湖南省衡阳市第八中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解.
【详解】由集合，，得.
故选：C
2. 设，则“”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】先解一元二次不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】由，解得，
所以“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：C.
3. 下列表示函数图象的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合各个选项，利用函数的定义，即可求解.
【详解】由A、B、C选项的图知，存在的值，不止一个与之对应，
由函数的定义知A，B，C选项对应的图形不表示函数，
对于D，由图知，每一个的值，有且只有一个值与之对应，所以D正确．
故选：D.
4. 已知，则M与N的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用作差法比较大小.
【详解】依题意，，
所以
故选：C
5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知关于对称，，再由在上单调递增可判断大小关系.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以对，，
所以关于直线对称，所以，
又因为在上单调递增，所以.
故选：B
6. 在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底，毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1.每天的“进步率”为3%，那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为，如果每天的“迟步率”为3%，同样经过一个学期后的学习情况为，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍还多，按上述情况，若“进步"的值是“迟步”的值的10倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考数据：，）（ ）

A. 28B. 38C. 60D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意建立指数方程，指数式化对数式求解方程，再利用换底公式，转化为常用对数运算即可.
【详解】设要经过天，“进步"的值是“迟步”的值的10倍，
则，即，
则
.
故选：B.
7. 已知实数满足，则（ ）
A. B.
C. 2D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由，得，
得，故,再由，构造函数，由单调性求解．
【详解】，
则，
得，故,
由，得，
令，
因为都是增函数，所以在上是增函数，
由，得，故．
故选：A
8. 已知函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用换元法求得的值域为，利用基本不等式可得的值域为，根据题意可知，根据包含关系列式求解即可.
【详解】因为，，
设，，
令，则，
可得，当且仅当时，等号成立，
则，所以的值域为，
又因为，当且仅当时取等号，
可得，所以的值域为，
根据题意可知：，则，
即，解得且，
所以实数的取值范围．
故选：C.
【点睛】结论点睛：本题考查恒成立问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，是假命题的有（ ）
A. 若，则
B. 函数且的图象恒过定点
C. 若函数，则
D. 函数的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】举反例判断A，根据指数函数的性质判断B，根据函数解析式判断C，利用基本不等式判断D.
【详解】对于A：若，满足，但是、均无意义，故A错误；
对于B：对于函数且，令，解得，此时，
所以图象恒过定点，故B错误；
对于C：因为，则，
所以，故C正确；
对于D：因为，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为，故D正确；
故选：AB
10. 已知函数（），下列说法正确的是（ ）
A. 当时，函数的值域为
B. 当时，函数有最小值没有最大值
C. 当时，函数在区间上单调递增
D. 当时，函数的值域为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据基本不等式，结合奇函数的性质即可求解A，根据对勾函数以及函数的单调性和奇偶性，即可求解BCD.
【详解】对于A， 时，，当，当且仅当时取到等号，
由于，故为奇函数，故当，
因此函数的值域为，故A正确；
对于B，当时，，由于函数均在上单调递增，
故在上单调递增，，，
故内无最大值也无最小值，
结合，故为奇函数，因此在内也无最大值和最小值，
综上，函数无最大值和最小值，故B错误；
对于C ， 当时，，函数，根据对勾函数的性质可知，
在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对于D，由B可知，当时，在上单调递增，且为奇函数，因此函数的值域为，D正确，
故选：AD
11. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件：
①对任意的，都有；
②对任意的实数，都有；
③.
则下列说法正确的有（ ）
A.
B. ，使得
C. 在上单调递减
D. 不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，令，代入求值即可；对于B，设，则总存在正整数，使得，此时，与②矛盾；对于C，根据单调性的定义证明函数在上单调递减，再结合奇函数的性质可得函数在上的单调性；对于D，根据函数的单调性和奇函数的性质，以及，可解不等式.
【详解】对于A，令，则，故正确；
对于B，假设，，，
则一定存在正整数，使得，此时与条件②矛盾，故错误；
对于C，假设，使得，
由，得，，
则一定存在正整数，使得，此时，与条件②矛盾，
故，有；
设，且，
由，得，
由任意的实数，都有，得，，
故，即，有；
综上，，有；
又，
所以在上单调递减，由于函数是定义在上的奇函数，
所以函数在上单调递减，故正确；
对于D，，则.
又，.
，，
所以，，
因为函数在上单调递减，又，所以由，得；
因为函数在上单调递减，又，所以由，得；
又函数是定义在上的奇函数，所以；
故解集为，故正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的表达式即可求解.
【详解】点在幂函数的图像上，
，解得，
的表达式为.
故答案为：.
13. 若，且，则______________.
【答案】
【解析】
【分析】由条件得到，再结合对数的运算性质即可求解.
【详解】由，
可得：，
所以，
即，即，
而，所以，
故答案为：
14. 设表示不超过的最大整数，方程的最小解与最大解的和为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设（为整数，），将代入，得到，要比较的大小，先要比较的大小，若相等，再比较的大小，得到，所以的最大值只有当时取到，且最大值为0，此时的最大解为0，又因为，所以，当且仅当时，，因此的最小解为，求出的最小解与最大解的和.
