安徽省阜阳市太和县九年级上学期1月期末数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省阜阳市太和县九年级上学期1月期末数学试题（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．满分150分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：C．
2. 下列函数中，一定是关于的二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意是不等于零的常数．
根据二次函数的定义：（且是常数）判断即可得答案．
【详解】解：A、时不是二次函数，故A不符合题意；
B、是一次函数，故B不符合题意；
C、里含有分式，故C不符合题意；
D、是二次函数，故D符合题意；
故选：D．
3. 两年前生产1千克甲种药品成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为，
根据题意可得，
故选：B．
4. 若投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，则投掷第5次时，硬币正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查可能性的大小，熟练根据概率的知识得出可能性的大小是解题的关键．
根据每次投掷硬币正面朝上的可能性都一样得出结论即可．
【详解】解：每次投掷硬币正面朝上的可能性都为．
故选：C．
5. 正比例函数的图象与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的图象，熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象是解题的关键．分别判断正比例函数和反比例函数的图象，即可得出答案．
【详解】解：由正比例函数中，，
∴正比例函数的图象是过第一、三象限的正比例函数，
选项B、D符合；
由反比例函数中，，
∴反比例函数的图象是过第一、三象限的反比例函数，
选项C、D符合；
综上，选项D符合题意，
故选：D．
6. 如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，最后根据圆周角定理计算的度数．
【详解】连接，
，分别与相切于A，B两点，
，
，
，
，
故选：B．
7. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．闭合开关后，经测试，发现电流（单位：A）随着电阻（单位：）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路的（ ）
A. 最小电流是6AB. 最大电流是9A
C. 最大电流是6AD. 最小电流是9A
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系．
根据图象观察可得，两个变量之间的函数关系为反比例函数，设，利用待定系数法，则可求出，然后代入求值即可．
【详解】解：根据电压电流电阻，设，
将代入得，解得，
；
若该电路的最小电阻为，该电路能通过的最大电流是．
故选：C．
8. 若关于的方程没有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式．根据没有实数根得到，解不等式即可．
【详解】解：∵关于的方程没有实数根，
∴，
解得，
故选：A
9. 如图，是四边形的内切圆，若，则四边形的周长是（ ）
A. 22B. 64C. 52D. 44
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解本题的关键．设切点分别为，，，，连接，，，，根据四边形是的外切四边形，得出，，，，证得，再根据，即可得出四边形的周长．
【详解】解：设切点分别为，，，，连接，，，，
四边形是的外切四边形，
由切线长定理可得，，，，
，
，
所以四边形的周长．
故选：D．
10. 如图，正方形的边长为分别为各边上的点，且．设，阴影部分的面积为，则关于的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】解：正方形边长为1，，
，，
，
是的二次函数，函数的顶点坐标为，开口向上，
从4个选项来看，只有B符合题意．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知是方程的一个根，则代数式的值为______．
【答案】2025
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；根据题意易得，然后根据整体思想代入求值即可．
【详解】解：由题意得：，即，
∴；
故答案为2025．
12. 在一次试验中，每个电子元件“”的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等，则图中，之间电流能够正常通过的概率是______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法求概率，概率公式等知识点，正确画出树状图是解题的关键．
画出树状图，共有种等可能的结果，，之间电流能够正常通过的结果有种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，，之间电流能够正常通过的结果有种，
，之间电流能够正常通过的概率为，
故答案为：．
13. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，使点的对应点恰好落在边上．若，则的度数为______．
【答案】##75度
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，先根据旋转得到，，然后根据等边对等角得到，即可解题．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
∵，
∴，
∴．
故答案：．
14. 如图，是的内切圆．
（1）若，则的度数为______．
（2）若，则的半径为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）由得，因为是的内心，所以，，则即可求得．
（2）作于点，利用解得，再利用勾股定理解得，，故，设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、，则利用即可求出的半径．
【详解】解：（1），
，
，
是的内心，
平分，平分，
，
，
，
答案为：．
（2）作于点，则，
，
，
即，
解得，
，
，
在中，
．
设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、，
，，，且，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】利用公式法求解即可．本题考查了解方程，选择适当解方程的方法是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，
解得．
16. 如图，三个顶点的坐标分别为．
