2025-2026学年上海市徐汇区民办位育中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

这是一份2025-2026学年上海市徐汇区民办位育中学九年级（上）月考数学试卷（10月份），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知x2=y3=z5≠0，那么下列结论正确的是( )
A. 3y=5zB.
C. x=2，y=3，z=5D. x+yz−y=52
2.在锐角△ABC中，如果各边长都缩小为原来的13，那么下列说法错误的是( )
A. 周长缩小为原来的13B. 面积缩小为原来的13
C. 各内角的大小保持不变D. 各边中线的长缩小为原来的13
3.如果抛物线y=(a−1)x2+ax−1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是( )
A. a>0B. a1D. aBM)，如果AB=2，那么AM的长是 .
9.已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是 .
10.已知△ABC的三边长分别为2、3、4，△DEF与△ABC相似，且△DEF周长为27，那么△DEF的最短边的长是 .
11.已知△ABC∽△DEF，如果它们的面积比为1：2，那么对应高的比为 .
12.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，如果AC=6，AD：DB=1：3，那么CE的长为 .
13.如果将抛物线y=x2−4x+3先向左平移3个单位，再向下平移5个单位，那么平移后所得抛物线的表达式为 .
14.二次函数y=ax2+2ax+c的图象上有两个点(1,y1)、(3,y2)，如果y1>y2，那么a的取值范围是 .
15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BD⊥AC于D，如果ADBD=43，那么CDBC的值是 .
16.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，点E、F分别在边AB、CD上，且EF//AD，如果AEBE=23，AD=5，EF=6，那么BC的长是 .
17.定义：在同一平面内，如果两条线段所在直线形成的夹角是60∘，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段.如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，AD⊥BC于D，BE与AD相交于点F.若边BE是边AD的双关联线段，且BD= 3DC，则EFBF= .
18.【模型构建】如图1，已知∠B=∠C，如果∠AED=∠B，那么△ABE∽△ECD.我们把这种图形叫做“一线三等角”.
【探究应用】如图2，在梯形ABCD中，AB//CD，∠B=90∘，BC=6，点E在边BC上，BE=4，P、Q分别是边AD、BE的中点.如果∠AED=60∘，且AE=12DE，那么PQ的长为 .
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
已知：ab=cd(a≠b).
(1)如果a=1，b=2，c+d=9，求c、d的值；
(2)求证：b−ad−c=bd.
20.(本小题8分)
二次函数y=a(x−2)2+c的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是(6,0).
(1)填空：
①抛物线的对称轴为直线______；
②图象与x轴的另一个交点坐标为______.
(2)如果该函数图象经过点(0,−3)，求它的顶点坐标.
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，EF//AB，，BC=15.
(1)求DE的长；
(2)如果点A到BC的距离为8，求四边形BDEF的面积.
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AC=BC=6，点D在边AC上且AB=BD，S△ABD：S△BDC=2：1.
(1)求BD的长；
(2)将△BCD绕着点B旋转，使点D与点A重合，此时点C的对应点记为点E，BE与AC交于点F，求S△AEF：S△BFD的值.
23.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点F在边BC上，点D在CB的延长线上，∠BAF=∠BAD，点E在边AD上，且满足BD2=DE⋅AD.
(1)求证：△AFB∽△ABE；
(2)如果AC=BC，求证：2CF⋅CD=AE⋅AF.
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=−16x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B.抛物线过y=13x2+bx+c与直线y=−16x+1的图象交于B、C两点(点C在B点左侧)，且ABBC=32，抛物线的顶点为D.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)将抛物线沿着平行于x轴的直线l翻折，翻折后得新抛物线.设原抛物线与x轴的交点为E、F，且△DEF的重心G恰好落在直线l上，求翻折后新抛物线的表达式；
(3)平移原抛物线，将顶点D移至直线y=−16x+1上，记作点D1，新抛物线与y轴的交点的记作点B1，当时，求BB1的长.
25.(本小题8分)
已知，在▱ABCD中，AB⊥AC，AB=AC，点E在直线CD上，射线BE与射线AC交于点G，过点C作CH⊥BE于H，射线AH交直线CD于点F.
(1)如图，当点E在射线CD上时，
①求证：AHAD=ABBE；
②当点E恰好为边CD的中点时，求S△ABHS△EFH的值；
(2)射线BC与射线AH交于点M，当AB=3，且△HCG与△HCB相似时，请直接写出EM的长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：设x2=y3=z5=k≠0，则x=2k，y=3k，z=5k，
∵3y=9k，，
∴3y≠5z，
故A不符合题意；
假设x+1y+2=35成立，则，
解得k=1，与k是不等于0的任意实数不符，
不成立，
故B不符合题意；
∵当k=1时，x=2，y=3，z=5，而当k=2时，则x=4，y=6，z=10，
∴x=2，y=3，z=5不一定成立，
故C不符合题意；
∵x+yz−y=2k+3k5k−3k=5k2k=52，
∴x+yz−y=52成立，
故D符合题意，
故选：D.
