湖南省衡阳市第八中学2026届高三上学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

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命题人：刘瑶 审题人：周福
注意事项：本试卷满分为 150 分，时量为 120 分钟
一､单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由交集的概念求解，
【详解】集合 ， ，则 ，
故选：A
2. 若向量 ，则
A. B. 5 C. 20 D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】由 求得坐标，再利用求模公式求解.
【详解】因为向量 ，
所以 ，
故选：B.
3. 若数列 满足： ， ( )，则 （ ）
A. 8 B. 16 C. 32 D. 9
【答案】B
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【解析】
【分析】根据等比数列的定义，结合等比数列的通项公式进行求解即可.
【详解】由 ，所以数列 是以 为公比的等比数列，
又因为 ，所以 ，因此 ，
故选：B
4. 若随机变量 服从正态分布 ， ，则实数 等于（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性计算．
【详解】由题意 ，解得 ．
故选：B．
5. 已知 是虚数单位，则复数 在复平面上所对应的点的坐标为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将复数的分子分母同乘以 ，计算出 ，即可求出对应的点的坐标．
【详解】由于 z= = = = ，
则复数 z 在复平面上的对应点 ．
故选：D．
6. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， ， ，则 （ ）
A. 8 B. 9 C. 15 D. 17
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的性质化简已知条件，由此列方程，通过通过解方程求得 的值.
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【详解】因为 ，所以 ，又 ，
，所以 ，解得 .故选 C.
【点睛】本题考查等差数列的性质与前 项和的计算，考查运算求解能力.属于中档题.
7. 现在需要制作一个长和宽分别为 和 的矩形大裱框，要求其长和宽使用不同的材质，长和宽材质的
单价分别为 元 和 元 ，在总制作费用不超过 元的条件下，可裱框相片的最大面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件可得出 ，然后利用基本不等式可求得裱框相片的最大面积.
【详解】由已知得， ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以可裱框相片的最大面积为 平方米.
故选：C.
【点睛】方法点睛：（1）利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中
数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解；
（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．
8. 国家于 2021 年 8 月 20 日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国
家提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，
一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件 ：该家庭既有男孩又有女孩；事件 ：
该家庭最多有一个男孩；事件 ：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（ ）
A. 事件 与事件 互斥但不对立 B. 事件 与事件 互斥且对立
C. 事件 与事件 相互独立 D. 事件 与事件 相互独立
【答案】D
【解析】
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【分析】利用互斥事件、对立事件的意义可判断选项 A，B；利用独立事件的定义可判断 C,D
【详解】有三个小孩的家庭的样本空间可记为：
={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，
男)，(女，女，女)}，
事件 ={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}
事件 ={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件 ={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，
对于 A， ,且 ，所以事件 B 与事件 C 互斥且对立，故 A 不正确；
对于 B， {(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件 与事件 不互斥，故 B 不正
确；
对于 C，事件 有 4 个样本点，事件 有 4 个样本点，事件 有 0 个样本点，
，显然有 ，即事件 与事件 不相互独立，
故 C 不正确；
对于 D，事件 有 6 个样本点，事件 有 4 个样本点，事件 有 3 个样本点，
，显然有 ，即事件 与事件 相互独立，
故 D 正确；
故选：D
二､多选题（本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合
题目，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 已知向量 ，其中 均为正数，且 ，下列说法正确的
是（ ）
A. 与 的夹角为钝角
B. 向量 在 方向上 投影为
C.
D. 最大值为 2
【答案】CD
【解析】
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【分析】通过求出 ，向量 在 方向上的投影，利用平行关系结合基本不等式，即可得出结论.
【详解】由题意， 均为正数，
，
A 项，
∵ ，
∴ 与 的夹角不为钝角，A 错误；
B 项，
∵ ，
∴向量 在 方向上的投影为 ，B 错误；
C 项，
∵ ， ，
∴ ，即 ，C 正确；
D 项，
∵ ，即 ，当且仅当 时等号成立，
∴ 的最大值为 2，D 正确；
故选：CD.
10. 已知椭圆 ： 的左、右顶点分别为 ， ，点 在椭圆 上，点 ．若
直线 ， 的交点为 ，则 的值不可能为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】AB
【解析】
【分析】由椭圆的方程得出 的取值范围，分别求出直线 和直线 的方程，联立解出交点坐标，可
得 ，利用 的取值范围得出 的范围，结合选项得出答案．
【详解】依题意， ， ，则 ，
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而直线 斜率 ，则直线 方程为 ，
直线 的斜率 ，直线 的方程为 ．
联立 ，解得 则 ，
则 ，由 ，得 的取值范围为
，
故选：AB
11. 在正三棱锥 中， ，D 为 PC 的中点，以下四个结论中正确的是（ ）
A. 若 平面 ABD，则二面角 余弦值为
B. 若 平面 ABD，则三棱锥 的外接球体积为
C. 若 ，则三棱锥 的体积为
D. 若 ，则三棱锥 的外接球表面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】 平面 ABD，根据等边三角形三线合一的性质可判断出 为正四面体形，根据正四面
体形性质判断即可； ，可判断出 为 PA，PB，PC 两两垂直的正三棱锥，将其还原到正
方体中即可计算判断.
【详解】A，B 选项中，如图，因为 平面 ABD，所以 AD， BD，
因为 D 为 PC 的中点，所以 ， ，
所以正三棱锥 为正四面体，
设 中点为 E，则二面角 的平面角为 ，
， ， ，根据余弦定理可知 ，
根据正四面体形外接球半径公式可知，外接球半径 ，
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则外接球体积为 ，故 A，B 正确；
C，D 选项中，根据条件可知，正三棱锥 为 PA，PB，PC 两两垂直的正三棱锥，
所以体积为 ，故 C 错误；
其外接球半径 ，
故外接球表面积 ，故 D 正确.