【详解】设（为整数，），代入，
得，
即，
显然均为整数，
故，
即，
对于每个不同的，确定了唯一的有序实数对，从而也互不相同，
要比较的大小，先要比较的大小，若相等，再比较的大小，
因为，
所以的最大值只有当时取到，且最大值为0，此时的最大解为0，
又因为，
所以，当且仅当时，，此时的最小解为，
综上，方程的最小解与最大解的和为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：设（整数，），将代入，得到，再进行下一步求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合．
（1）当时，求集合；
（2）若，求整数的所有可能取值．
【答案】（1）
（2）1和2
【解析】
【分析】（1）当时代入求得集合，再由交集定义求解即可；
（2）求出集合，由子集关系列不等式求出的范围，再求整数即可.
【小问1详解】
当时，，则.
【小问2详解】
等价于，解得，
由，得，解得，
所以整数的所有可能取值为1和2．
16. 已知函数的图象过点.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（3）若且函数在上的值域为，求的值.
【答案】（1）
（2）函数在上单调递减，证明见解析
（3）8
【解析】
【分析】（1）将代入函数的解析式，求出的值即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）根据函数的单调性得到关于的方程，求出的值，从而求出的值即可．
【小问1详解】
因为函数的图象过点，
所以，解得，
所以函数的解析式为
【小问2详解】
函数在上单调递减，证明如下：
任取，
则，
因为，所以，
所以，
所以函数在上单调递减
【小问3详解】
因为且函数在上单调递减，
所以，解得，
所以
17. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元.在年产量不足7万件时，（万元）；在年产量不小于7万件时，（万元）.每件产品售价为6元.假设小王生产的产品当年全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）；
（2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当年产量为9（万件）时，利润最大，为17万元
【解析】
【分析】（1）根据年利润的算式，分和两种情况得到的分段函数关系式；
（2）当时根据二次函数求最大值的方法来求利润最大值，当时利用基本不等式来求利润的最大值，最后综合即可.
【小问1详解】
因为每件产品售价为6元，则（万件）商品销售收入为万元，
依题：当，时， ，
当，时，，
所以
【小问2详解】
当时，，
由二次函数的性质可得，当时，取得最大值（万元）；
当，时，，
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，取得最大值17（万元），
因为，所以当产量为9（万件）时，利润最大，为17万元．
18. 已知，；
（1）当时，解方程；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；
（3）若对任意，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求的取值范围；
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用对数函数的单调性，求不等式的解集即可；
（2）根据题意得出方程恰有一个实根，化简转化为判断方程的根的个数问题，通过讨论和即可求出答案.
（3）对任意，函数在区间上总有意义，得对恒成立，求得.
根据题意得出，即任意恒成立，利用二次函数在区间上恒成立求得的范围.
【小问1详解】
当a＝1时，不等式化为，
∴，且，
∴，解得或（舍去）；
【小问2详解】
由，得，
即，所以，
当时，则，解得，经过验证此时满足题意；
当时，①若，则，此时解得．经过验证满足题意；
②若时，方程有两不等实根，
设为，显然，
由，得，因为，所以，
即
所以都满足，所以此时不满足题意.
综上可得或；
【小问3详解】
因为对任意，函数在区间上总有意义，
所以对恒成立，
因为在上为减函数，故只需对任意恒成立，
所以只要，故，解得
对任意，函数在区间上单调递减，
所以函数在区间上最大值为，最小值为，
所以，所以，
即任意恒成立，
令
当时，，
当时，，矛盾；
当时，在上单调递增，
所以时，取得最大值，且最大值为，
所以当时不满足.
当时，对任意恒成立，
有以下三种情况：
①，解得，结合得.
②，由得 ，而，故此情况无解.
③，解得，此时无解.
所以实数的取值范围是．
19. 定义：对于函数，.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”.
（1）给出，.判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由；
（2）给出，.若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值；
（3）给出，.求证：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围.
【答案】（1）函数是“一致变化函数”，理由见解析
（2）4 （3）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）取，满足要求，是“一致变化函数”；
（2）求出定义域，，由题意得到不等式，得到对一切成立，故有，因为，等价于成立，所以，换元，由基本不等式，求出最值，得到答案；
（3）取，得到，所以是“一致变化函数”；根据为偶函数且在上为减函数，等价于研究对恒成立时的取值范围，即恒成立，对恒成立，令，对恒成立，由函数单调性得到，只需即可，解得.
【小问1详解】
取，，
所以函数“一致变化函数”.
【小问2详解】
定义域为，
因为是“一致变化函数”，其中，
对一切成立，故有.
因为，
所以不等式恒成立等价于成立，所以，故而，
所以，令，故且，
所以，当且仅当，
即，时等号同时取到.所以的最小值为4.
【小问3详解】
取，，
，
所以函数是“一致变化函数”.
，，
因为为偶函数且在上为减函数，
所以①当时，有，设，
即，
，
②当时，有，，
，
③当时，；
综上，等价于研究对恒成立时的取值范围，
对恒成立，
恒成立，恒成立，
对恒成立，
对恒成立，
令，对恒成立，
又，所以在上为严格增函数，
只需即可，解得.
【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.