安徽省亳州市谯城区上学期九年级期末联考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省亳州市谯城区上学期九年级期末联考数学试题（解析版）-A4，共25页。
1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 中国“二十四节气”已被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．
故选D．
2. 在中，，则的长为（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查利用正切定义求边长，先根据题意，作出图形，如图所示，在中，由正切的定义，数形结合得到，即可得到答案，熟记正切定义是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示：
在中，，则，
解得，
故选：A．
3. 如图，相交于点，则与的周长比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是，解题的关键．
先证明三角形相似，然后求得相似比，最后根据相似三角形的周长比等于对应边的比求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
，
∴与的周长比是．
故选：A．
4. 已知是二次函数，则（ ）
A. 0B. 1C. D. 1或
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义可得且，从而可得答案．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
5. 如图，在中，半径的长为，圆心到的距离，则弦的长为（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，先由垂径定理得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握圆中求线段长的方法是解决问题的关键．
【详解】解：是的弦，，
由垂径定理可知，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
故选：C．
6. 若反比例函数的图象，在每个象限内，随的增大而减小，则的取值可能为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线且当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解题的关键．
根据反比例函数的性质可求k的取值范围，再确定的可能取值即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而减小,
∴，即，即D选项符合题意．
故选：D．
7. 如图，正六边形的边长为为正六边形的外接圆，连接，则的长为（ ）
A. 12B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由正六边形的性质得到，，再由等腰三角形性质得到，，在中，利用含的直角三角形性质及勾股定理求线段长即可得到答案．
【详解】解：过点作于，如图所示：
在正六边形中，，，
由等腰三角形三线合一性质得到是的中线及角平分线，
，，
在中，，，则，
由勾股定理可得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查圆中正多边形求线段长，涉及正六边形性质、等腰三角形判定与性质、含的直角三角形性质及勾股定理求线段长等知识，熟练掌握含的直角三角形性质及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键．
8. 如图，在正方形中，连接对角线平分，交于点，将绕点顺时针旋转得到．若，则（ ）
A. B. C. D. ．04
【答案】B
【解析】
【分析】由正方形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，由旋转的性质可得、、，证明得到，设，则、，从而得到，求出x的值，进而确定的长,最后根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：∵四边形是正方形，为正方形的对角线，
∴，，，
∵平分，
，
∵将绕点顺时针旋转得到，，
，，，
，
，
，
，
设，则，，
，解得：，
∴，
∵，
∴,
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、分母有理化等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查在同一个坐标系中判断一次函数与抛物线图象是否正确，先从各选项中一次函数图象得到的符号，进而判定同一坐标系下二次函数图象是否正确即可得到答案，数形结合，熟记一次函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：从一次函数的图象开始：
A、由图可知，一次函数中，，
对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象一致，
故A图象正确，符合题意；
B、由图可知，一次函数中，，
对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致，
故B图象错误，不符合题意；
C、由图可知，一次函数中，，
对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴右侧，与选项图象不一致，
故C图象错误，不符合题意；
D、由图可知，一次函数中，，
对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致，
故D图象错误，不符合题意；
故选：A．
10. 如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D. 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】先证明△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，得DF=CE，判断A项答案正确，由∠GCB+∠GBC=60゜，得∠BGC=120゜，判断B项答案正确，证△BEG△CEB得 ，即可判断C项答案正确，由，BC=1，得点G在以线段BC为弦的弧BC上，易得当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，由勾股定理求得AG=，即可判断D项错误．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，
∴△BAF≌△DAF≌△CBE，△ABC是等边三角形，
∴DF=CE，故A项答案正确，
∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，
∴∠GCB+∠GBC=60゜，
∴∠BGC=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B项答案正确，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴ ，
∴，
∵，
∴，故C项答案正确，
∵，BC=1，点G在以线段BC为弦的弧BC上，
∴当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，如下图，

∵△ABC是等边三角形，BC=1，
∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，
∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴ 解得AG=，故D项错误，
故应选：D
【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 抛物线的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式利用二次函数的性质，即可找出抛物线的对称轴及顶点坐标，此题得解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式找出抛物线的对称轴及顶点坐标是解题的关键．
12. 如图，在中，于点．若，则的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
先判定，再根据两个全等三角形对边成比例求得，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴．
故答案为：2．
13. 如图，在中，是的内接三角形，，直径，垂足为，连接．若，则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、含30度角的直角三角形、特殊角的三角函数值等知识点，掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
如图∶连接，由垂径定理可得，再结合圆周角定理可得，然后运用特殊角三角函数值可得，进而得到，即，然后求得、，再运用勾股定理求得，最后结合垂径定理即可解答．
【详解】解：如图∶连接，
∵直径，垂足为，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E是的中点，即，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14 如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，且过点，连接．
（1）点A的坐标为_____；
（2）若点是直线下方抛物线对称轴上的一点，且，则点的坐标为_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、二次函数与面积的综合等知识点知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）先将点代入求得b的值，进而确定函数解析式，再令，求得m的值即可解答；
（2）用待定系数法求出直线的解析式，设交y轴于点D，抛物线对称轴交x轴于点E，则可求得点D的坐标，从而求得的面积；设，利用面积关系即可求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线与轴交于点，
∴，解得：，
∴，
令，则，
∴．
故答案为：．
（2）∵
∴，对称轴为，
设直线解析式为，
把B、A坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
设交y轴于点D，抛物线对称轴交x轴于点E；
在中，令，可得，则；
∴，
∴的面积为；
∵，
∴，
如图：设，
∵点P在下方时，，
∴，解得：，
∴．
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知，且，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，代数式的值，解题的关键是掌握比例的性质．根据比例的性质可设，，，则利用得到，解得，于是可求出、、的值，然后计算的值．
【详解】解：设，则，，．
∵，
∴．
∴．
∴，，．
∴．
16. 某农场组织一批同一型号的收割机抢收秋粮，所需天数（天）是每天完成的收割量（亩）的反比例函数，其函数图象如图所示，且经过点．
（1）求与之间的函数表达式，并写出的取值范围；
（2）已知该型号收割机每台每天能够收割秋粮15亩，若该农场计划用10天的时间完成收割任务，则需要几台这种型号的收割机？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数解决实际问题，读懂题意，由待定系数法确定函数解析式是解决问题的关键．
（1）由待定系数法求解即可得到答案，根据实际意义，数形结合即可确定的取值范围；
（2）根据题意，当时，，再由该型号收割机每台每天能够收割秋粮15亩，列式计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可知，所需天数（天）是每天完成收割量（亩）的反比例函数，
设与之间的函数表达式为，
将代入表达式可得，
即与之间的函数表达式为；
【小问2详解】
解：由题意可知，当时，，
该型号收割机每台每天能够收割秋粮15亩，
（台）
答：需要台这种型号的收割机．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为．
（1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标；
（2）请画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查旋转变换、中心对称变换、坐标与图形等知识点，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）先根据中心对称的性质确定，然后顺次连接即可完成作图，然后直接读出点的坐标；
（2）先确定三角形的各顶点都绕点O顺时针旋转后得到对应点、、，再顺次连接，然后直接读出点的坐标．
【小问1详解】
解：15即为所求，点的坐标为．
【小问2详解】
解：即为所求，点坐标为．
18. 如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，交对角线于点，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先由平行四边形的性质得到，进而根据平行线的性质和已知条件得到，进而证明，再根据相似三角形的性质即可证明结论；
（2）由（1）可得，再结合已知条件可得，进而得到，再证明，最后根据相似三角形的性质即可解答．
