2025年安徽省合肥市长丰县中考一模数学试卷（解析版）-A4

这是一份2025年安徽省合肥市长丰县中考一模数学试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．满分150分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项A，B，C，D中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列实数是负数的是（ ）
A. 7B. 1.9C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了负数的意义，利用负数的意义即比0小的数为负数解答即可．
【详解】解：A、7是正数，不符合题意；
B、1.9是正数，不符合题意；
C、负数，符合题意；
D、是正数，不符合题意．
故选：C．
2. 如图，在中，，，，则的值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，正确理解正弦定义是解题的关键．直接利用正弦的定义求解．
【详解】解：，
，
故选：B．
3. 如图，，若，，则与的相似比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是掌握似三角形的对应边比等于相似比．根据相似三角形的对应边之比等于相似比，进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴与的相似比为：．
故选：D．
4. 反比例函数（，）的图象如图所示，若点，都在该反比例函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性即可求得a与b的大小关系．
【详解】解：∵，，
∴反比例函数图象在第一象限，且y随x的增大而减小；
又∵点与点都在反比例函数（，）的图象上，且，
∴；
故选：A．
5. 图1是我国古代的鲁班锁，图2是其中的一个构件，则该构件的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据简单几何体三视图的画法画出它的主视图即可．
【详解】解：该构件的主视图为：
故选：B．
6. 若关于的一元二次方程（其中）有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义可得，然后解不等式即可．
【详解】解∶∵关于的一元二次方程（其中）有两个相等的实数根，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选∶C．
7. 如图，有四张形状、大小、材质均相同的扑克牌，扑克牌正面分别标有黑桃，红桃，方块，梅花，将扑克牌反面朝上放在桌子上并洗匀，从中随机摸出张扑克牌，则摸出的张扑克牌是同一颜色（即红桃、方块或黑桃、梅花）的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了画树状图或列表求概率，熟练掌握画出树状图或列表法是解题的关键．
设标有黑桃，红桃，方块，梅花分别用表示，画出树状图，利用概率公式计算即可．
【详解】解：设标有黑桃，红桃，方块，梅花分别用表示，
根据题意画树状图如下：
共有种等可能的结果，摸出的张扑克牌是同一颜色即为，，，的结果数有种，
∴摸出的张扑克牌是同一颜色的概率是，
故选：．
8. 如图，菱形的三个顶点均在上，连接，过点作，交的延长线于点．若的半径为，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
连接，根据切线的性质定理得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：如图：连接，
∵是的切线，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
的半径为，
∴，
由勾股定理得，．
故选B．
9. 如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，把点、代入已知函数关系式，运用待定系数法求解，再化为顶点式即可
【详解】解：把点、代入，
得，
解得．
∴抛物线的解析式为；
∴顶点坐标为，
故选A．
10. 如图，为的中点，将矩形绕着点顺时针旋转得到矩形，若，，与交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点H作，过点M和点O分别作的垂线，垂足分别为P、Q，则，根据平行线的性质可得，再证明，则可求出的长，进而得到的长，证明，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点H作，过点M和点O分别作的垂线，垂足分别为P、Q，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 化简：______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了分式化简，根据分式的运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，点在轴上，连接，，，组成．若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数图象与平行四边形相结合的题目，掌握反比例函数的图象和性质和平行四边形的性质是解题的关键．
设点坐标为，点坐标为，由平行四边形的性质可知，即，再由平行四边形的面积可知，两式结合即可求出值．
【详解】解：设点坐标为，点坐标为，
∵四边形平行四边形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
