湖南省衡阳市第八中学2026届高三上学期11月期中数学试卷（Word版附解析）

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命题人：徐五洲 审题人：廖洪波
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若是纯虚数，则（ ）
A. B. C. D. 1
2. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
4. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵坐标轴表示产品价格（自变量），而用横坐标来表示产品的数量（因变量），下列供求曲线，哪一条表示厂商希望的供应曲线，哪一条表示客户希望的需求曲线，则判断正确的是（ ）．
A. 厂商希望（1），客户希望（2）B. 厂商希望（2），客户希望（1）
C. 厂商希望（1），客户希望（1）D. 厂商希望（2），客户希望（2）
5. 如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）.
A. B. C. D.
6. 下列说法中正确的是（ ）
A. 的最小值为4B. 的最小值为2
C. 的最小值为2D. 的最小值为1
7. 用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点B作与垂直的单位向量，因为，所以．由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图2，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E．设，，，，则与△ABC的边和角之间的等量关系为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在中，命题，命题，则P是Q的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 最小正周期是B. 的值域是
C. 的图像关于点对称D. 的图像关于直线对称
10. 根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到线性回归模型，对应的残差如图所示，则残差模型（ ）

A. 满足回归模型的假设
B. 不满足回归模型的假设
C. 满足回归模型的假设
D. 不满足回归模型的假设
11. 已知无穷数列中，是以10为首项，以为公差的等差数列，是以为首项，以为公比的等比数列，对一切正整数，都有.设数列的前项和为，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 不存在，使得成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在处的切线方程是______．
13. 已知中，，则________.
14. 人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为“”．现已知平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，则平面与平面夹角的余弦值的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:
（1）平面AEC;
（2）平面AEC⊥平面PBD．
16. 已知等差数列的前n项和为，且，（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前n项和.
17. 如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点到，，的距离分别为和2.，分别是直线，上的动点，且，设.

（1）写出面积关于的函数解析式；
（2）求函数的最小值及相对应的的值.
18. 已知椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，过点作直线的垂线为垂足.求：
①已知直线过定点，求定点坐标；
②点为坐标原点，求面积的最大值.
19. 设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间.
（1）已知函数，求的凹、凸区间；
（2）如图所示为某个凹函数图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有.
①将不等关系转化为对应的不等式；
②证明：当，时，恒成立.