【小问1详解】
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往渡江战役纪念馆缅怀革命先烈．初到纪念馆，数学兴趣小组的同学们就发现广场上有一座雄伟壮观的胜利塔（如图1），想知道胜利塔的高度（塔顶到水平地面的距离），于是他们进行了测量．如图2，他们在地面上的点A处用测角仪测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为．已知，测角仪的高度是（点在同一条直线上）．根据以上测量数据求胜利塔的高度．（结果保留整数，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据题意可得，先利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后再加上即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∵是的外角，
，
，
∴，
在中， (m)，
．
答：胜利塔的高约为．
20. 如图，在中，是直径，直线与相切于点，过点作于点，交于点，延长交于点，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，如图所示，利用切线的性质得到，则判断，所以，然后利用等腰三角形性质确定，得到平分，即可得到答案；
（2）利用圆周角定理得到，再利用勾股定理计算出，再证明，利用相似比计算出，利用勾股定理得，求出，进而即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：
∵直线与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
，
，
；
【小问2详解】
解：∵是的直径，
∴，
在中，，
在和中，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴在中，，
连接，如图所示：
平分，
，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题属于圆的综合题，涉及圆的性质、圆周角定理、角平分线的判定与性质、切线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识．作出辅助线，熟练运用相关几何性质是解此题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 某超市销售一种儿童玩具，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为10元时，每天的销售量为100件；当每件售价为12元时，每天的销售量为90件．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若该超市销售这种儿童玩具每天获得360元的利润，则每件儿童玩具的售价为多少元？
（3）设该超市销售这种儿童玩具每天获利元，则当每件儿童玩具的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）每件儿童玩具的售价为12元．
（3）每件儿童玩具的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识点，根据等量关系建立函数解析式成为解题的关键．
（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式即可；
（2）根据每件的销售利润、每天的销售量、利润的关系列出一元二次方程求解即可；
（3）利用销售该玩具每天的销售利润为每件的销售利润与每天的销售量的积，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值即可解答．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+bk≠0，
根据题意得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为．
【小问2详解】
解：，
整理得：，解得：，
∵，
∴；
答：若该商店销售这种儿童玩具每天获得360元的利润，则每件儿童玩具的售价为12元．
【小问3详解】
解：根据题意得：
；
∵，且x为整数，
当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值，最大值为525．
答：每件儿童玩具的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
七、（本题满分12分）
22. 在中，分别为的中点，为上一点，且，过点作交于点．
（1）如图1，若，求的长；
（2）点在上，且．
①如图2，求证：；
②如图3，从线段上取一点，连接，使．若，求的长．
【答案】（1）4 （2）①见解析；②1
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）先根据中位线的性质可得，再结合可得、是平行四边形，则，进而得到，再根据等角对等边可得，最后根据中点的定义即可解答；
（2）①由D、E分别是的中点，可知，于是，又，根据等式性质得，根据有两对对应角相等的两三角形相似即可证明结论；②通过证明和可得，又，所以，据此即可解答．
小问1详解】
证明：如图1：
∵分别为的中点，
∴，，
∵，
∴，是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
①证明：如图2：
∵分别为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②解：如图3：
∵，
∴，
∴，即：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线经过点．
（1）求该抛物线的函数表达式（用含的式子表示）；
（2）若，且该抛物线与直线没有公共点，求的取值范围；
（3）若，点在该抛物线上，且当时，都有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求二次函数表达式即可求得答案；
（2）把代入，整理得：，根据抛物线与直线没有公共点，利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可求得答案；
（3）根据题意得：，从而得到，由于当时，都有，可得，当时，，从而，解不等式组即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：把代入，得，
整理得：，
∵抛物线与直线没有公共点，
关于的一元二次方程没有实数根，
∴，
即，
∵，
，即，
∴，
综上所述，的取值范围为；
【小问3详解】
解：∵点在此抛物线上，
∴，
∴，
∵，
∴，即，则，
∴，
∵，
∴，
当时，都有，
∴，
由①得；由②得，则不等式组的解集为，
综上所述，．