13. 如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆，连接，，作．若劣弧的长为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出中心角，再根据弧长公式求得半径为2，然后解即可．
【详解】解：∵正六边形，是它的外接圆，
∴中心角，
∵劣弧的长为，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆圆与正多边形，解直角三角形，中心角的求解，弧长公式，综合性较强，熟练掌握知识点是解题的关键．
14. 如图，在等腰直角中，，，是上的一点，连接，以为边在边的右侧作正方形，连接，．
（1）的度数为______．
（2）连接，交线段于点．若；则的长为______．
【答案】 ①. 90°##90度 ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由正方形的性质和等腰三角形的性质易求，得出，再根据角的和差即可求解；
（2）先求出，得到，再求出，得到，即可得到，再把数值代入即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
，
，，，
，
，
，
故答案为．
（2）解：四边形是正方形，
，
，
．
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先根据特殊角三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质分别化简，然后合并即可．
【详解】解：原式
．
16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
（1）以点为位似中心，在平面直角坐标系中画出的位似图形（点，，的对应点分别为，，），使与的相似比为，且点在第一象限．
（2）画出以点为旋转中心，将旋转后得到的．
（3）值为______．
【答案】（1）图见解析；
（2）图见解析； （3）．
【解析】
【分析】本题考查了作图-复杂作图，位似的性质，旋转的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）分别连接并延长，取格点，使得，依次连接，则即为所求；
（2）分别连接并延长，取格点，使得，依次连接，则即为所求；
（3）由（1）可得，由（2）可得，即可求解．
【小问1详解】
解：分别连接并延长，取格点，使得，依次连接，则即为所求，如图：
【小问2详解】
解：分别连接并延长，取格点，使得，依次连接，则即为所求，如图：
【小问3详解】
解：由（1）可得： ，即，
由（2）可得，
∴，
故答案为：．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某风扇专卖店准备购进两款电风扇，一款是手持小电风扇，一款是落地大电风扇．已知第1批购进台小电风扇和台大电风扇共需要元，第批购进台小电风扇和台大电风扇共需要元．
（1）设购进一台小电风扇和一台大电风扇分别需要元，元，请用含，的代数式填表．
（2）在进价不变的情况下，若该专卖店第批购进小电风扇台，大电风扇台，则购进这两种电风扇共花费了多少元？
【答案】（1）；
（2）元．
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，有理数加法和乘法的应用，二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键．
（）根据题意列出代数式即可；
（）根据题意得，解出方程，所以购进一台小电风扇需要元，购进一台大电风扇需要元，然后代入求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，第批购进大电风扇的花费为元，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意得，，
解得：，
∴购进一台小电风扇需要元，购进一台大电风扇需要元，
∴第批购进小电风扇台，大电风扇台，共花费了（元），
答：第批购进小电风扇台，大电风扇台，共花费了元．
18. 数学兴趣小组开展研学活动，研究了数式之间的规律问题．
指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下．
（1）根据表中你发现的规律，写出第10个等式：______．
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2）；证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了数字变化的规律．
（1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题；
（2）根据发现的规律写出第个等式，再将等式两边分别展开，即可证明．
【小问1详解】
解：根据已给的5个等式，可得第10个等式为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：第n个等式可表示为：，即，
证明：左边，
右边，
∴左边右边，
∴第n个等式成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 桑梯是我国古代的一种采桑工具．如图1，这是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知点在线段上，米，米，，，，，垂足分别是，，求线段的长．（参考数据：，，）
【答案】0.34米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据三角形内角和算出，结合，得出（米），再得出（米），然后根据线段的和差进行列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，，
在中，，
（米）．
米，米，
（米）．
在中，，
（米），
