安徽省安庆市望江县九年级上学期期末数学试题 （解析版）-A4

这是一份安徽省安庆市望江县九年级上学期期末数学试题 （解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下面四个图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合．逐一进行判断即可．
【详解】A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2. 的半径为3，若点P在内，则的长可能为( )
A. 2B. 3C. 4D. 以上都有可能
【答案】A
【解析】
【分析】当的半径是R，点P到圆心O的距离是d，当时，点P在上，当时，点P在内，当时，点P在外，根据以上内容判断即可．
【详解】∵点P在内，的半径为5，
∴，
A、，故本选项正确；
B、，此时P在圆上，故本选项错误；
C、，此时P在圆外，故本选项错误；
D、以上都有可能，不对，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，注意：点P和圆O有三种位置关系：当的半径是R，点P到圆心O的距离是d，①当时，点P在上，②当时，点P在内，③当时，点P在外．
3. 把二次函数的图象先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的图象对应的二次函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的平移．根据左加右减，上加下减的规律进行解答即可．
【详解】解：二次函数的图象先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的图象对应的二次函数表达式为，
故选：A
4. 如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和，，．已知，，，则等于（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例．
5. 如图，在中，，，则的长是（ ）

A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦函数的定义直接求解即可．
【详解】解：在中，，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形，掌握余弦函数的定义是解题的关键．
6. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则反比例函数的图象在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式得出的范围，进而判断反比例函数的图象，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：，
∴反比例函数的图象在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数图象的性质，得出是解题的关键．
7. 抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线，其部分图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A. x＞﹣2B. x＜6C. ﹣2＜x＜6D. x＜﹣2或x＞6
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，对称轴为，求出抛物线的另一个交点，根据二次函数图象的性质，即可
【详解】∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为（﹣2，0）
∴
∴
∴
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0）
∵抛物线开口向下
∴当，．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，对称轴．
8. 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A. 12 cmB. 10 cmC. 8 cmD. 6 cm
【答案】B
【解析】
【分析】如图，连接AB、OA、OC，OA交AB于E，由切线性质可得OC⊥CD，由AB//CD可得OC⊥AB，根据垂径定理可得AE的长，在△OAE中，利用勾股定理列方程可求出OA的长，进而可得铁球的直径.
【详解】如图，连接AB、OA、OC，OA交AB于E，
∵CD是⊙O的切线，C点为切点，
∴OC⊥CD，
∵AB//CD，
∴OC⊥AB，
∵AB=8，
∴AE=AB=4，
∵OA=OC，CE=AD=2，
∴在Rt△OAE中，OA2=AE2+（OA-CE）2，即OA2=42+（OA-2）2，
解得：OA=5，
∴铁球的直径=2OA=10.
故选：B.
【点睛】本题考查切线的性质及垂径定理，圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.
9. 如图，在中，，，，点A在y轴的正半轴上，点C在第一象限，且轴，点B在点C的下方，经过点B的反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．勾股定理求得的长，设，则，进而表示出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵直角边平行于轴，，
∴，
∵在反比例函数图象上，
∴，
解得：，
故选：D．
10. 如图，在中，，点E为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则最短为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，故过作的垂线，所以点与点重合时，长度最小．
【详解】解∶如图，
∵在中，，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
当最短时，也就是最短，则过作的垂线，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
点与点重合时，长度最小，此时，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质；熟练掌握平行四边形的性质，垂线段最短是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 抛物线的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的解析式可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】解：∵，
∴该函数的顶点坐标是，
故答案为：．
12. 如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，则的度数为____．
【答案】##36度
【解析】
【分析】连接，利用中心角的计算公式求出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可得解．
【详解】解：连接，正五边形内接于，
则：，
∴；
故答案：．
【点睛】本题考查正多边与圆．熟练掌握求中心角的度数的公式，以及在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，是解题的关键．
13. 如图，点A，，都是正方形网格格点，连接，，则的正弦值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键；连接，由勾股定理可分别得出的长，然后可得，进而根据正弦的定义可进行求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
14. 如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片，点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处（不与点重合），连接，，．设与直径交于点．若，则__度；的值等于________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质等知识．由折叠性质知，设，则，，再由及三角形内角和可求得结果；设圆半径为r，易得，可得，则由可求得结果．
【详解】解：由折叠性质知，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
解得：，
∴；
设圆半径为r，
∵，，
∴，
即，
∵，
∴，，
∴由得：，
解得：，负值舍去；
∵，
∴，
而，
即．
故答案为：，．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数的混合运算，先化简各个特殊角的三角函数，再根据二次根式的乘法进行计算，最后运算加减法，即可作答．
【详解】解：
．
16. 如图，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，请在方格纸上按要求画出格点三角形：
（1）在图①中画，使得，且相似比为．
（2）以点为旋转中心，将顺时针旋转，使得点落到点处，点落到点处，在图②中画出．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似变换及旋转变换，相似三角形的性质，正确得出对应点位置是解此题的关键．
（1）首先利用勾股定理求出，，的长度，然后利用相似三角形的性质得到，，的长度，进而画出图形即可；
（2）首先根据旋转的性质画出点A，B绕点C顺时针旋转得到的点E，F，然后顺次连接即可．
【小问1详解】
∵，，，
∵，且相似比为
∴
∴
∴，，，
∴如图所示，即为所求；
【小问2详解】
如图所示，即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知米，米．在安全使用的前提下，当时，桑梯顶端达到最大高度，求此时到地面的距离．（参考数据：，，，精确到0.1米）
【答案】当时，D到地面的距离2.7米．
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题的关键．过点作于点，利用等腰三角形的性质求得的度数，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可．
【详解】解：过点作于点，如图，
，，
．
米，米，
（米．
在中，
，
，
（米．
答：当时，到地面的距离2.7米．
18. 已知抛物线交x轴于，，与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知P为抛物线上一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）点P的坐标为
【解析】
【分析】（1）把过点的坐标代入解析式，解方程组解答即可；
（2）先确定直线的解析式为． 设点的坐标为．结合已知条件得到点P的坐标为：，代入抛物线的解析式解答即可．
本题考查了待定系数法，抛物线与一元二次方程的关系，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键．
【小问1详解】
解：将，代入得：
解得：
∴抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
解：由，
当时，，
故点，
设直线的解析式为．
则
解得
∴直线的解析式为．
设点的坐标为．
∵点P与点关于x轴对称，
∴点P的坐标为：，
∵点P在抛物线上，
∴，
解得：，，
∵点P不与点B重合，
∴，
∴点P的坐标为：．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，某公园内有座桥，桥的高度是5米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°，为方便老人过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i= ：3．若新坡角外需留下2米宽的人行道，问离原坡角（A点处）6米的一棵树是否需要移栽？（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）

