安徽省亳州市涡阳县四校联考九年级上学期12月期末数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省亳州市涡阳县四校联考九年级上学期12月期末数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了则的值为______等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 已知，则下列比例式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．利用内项之积等于外项之积对各选项进行判断．
【详解】解：∵，
∴，，
∴A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意．
故选：B．
2. 抛物线的顶点落在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查求抛物线的顶点，判断点所在的象限，先求出顶点坐标，再根据象限内点的符号特征，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为：，
∴顶点坐标落在第一象限；
故选A．
3. 已知为锐角，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值，求角的度数，根据，得到，进行求解即可，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：D．
4. 在中，，若，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据互余两角三角函数关系解答即可．
【详解】解：∵csB=cs（90°-A）=sinA=，
故选C．
【点睛】本题考查的是互余两角三角函数的关系，掌握在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cs（90°-∠A）是解题的关键．
5. 在中，， ，则的值为（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，涉及余弦和正切的概念，根据画出图形，将三角函数的值转化为直角三角形的边长之比，结合正切定义即可求得答案．
【详解】解：由题意，
则，得
，
．
故选：A．
6. 若是锐角，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根据三角函数值判断锐角的取值范围，根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行判断即可．
【详解】解：∵，，且，
∴；
故选A．
7. 直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先证明△BCE≌△ACF，再证明△CDG∽△CAF，进而即可求解．
【详解】解：如图，分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC．
∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF．
在△BCE与△ACF中，∵∠EBC=∠ACF，BC=AC，∠BCE=∠CAF，
∴△BCE≌△CAF（ASA）．
∴CF=BE=3，CE=AF=4．
在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3，
∴，
∵AF⊥l3，DG⊥l3，
∴△CDG∽△CAF．
∴，解得．
在Rt△BCD中，∵，BC=5，
∴．
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质，列出比例式是关键．
8. 如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点到旗杆的距离，测得旗杆的顶部的仰角，旗杆底部的俯角，那么，旗杆AB的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用∠ECA的正切值可求得AE；利用∠ECB的正切值可求得BE，有AB=AE+BE．
【详解】在△EBC中，有BE=EC×tan45°=8，
在△AEC中，有AE=EC×tan30°=,
∴AB=8+.
故答案是：D.
【点睛】考查了解直角三角形的应用---俯角、仰角问题，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．
9. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点，则的值为（ ）

A. 2B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，正切定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，连接交CD于点，由正方形的性质得CD，，，，进而得，又证，得，从而得，进而利用正切定义即可得解。
【详解】解：如解图，连接交CD于点，

∵四边形是正方形，
∴CD，，，，
∴，
根据题意，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴
故选：A
10. 在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．若抛物线与线段有两个公共点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，求出直线的解析式，求出抛物线与线段只有一个交点时的值，以及求抛物线过点时的的值，即可得出结果．
【详解】解：∵点坐标为点坐标为．
设直线的解析式为
∴
解得：
∴，
如图所示，当抛物线在线段上方，且与只有1个交点时，
联立
∴，即
∴
解得：，
当抛物线经过点时，
解得：；
∴当抛物线与线段有两个公共点时，．
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值直接写出即可．
【详解】解：根据特殊角的三角函数值知：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题时牢记特殊角的三角函数值是关键．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，根据正切值求边长，过点作轴，根据正切值的定义，列式求解即可．
【详解】解：过点作轴，则：
∴，即：，
∴；
故答案为：．
13. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，若与的面积之差为5．则的值为______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查已知面积求值，根据和都是等腰直角三角形可得出，设，则点B的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，即可得出结果．
【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，
设，则点B的坐标为，
∵与的面积之差为5，
∴，即：，
∵反比例函数在第一象限的图象经过点，
∴；
故答案为：10．
14. 如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点，交对角线于点．
（1）线段的长为________；
（2）________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）连接，先根据矩形的性质及勾股定理求出，再求出，可知，然后根据面积相等得出答案；
（2）延长交于点，根据勾股定理求出，即可得，再说明，可得，进而得出，然后证明，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，连接．
∵四边形矩形，，
∴，．
∵是的中点，
∴．
在中，由勾股定理得．
在矩形中，，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（2）如图，延长交于点．
在中，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，作出辅助线构造相似三角形是解题关键．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先化简各式，再进行加减运算即可，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
【详解】解：原式
．
16. 已知反比例函数（为常数）．
（1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围；
（2）当时，随的值增大而减小，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记反比例函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）根据反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，求解即可；
（2）根据时，随的值增大而减小，得到，求解即可．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，解得，
∴的取值范围是；
【小问2详解】
∵反比例函数（为常数），当时，随的值增大而减小，
∴，解得，
∴的取值范围是．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知：如图，沿江堤坝的横断面是梯形．坝高，斜坡的坡度，，求和的长．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作，易得，根据坡度以及特殊角的三角函数值，解直角三角形进行求解即可。
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
则四边形是矩形，
则，
∵斜坡的坡比，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
答：斜坡、的长分别是，．
18. 如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点、、的坐标依次为、、．