设x2=y3=z5=k≠0，则x=2k，y=3k，z=5k，由，5z=25k，可知，可判断A不符合题意；假设x+1y+2=35成立，则2k+13k+2=35，求得k=1，与k是不等于0的任意实数不符，可判断B不符合题意；当k=2时，则x=4，y=6，z=10，可见x=2，y=3，z=5不一定成立，可判断C不符合题意；求得，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查比例的性质，通过换元，正确地用含同一字母的代数式分别表示x、y、z是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：设原锐角△ABC的三边分别为a、b、c，变化后的三角形三边分别为a′，b′，c′，
∵各边长都缩小为原来的13，
则a′=13a，b′=13b，c′=13c，
∴a′a=b′b=c′c=13，
根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，
得变化前后的两个三角形相似，且相似比为13，
原三角形周长C=a+b+c，
变化后三角形周长，
∴所以周长缩小为原来的13，
选项A说法正确，不符合题意；
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，
∵相似比为13，
∴面积比为(13)2=19，
即变化后三角形面积缩小为原来的19，而不是13，
选项B说法错误，符合题意；
根据相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，
∵变化前后的两个三角形相似，
∴各内角的大小保持不变，
选项C说法正确，不符合题意；
根据相似三角形对应中线的比等于相似比，
∵相似比为13，
∴各边中线的长缩小为原来的13，
选项D说法正确，不符合题意；
故选：B.
根据相似三角形的判定定理得得到变化前后的两个三角形相似，且相似比为13，再根据相似三角形的性质对选项进行判断即可．
本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=(a−1)x2+ax−1的顶点是它的最低点，
∴抛物线开口向上，
∴a−1>0，
∴a>1，
故选：C.
根据二次根式的性质列出算式，求出a的范围．
本题考查的是二次函数的性质，熟记当二次项系数大于零时，抛物线开口向上是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：连结CD、AB，
，
则CD//AB，
∴∠OAB=∠OCD，
又∵∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
设OD=OC=x(cm)，则DB=AC=3x(cm)，
∴OB=OA=2x，
∴CDAB=ODOB=OCOA=x2x=12，
又∵CD=20，
∴AB=40，即AB宽度为：40cm.
故选：B.
连结CD、AB，通过相似CD与AB建立比例，进而求得AB宽度．
本题考查相似三角形的应用，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠A=∠A，ACAD=ABAC，
∴△ACD∽△ABC.
∴能判定△ACD∽△ABC相似的是ACAD=ABAC，
故选：D.
利用相似三角形的判定定理解答即可．
本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为10、8、6，
∴S△ABC=10+8+6=24，
∵△ABC的重心为G，
∴S△GBC=13S△ABC=13×24=8，
∴S△GBC=S△DBC=8，
∴点D、G到BC的距离相等，且位于BC的同侧，
∴DG//BC，故结论A正确；结论B、C、D错误；
故选：A.
由题意可得S△ABC=10+8+6=24，利用三角形重心性质可得S△GBC=13S△ABC=×24=8，进而可得S△GBC=S△DBC=8，即可判断结论A正确．
本题考查了三角形的中线、重心，三角形面积，熟练掌握三角形的重心的性质是解题关键．
7.【答案】2 3
【解析】解：若b是a、c的比例中项，
即b2=ac.
∵a=3cm，c=4cm，
故答案为：2 3.
根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac.即可求解．
本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．
8.【答案】 5−1
【解析】解：∵M是线段AB的黄金分割点(AM>MB)，AB=2，
∴AM= 5−12AB= 5−12×2= 5−1，
故答案为： 5−1.
根据黄金分割点的定义知，AM是较长线段，得AM= 5−12AB，即可得出结论．
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即BC：AC=AC：AB)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC= 5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
9.【答案】163
【解析】解：设第二个矩形较长的一边长是a，
∵两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，
∴34=4a，
解得：a=163，
即第二个矩形较长的一边长是163，
故答案为：163.
设第二个矩形较长的一边长是a，根据相似多边形的性质得出，再求出a即可．
本题考查了相似多边形的性质，能熟记相似多边形的性质(相似多边形的对应边的比相等)是解此题的关键．
10.【答案】6
【解析】解：∵△ABC的三边长分别为2、3、4，
∴△ABC的周长为9，
∵△DEF与△ABC相似，且△DEF周长为27，
∴△ABC与△DEF的周长比为9：27=1：3，
∴△ABC与△DEF的相似比为1：3，
设△DEF的最短边的长是x，
则2：x=1：3，
解得x=6，
故答案为：6.
先计算出△ABC的周长，进而得出相似比为1：3，进而得出答案．
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
11.【答案】1： 2
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，面积比为1：2，
∴对应高的比为 12=1 2，即1： 2，
故答案为：1： 2.
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，由此即可求解．
本题主要考查相似三角形的性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12.【答案】92
【解析】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC=14
∴CE=34AC=92；
故答案为：92.
证△ADE∽△ABC即可得解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键，
13.【答案】y=(x+1)2−6
【解析】解：由题意，∵抛物线y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴根据先向左平移3个单位得到的抛物线解析式为y=(x−2+3)2−1，即y=(x+1)2−1.
∴再向下平移5个单位得到的抛物线解析式为，即y=(x+1)2−6.
故答案为：y=(x+1)2−6.
根据二次函数平移的规律即可求解．
本题主要考查二次函数与几何变换，熟知二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减是解题关键．
14.【答案】a1时，y随x的增大而减小，
∴a