（米），
答：线段的长为0.34米．
20. 如图，在中，，点在边上，以点为圆心的与边相切于点，与边相切于点，交于点，延长，交于点，过点作于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）2．
【解析】
【分析】（1）连接，由切线的性质得到，从而证明为的平分线，得到，再由得到，最后得到；
（2）由切线长定理得到，然后通过求三角函数值得，从而得到，继而求出，，最后利用含角的直角三角形的性质求出．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
和都是的切线，
，
，，
为的平分线，
，
，，
，
．
【小问2详解】
和都是的切线，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
的长为2．
【点睛】本题考查了圆的切线性质和切线长定理，三角函数值的应用，角平分线的判定和含角的直角三角形的性质．添加辅助线和熟练掌握和运用相关性质是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
“为自己和他人的生命健康与安全加一份保障”．某校为了解学生对急救护理知识的掌握情况，开展了急救护理知识的测试，现从参试的全校名学生中随机抽取若干名学生的测试成绩（百分制），并对其进行整理，描述和分析（成绩用表示，共分成组：．；．；．；．），给出了如图所示的部分信息．
（1）该校共抽查了______人？
（2）根据调查结果，请估计全校学生成绩在组的有多少人．
（3）现从组中成绩最好的名男生和名女生中随机抽取名学生，对全校进行宣传讲解，请用画树状图或列表的方法，求恰好选取男生，女生各一名的概率．
【答案】（1）；
（2）人；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，利用树状图法求解随机事件的概率，掌握以上基础知识是解题的关键．
（）根据组人数除以组在扇形所占比即可求出该校共抽查的人数；
（）计算出样本中组的学生所占比例乘以总人数即可求解；
（）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解．
【小问1详解】
解：该校共抽查了：（人），
故答案为：；
【小问2详解】
解：由（）得，该校共抽查了人，
∴估计全校学生成绩在组的有：（人），
答：估计全校学生成绩在组的有人；
【小问3详解】
解：画出树状图如下，
共有种等可能的结果，恰好选取男生，女生各一名的结果数有种，
∴恰好选取男生，女生各一名的概率是．
七、（本题满分12分）
22. 如图1，在中，，，，，分别为边，的中点，连接，将绕着点顺时针旋转，旋转角为．
（1）如图2，当时，设点的初始位置为点，连接，，求证：．
（2）当，，连接，求的值．
（3）如图3，，连接，，交于点，与交于点，当是的中点时，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）3
【解析】
【分析】（1）由题意得，F是的中点，，，再根据旋转的性质证明四边形是平行四边形，即可求证；
（2）过点作，交的延长线于点，推出四边形是矩形，根据勾股定理求出，再结合中位线及旋转的性质求出，，再利用勾股定理求出，最后由可计算出答案；
（3）因为的中点为G，且，，求证即可求解．
【小问1详解】
证明：为边的中点，，
，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
【小问2详解】
解：如图，过点作，交的延长线于点，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
是题图1中的中位线，
，，
，
在中，，
；
【小问3详解】
解：，
，
，，
，
，
，
．
，是的中点，
，
，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行旋转的性质，四边形的判定，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
八、（本题满分14分）
23. 已知二次函数的图象经过点，．
（1）求，值．
（2）求当时，二次函数的最大值．
（3）现将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为7，求平移后新的二次函数的表达式．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，正确的理解题意是解题的关键．
（1）把点，代入，即可求得b、c的值；
（2）根据二次函数的性质即可求得；
（3）平移后新的二次函数的表达式为，分三种情况讨论：①当，即时，在对称轴的右侧，②当，即时， ③当，即时，在对称轴的左侧，然后根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：将点，代入，
得解得
，的值分别是，．
【小问2详解】
解：二次函数的表达式为，
二次函数图象的对称轴为直线．
，
二次函数图象的开口向上，当时，随的增大而减小．
，
当时，二次函数有最大值，最大值为．
【小问3详解】
解：平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线．
分三种情况讨论：
①当，即时，在对称轴的右侧，
二次函数在取得最小值，
，解得或，不符合题意．
②当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，不符合题意．
③当，即时，在对称轴的左侧，
二次函数在时取得最小值，
，解得或（舍去），
此时二次函数的表达式为，即．
批数
购进小电风扇的花费
购进大电风扇的花费
购进大，小电风扇的总花费
第批
第批
______
序号
表示结果
第1个等式
第2个等式
第3个等式
第4个等式
第5个等式
……
……