【答案】不需要移栽，理由见解析
【解析】
【分析】根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB-AB求出AD的长，然后将AD+2与6进行比较，若大于则需要移栽，反之不需要移栽．
【详解】解：不需要移栽，理由为： ∵CB⊥AB，∠CAB=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=5米，
在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i= ：3，即∠CDB=30°，
∴DC=2BC=10米，BD= BC=5 米，
∴AD=BD﹣AB=（5 ﹣5）米≈3.66米，
∵2+366=5.66＜6，
∴不需要移栽．
【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
20. 如图，中，边上一点，为内切圆，、、为切点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理；
（1）根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解；
（2）设，则，根据，即可求解．
【小问1详解】
∵为内切圆，、、为切点，
∴，
∵，
∴即
∴
【小问2详解】
设，
∵，
∴
∵，
∴
∵，
∴，解得，
∴
六、（本题满分12分）
21. 如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A，与x轴交于点D，，且B点横坐标是其纵坐标的2倍
（1）求反比例函数的解析式．
（2）如图，一次函数的图象向下平移10个单位长度，得到新的函数图象与x轴交于点C．设点A的横坐标为m，若的面积为15，求m的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数得综合运用．
（1）设点B的纵坐标为t，则点B的横坐标为，根据题意，得 ，则，进而求得反比例函数解析式为；
（2）设点A的坐标为 ，后将点A，B的坐标代入故可得直线的解析式为 ，则点D的坐标为，将一次函数的图象向下平移10个单位长度后，得到新的解析式为，所以点C的坐标为，根据三角形面积列方程求解即可．
【小问1详解】
设点B的纵坐标为t，则点B的横坐标为，
根据题意，得 ，
∵，
∴，
∴点B的坐标为，
设反比例函数为 ，得 ，
∴反比例函数解析式为 ，
【小问2详解】
设点A的坐标为 ，
把点A，B的坐标代入，
得：，，
∴直线的解析式为 ，
当时 解得，
∴点D的坐标为，
将一次函数的图象向下平移10个单位长度后，
得到新的图象的解析式为 ，
令，解得，
∴点C的坐标为，
∴，
解得．
七、（本题满分12分）
22. 一家水果超市以每斤4元的价格购进橘子若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出80斤，通过调查发现，这种橘子每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．
（1）若将橘子每斤的售价降低元，则每天的销售量是____________斤（用含的代数式表示）；
（2）销售这批橘子要想每天盈利280元，且保证每天至少售出220斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？
（3）当每斤橘子售价为多少元时，才能在一天内获得最大利润？最大利润是多少?
【答案】（1）
（2）水果店需将每斤橘子的售价降低1元
（3）当每斤橘子售价为5.2元时，才能在一天内获得最大利润，最大利润是288元
【解析】
【分析】本题考查二次函数解析式和一元二次方程的应用；
（1）利用每天的销售量=降低的价格，即可用含x的代数式表示出每天的销售量；
（2）利用每天销售利润=每斤的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要保证每天至少售出220斤，即可确定x的值，进而可得出每斤的售价降低的钱数．
（3）设将这种橘子每斤的售价降低元，一天内获得的利润为元，列出二次函数解析式，即可求解
【小问1详解】
由题意得：斤，
故答案为：
【小问2详解】
设：水果店需将每斤橘子的售价降低元，则每斤橘子售价为元，由题意得：
，
解之得：，
为保证每天至少售出220斤，即


水果店需将每斤橘子的售价降低1元．
【小问3详解】
设将这种橘子每斤的售价降低元，一天内获得的利润为元，
由题意得：
当时，
每斤橘子的售价为
答：当每斤橘子售价为5.2元时，才能在一天内获得最大利润，最大利润是288元
八、（本题满分14分）
23. 如图，是的直径，点C是劣弧中点，与相交于点E．连接，，与的延长线相交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】连接，由圆周角定理得，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论；
根据同圆中等弧对等角、等角对等弧可得答案；
设为x，则为，根据勾股定理可得方程，求得的长，再根据三角形中位线定理可得答案．
此题考查的是圆周角定理、切线的判定与性质、勾股定理和三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决此题关键．
【小问1详解】
解：连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
【小问2详解】
解：∵点C是中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【小问3详解】
解：如图：连接线，交于H，
∵，，
于点H，
设为x，则为，根据勾股定理，
，
解得：，
，
是中位线，