（1）请以原点为位似中心，在第一象限内作出位似图形，与相似比为；
（2）在网格中找出点，使其满足以下两个条件，，②．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析
【解析】
【分析】（）延长至格点，使，延长至格点，使，延长至格点，使，然后连接，，即可；
（）取格点，连接即可；
本题考查了位似图形的性质，作位似图形，勾股定理逆定理，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，延长至格点，使，延长至格点，使，延长至格点，使，然后连接，，即可；

∴，
∵，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∴即为所求；
【小问2详解】
解：如图，取格点，连接即可，

由网格可知：，，，
∴，
∴，
∴，
∴点即为所求．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知：如图，在中，．

（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理和锐角三角函数关系，正确掌握勾股定理和锐角三角函数定义是解题的关键．
（）根据正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，然后计算平方之和，再根据勾股定理即可得答案；
（）由得，根据即可求解；
【小问1详解】
解：在中，，

∴，.
∴，
又，由勾股定理得，，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴ ，
∴．
20. 如图，在中，高线、交于点．

（1）求证：；
（2）若，，，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键：
（1）先证明，进而得到，再证明，推出，结合，即可得证；
（2）三线合一，求出，，根据，得到，进而求出，的长，根据以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
六、解答题（本题满分12分）
21. 2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员顺利进入太空．如图，这是某同学绘制的模拟火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为．后火箭到达点，此时测得仰角为．（参考数据：，，，，，）
（1）求地面雷达站到发射处的水平距离；
（2）这枚火箭从处到处的平均速度是多少？（（1）、（2）结果精确到0.1）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用：
（1）在中，解直角三角形即可；
（2）在中，求出的长，在中求出的长，进而求出的长，利用速度等于路程除以时间，进行求解即可．
【小问1详解】
解：在中，，
答：雷达站到发射处的水平距离为；
【小问2详解】
在中，，
在中，，
∴，
∴速度为，
答：这枚火箭从到的平均速度为．
七、解答题（本题满分12分）
22. 如图1为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为6米，宽为12米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．

（1）求出该抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽2米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高3.5米的消防车辆？请通过计算说明；
（3）如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点，在地物线上，点，在上，求出所需的三根“光带”，，的长度之和的最大
【答案】（1）
（2）能，计算见解析 （3）15米
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出或时，求出函数值，进行判断即可；
（3）设点的坐标为，求出的解析式，根据二次函数求最值即可．
【小问1详解】
解：∵，．
∴设这条抛物线的函数解析式为，
∵抛物线过O0,0，
∴，解得，
∴这条抛物线的函数解析式为，
即；
【小问2详解】
当（或）时，．
故能行驶宽2.5米、高3.5米的消防车辆．
【小问3详解】
设点的坐标为，
则，，
根据抛物线的轴对称，可得：，
∴，即，
令，
，
∴当，即米时，三根木杆长度之和的最大值为15米．
八、解答题（本题满分14分）
23. 如图1，在等边中，，点，为平面内的点，且满足，，为的中点，为的中点．

（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合，即可得证；
（2）连接，，证明，得到，求解即可；
（3）分点在线段上和点在线段上，两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴；
【小问2详解】
如图1，连接，；

图1
∵，，
∴为等边三角形；
∵点，分别是和中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
①如图2，过点作，与的延长线交于点，

图2
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
②如图3，过点作，与交于点，

图3
由①得，
∴，
综上：当时，或．
【点睛】本题考查等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．