湖南省衡阳市第八中学2026届高三上学期期中考试数学试题（扫描版附答案）

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命题人：徐五洲 审题人：廖洪波
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. B 2. D 3. D 4.A 5. B 6. D 7. C 8. B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. ABD 10. BD 11. ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明;
(2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.
【详解】（1）设,连接,如图所示:
因为O,E分别为,的中点,所以,
又因为平面,平面,
所以平面． …………………………6分
（2）连接,如图所示:
因为,为的中点,所以,
又因为四边形为菱形,所以,
因为平面,平面,且,
所以平面,又因为平面,
所以平面平面． …………………………13分
16．(1)；(2)
【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，即可解出，则可写出其通项公式.
（2）利用错位相减，化简解可得出答案.
【详解】（1）由题意知：，（）
即：，化简得.
所以数列的通项公式. …………………………6分
（2）因为
所以 ①，
可得 ②，
①-②得：
.
故. ……………………………………………………15分
17．(1)，；(2)当时，取得最小值．
【分析】（1）由直角三角形的锐角三角函数的定义和三角形的面积公式得函数解析式；
（2）由三角函数的和差公式化简函数解析式，结合正弦函数的性质，可得所求最小值．
【详解】（1），，
又，，，则，
中，，中，，
，； ………………7分
（注：未写出定义域扣1分）
（2）
，
，，
当，即时，取得最小值为． ………………………………………………15分
18．(1)；(2)①；②
【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质，得到，结合，求得的值，即可求得椭圆的标准方程；
（2）①设直线为，联立方程组，求得，求得直线的方程为，令，得到，即可得到直线过定点；.
②利用韦达定理求得，得到，令，转化为，结合的单调性，即可求解.
【详解】（1）解：由椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1，
由椭圆的几何性质，可得，解得，则，
所以椭圆的标准方程为. …………………………3分
（2）解：①由题意，根据椭圆的对称性可得，点必在上，且，
设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，所以，可得，又由，所以直线的方程为，
令，则，所以直线过定点. ……10分
②由①知：，
可得，
所以，
令，则，所以，
因为函数在上为单调递增函数，所以在上为单调递减函数，
故当时，面积取得最大值，最大值为. ……………………………………………………17分
【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；
（3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用．
19．(1)凹区间为，凸区间为；
(2)①；②证明过程见解析
【分析】（1）二次求导，得到导函数的单调区间得到的凹区间和凸区间；
（2）①表达出的坐标，由得到结论；
②对不等式两边取对数，问题等价于，构造函数，，二次求导，得到是函数的凹区间，，所以当时，是凹函数，结合①的结论得到答案.
【详解】（1）因为的定义域为，，
设，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以的凹区间为，凸区间为； …………………………4分
（2）①对于凹函数定义域中的任意两个自变量，
，，
，，
所以，，
由，有， ………………………………………………10分
②对不等式两边取对数，问题等价于，
恒成立，
构造函数，，
即恒成立，
，令，
，
令，即，解得，
所以是函数的凹区间，
，所以当时，是凹函数，
由①知，，当时，等号成立，
所以时，恒成立，
即恒成立. ……………………………………………………17分
【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.