值为二次方程的根可得 a 的值，再求解二次不等式可得b 的值；
将二次不等式因式分解，对 a 的情况分类讨论解不等式即可.
【小问 1 详解】
因为不等式 f  x  0 的解集是x∣b  x  1 ，
所以 x1  b, x2  1 是方程 ax2  4x  3  0 的两个实数根，且 a  0 ，将 x  1 代入方程中得： a  4  3  0  a  7 ，
则原不等式为： 7x2  4x  3  0 ，
即7x2  4x  3  0   x 17x  3  0 ，
所以不等式的解集为{x∣- 3  x  1} ，
7
从而得出b  - 3 ，
7
所以 a  7, b   3 .
7
【小问 2 详解】
由不等式 f  x  ax 1 得： ax2  4x  3  ax 1  ax2  a  4 x  4  0 ，因为 a  0 ，所以不等式变形得到： ax  4 x 1  0 ，
所以对应方程的根为： x
  4 或 x  1，
1a2
①当 a  4 时，即 4  1，不等式为4  x 12  0 ，
a
此时不等式解集为：x | x  1 ；
②当0  a  4 时，即 4  1 ，
a
a 
此时不等式解集为：x x 1 或 x   4  ；

4
③当 a  4 时，即  1，
a

此时不等式解集为： x x

 4 或 x  1；
a
综上所述：
当 a  4 时，不等式解集为：x | x  1 ；
a 
当0  a  4 时，不等式解集为：x x 1 或 x   4  ；


当 a  4 时，不等式解集为： x x

 4 或 x  1.
a
已知集合 A  x x2  1， B  x 2  a  x  3a
若 A ∩ B  B ，实数 a 的取值范围；
若x  A ， x2  x  m  0 是假命题，求实数m 的取值集合C ；
设不等式(x  3a)(x  a  2)  0 的解集为 D，若 x  C 是 x  D 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） a  1 ．
（2） C  {m | m  2}
a  2 ．
3
【解析】
【分析】（1）求出集合 A ，又 A  B  B  B  A ，根据集合的包含关系分类讨论求解；
原命题的否定： x  A ， x2  x  m   是真命题，转化为求 x2  x(x  A) 的最大值即得；
由题意得出 D  C ，再分 D   和 D   进行讨论．
【小问 1 详解】
A  x x2  1  {x | 1  x  1}， A  B  B  B  A ，若2  a  3a ，即 a  1 ，则 B   满足题意，

若2  a  3a ，即 a  1 ，则2  a  1  3  a  1 ，又 a  1 ，故无实解，
3a  13
综上 a  1 ．
【小问 2 详解】
x  A ， x2  x  m  0 是假命题，则x  A ， x2  x  m   是真命题，即 m  x2  x ，
1  x  1时， x2  x  2 （ x  1 时取等号），所以 m  2 ，即C  {m | m  2}；
【小问 3 详解】
若 x  C 是 x  D 的必要不充分条件，则 D  C ， (x  3a)(x  a  2)  0 的解是 x  3a 或 x  a  2 ， 3a  a  2 ，即 a  1 时， D   满足题意，
3a  a  2 时， D   ，
2
3a  2
因此 a  2  2 ，解得 a  且a  1．


a  13
综上， a  2 ．
3
【点睛】方法点睛：本题考查由集合的运算结果，命题的真假，充分必要条件求参数，解题方法是根据问
题进行转化，如（1）（3）转化为集合的包含关系，再根据子集的概念分类讨论求解，如（2）转化为不等式恒成立，再转化为求函数的最值，得出参数范围．