故选：ABD．
三､填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知圆锥的母线长为 2，高为 1，则其体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意，根据勾股定理求出底面圆的半径，结合圆锥的体积公式计算即可求解.
【详解】由题意知，设圆锥的母线为 l，高为 h，底面圆半径为 r，
则 ，
所以该圆锥的体积为 .
故答案为：
13. 若向量 ，则 __________.
【答案】
【解析】
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【分析】根据平面向量数量积运算律可得 ，再根据
计算可得；
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
所以
所以
故答案为： .
14. 若等差数列 满足 ，则当 __________时， 的前 项和最大．
【答案】8
【解析】
【详解】试题分析：由等差数列的性质， ， ，又因为 ，所以
所以 ，所以 ， ，故数列 的前 8 项最大.
考点：等差数列的性质，前 项和的最值，容易题.
四､解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16.求{an}的通项公式．
【答案】an＝2n－1.
【解析】
【分析】由等比数列的通项公式，代入即可的得出结果.
【详解】设数列 的公比为 q.
由题意，得 解得
所以 的通项公式为
16. 在 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c， ，
（1）求角 A；
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（2）若 ，求 a 的最小值.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式及正弦定理将边化角，再结合二倍角公式计算可得；
（2）由数量积的定义求出 ，再由余弦定理及基本不等式计算可得；
【小问 1 详解】
解：在 ，由 ，
所以 ，即 ，
再由正弦定理得 ，
，因为 ，
∴ ，
因为 ，所以 ，
∴ .
【小问 2 详解】
解：由 ，即 ，所以 .
由
当且仅当 时，所以 的最小值为 2.
17. 已知函数 .
（1）若 且 存在零点，求实数 a 的取值范围；
（2）若 ，求 的最大值.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
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【分析】(1)利用函数的导数与单调性的关系确定函数的零点，极值点即可求解；
(2)根据 不同取值进行分类讨论，利用函数 的单调性与导数的关系，讨论函数的极值，进而可求解.
【小问 1 详解】
因 ，所以 ，
①当 时， ，此时 在 单调递增，
所以 在 存在唯一零点，
所以 在 存在唯一零点；
②当 时， ，所以 在 无零点；
③当 时， ， ，
此时 在 单调递减， 单调递增，
所以 ，且 ，
若 存在零点，则只需要 即可，
所以 ，
由①②③可得，实数 的取值范围 ；
【小问 2 详解】
①当 时， ，此时 在 单调递增，
当 时 与 恒成立矛盾；
②当 时， ，则 ，所以 ，
③当 时， ， ，
此时 在 单调递减， 单调递增，
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所以 ，
令 ，所以 ，
， ，
所以 在 单调递增， 单调递减，
，所以
由①②③可得， 的最大值为 .
18. 已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴､ 轴，且过 两点．
（1）求 的方程；
（2）设过点 的直线交 于 两点，点 关于 轴的对称点为 ，问直线 是否过定点？若
过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）
（2）直线 过定点 .
【解析】
【分析】（1）设椭圆 的方程为 ，进而待定系数求解即可；
（ 2） 当 斜 率 存 在 时 ， 方 程 为 ， ， 进 而 得 的 方 程 为
，再联立方程，结合韦达定理化简整理得 ，进而得定点，
再说明斜率不存在时满足即可.
【小问 1 详解】
解：因为椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴､ 轴，
所以，设椭圆 的方程为 ，
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因为椭圆 过 两点，
所以 ，解得 ，
所以，椭圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
解：当过点 的直线斜率存在，设方程为 ， ，
联立方程 得 ，
则 ，解得 或 ，
因为点 关于 轴的对称点为 ，所以 ，
所以 ，直线 的方程为
所以，将 代入整理直线 的方程得：
所以，直线 过定点 .
当过点 的直线斜率不存在时，方程为 ，此时 ，
点 在 轴上，直线 的方程即为 ，过点 .
综上，直线 过定点 .
19. 某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了 500 名高中学生进行在线调查，收
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集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成 ，
， 九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）为进一步了解这 500 名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在
三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 10 人，现从这 10 人中随机抽取 3
人.记参加公益劳动时间在 内的学生人数为 ，求 的分布列和期望；
（2）以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取 20 名学生，用“ ”表示这 20 名
学生中恰有 名学生参加公益劳动时间在 ]（单位:小时）内的概率，其中 .当
最大时，写出 的值.
【答案】（1）分布列见解析，期望为
（2）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，求出 的值，由频率分布直方图求出这 500 名学生中参加公益
劳动时间在 ， ， 三组内的学生人数分别为 50 人，40 人，10 人，采用分层抽样的
方法抽取了 10 人，则从参加公益劳动时间在 内的学生中抽取 4 人，现从这 10 人中随机抽取 3 人，
则 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列，由分布列即可计算期望；
（2）根据独立重复试验的概率公式得到不等式组，解得 的取值范围，即可得解.
【小问 1 详解】
由频率分布直方图得:
解得
这 500 名学生中参加公益劳动时间在 三组内的学生人数分别为: 人，
人， 人，
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若采用分层抽样的方法抽取了 10 人，
则从参加公益劳动时间在 14，16 内的学生中抽取: 人，
现从这 10 人中随机抽取 3 人，则 的可能取值为 0，1，2，3，
的分布列为:
0 1 2 3
则其期望为
【小问 2 详解】
由（1）可知参加公益劳动时间在 的概率
所以
依题意 ，即 ，
即 ，解得
因为 为非负整数，所以 ，
即当 最大时，
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