（1）请画出关于原点对称的（点的对应点分别为）．
（2）请画出绕原点顺时针旋转后得到的（点的对应点分别为）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知本题考查了旋转作图，原点对称作图，正确理解旋转的性质，原点性质是解题的关键．
（1）根据原点对称，横坐标、纵坐标都变成原坐标的相反数，故，确定位置，作图即可．
（2）根据旋转的性质：，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，作图即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
【小问2详解】
如图，即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 在一个不透明的纸盒中装有几张扑克牌，其中有一张梅花2，一张方片3，两张红桃5．
（1）现从该纸盒中任意抽出一张扑克牌，求抽到方片3的概率．
（2）现规定：甲同学从该纸盒先随机抽出一张扑克牌（不放回），乙同学再随机抽出一张扑克牌．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学抽出的扑克牌上的数字之和不小于8的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了概率公式和用树状图或列表法求概率，理解相关知识是解答关键．
根据题意，利用概率公式求解即可．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙两名同学抽出的扑克牌上的数字之和不小于8的情况数目，再利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：抽到方片3的概率为．
【小问2详解】
根据题意画树状图如图所示．
共有12种等可能的结果，甲、乙两名同学抽出的扑克牌上的数字之和不小于8的结果有6种，
甲、乙两名同学抽出的扑克牌上的数字之和不低于8的概率为．
18. 如图，在平面直角坐标系中，是轴上的点，且，分别过点作轴的垂线，交抛物线于点，过点作于点，过点作于点依次进行下去，记的面积为的面积为，的面积为
根据题意，解答下列问题．
（1）______；
（2）______；
（3）______．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了三角形面积公式．
先根据二次函数图象上点的坐标特征，求出，则根据三角形面积公式计算出，同样可得；，，，所有相应三角形的面积等于分母为4，分子为奇数的分式，从而得到．
小问1详解】
解：当时，，则，所以，
故答案为：．
【小问2详解】
当时，，则，所以；
当时，，则，所以；
同样的方法可得，；
故答案为：．
【小问3详解】
由（1）（2）可得，，
所以，
故答案为：．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某公司在年初上市了一款新款手机，该款手机自上市以来产生的利润（万元），与销售时间（月份）之间满足二次函数的关系，其部分图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题．

（1）求与之间的函数解析式．
（2）求几月份该公司所获得的利润恰好为万元．
（3）年月份该公司所获得的利润是多少万元？
【答案】（1）
（2）月份
（3）万元
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．
（1）先确定二次函数的顶点坐标为，设顶点式，再将点代入即可求解；
（2）代入，求解即可；
（3）将代入，求解即可．
【小问1详解】
解：由图可知二次函数图象过点，，
则二次函数的对称轴为直线，
结合二次函数图象过点，
则二次函数的顶点坐标为，
设与的函数解析式为．
将点代入，
得，
解得：，
与之间的函数解析式为；
【小问2详解】
解：把代入，
得，
解得：，（不符合题意，舍去），
月份该公司所获得的利润恰好为万元；
【小问3详解】
解：将代入，
得，
年月份该公司所获得的利润是万元．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象和反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围．
（3）把函数的图象沿轴向上平移，使平移后的直线与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，连接，求的面积．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及一元二次方程，函数图象与不等式结合，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将点代入求出，即可知点坐标，再代入反比例函数中即可求解；
（2）当时，即，由，求出与的交点坐标，利用，即求的图象在的图象下方（包括重合）所对应的自变量的取值范围，即可求解；
（3）设直线的解析式为，代入，求出直线的解析式，再联立，求出点坐标，再利用即可求解．
【小问1详解】
解：将点代入，
得，
解得：，
点．
将点代入，
得，
解得：，
反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：当时，即，
由，
解得：，，
即与的交点坐标为和，
观察图象，可知时，的取值范围是或，
故时，的取值范围是或；
【小问3详解】
解：设直线的解析式为．
将点代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
由，得，
整理，得，
解得：，，
点的坐标为，
．
六、（本题满分12分）
21. 如图，是的弦，过圆心作于点，延长交于点，与过点的的切线交于点，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求线段的长及阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2），阴影部分的面积为
【解析】
【分析】本题考查圆的综合运用，涉及垂径定理，切线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆中阴影面积的计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
（1）连接，，利用得出垂直平分，得出，证明，结合切线的性质得出即可证明；
（2）设的半径为，则，，在中，利用列式求出，利用， 求出，则，即可求出和，则可求出，求出，利用即可求解．
【小问1详解】
解：如图，连接，，
为的切线，
，
．
，
，
即垂直平分，
．
在和中，
，
，
，
．
又是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：设的半径为，则，，
由（1）可知．
，
，
解得：，
，
，
，
，
，，
．
，
，
．
七、（本题满分12分）
22. 综合与实践
问题情境
如图1，矩形矩形，且点G在边的延长线上，连接，，，，．
推理证明
（1）求证：为等腰直角三角形．
深入探究
（2）将图1中的矩形绕点A顺时针旋转一个角度α0°