2025年安徽省合肥市庐江县中考一模数学试题 （解析版）-A4

这是一份2025年安徽省合肥市庐江县中考一模数学试题 （解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实七斗（减少7斗）记为（ ）
A. 斗B. 斗C. 斗D. 斗
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正数和负数，根据正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【详解】解：若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实七斗（减少7斗）记为斗，
故选：C
2. 中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可．
【详解】数据万亿用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可．
【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示：
故选：C．
4. 下列计算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数．
【详解】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
6. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，雕像的下部应设计为多高？设雕像的下部高为，则所列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程方程的应用，根据使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，列出方程即可．
【详解】解：设雕像的下部高为，则：雕像的上部高为，由题意，得：
，
即：；
故选A．
7. 已知一次函数中，y随x的增大而减小，且函数图象经过点，则下列结论中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图像和性质，熟记“，图像经过一、三象限，y随x的增大而增大，，图像经过二、四象限，y随x的增大而减小”是正确解决本题的关键．
根据“，图像经过一、三象限，y随x的增大而增大，，图像经过二、四象限，y随x的增大而减小”及函数图象经过点判断k、b的正负即可得出结论．
【详解】解：一次函数中，y随x的增大而减小，且函数图象经过点，
，，，
A．正确，此选项不符合题意；
B．正确，此选项不符合题意；
C．，不正确，此选项符合题意；
D． 正确，此选项不符合题意；
故答案为：C．
8. 如图，在两条横线和四条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以围成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含“ ”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求出两条横线和两条竖线都可以组成矩形个数，再得出含五角星矩形个数，进而利用概率公式求出即可．
【详解】解：两条横线和两条竖线都可以组成一个矩形，
则如图的两条横线和四条竖线可以组成6个矩形，其中含五角星的矩形有3个，
∴所选矩形含“ ”的概率是
故选：A
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9. 在等腰中，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，若的面积为16，则的长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，过作于，过作于，则，由旋转得到，，即可证明，得到，再根据，求出的值即可．
【详解】解：如图，当在左边时，过作于，过作于，则，
∵将绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（负值已舍去）；
同理，当在右边时，，
∵，
∴，
解得，
故选：B．
10. 如图，菱形的边长是，，动点P从点A出发，以的速度沿运动至点C，动点Q从点A出发，以的速度沿运动至点C．若P，Q同时出发，设运动时间为，的面积为（当B，P，Q三点共线时，不妨设），则下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出分段的函数的解析式，即可求解．
【详解】解：当0≤t≤2时，BQ=4﹣2t，AP= t,点P到AB的距离为t，
S＝（4﹣2t）×t＝﹣（t﹣1）2+，
∴该函数图象开口向下，
当2＜t≤4时，BQ=4﹣2t，点P在AD上，到BC的距离为×4，S＝×（2t﹣4）××4＝2t﹣4，
∴该函数图象是线段，且y随x的增大而增大，
当4＜t≤8时，S＝×4××（8﹣t）＝8﹣t，
∴该函数图象是线段，且y随x的增大而减小．
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，求出分段函数解析式是本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式的解集为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先去分母，再移项，合并同类项即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
12. 已知等式：，若括号内所填的式子记为A，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题关键．根据题意有，结合整式的混合运算法则求解即可．
【详解】解：
．
故答案：．
13. 如图，在扇形中，点在上，是的内接正八边形的边，是的内接正六边形的边，与交于点，则___________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的内接多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理；根据正多边形的内角与外角的关系得出，进而求得中心角，根据圆周角定理求得，进而根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵是的内接正八边形的边，
∴，，
∵是的内接正六边形的边，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：．
14. 如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的两个动点，且，连接．
（1）若，则___________；
（2）的最小值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质和，求出，然后利用勾股定理得出，即可解答；
（2）连接，证明，得出，推出的最小值等于的最小值，作点关于的对称点，连接，则、、三点共线，连接，与的交点即为所求的点，根据对称性可得，得到，由勾股定理求出的长即可得解．
【详解】解：（1）∵正方形边长3，，
∴，，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）如图，连接，
，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值等于的最小值，
如图，作点关于的对称点，连接，则、、三点共线，
连接，与交点即为所求的点，
根据对称性可得，
∴，
在中，，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本考查了正方形的性质、轴对称的性质，直角三角形三角函数、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键；
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查幂的运算，绝对值的性质，实数的运算；根据负整数指数幂运算法则，指数幂运算法则，绝对值的性质，实数的运算法则计算即可求解．
【详解】解：

．
16. 网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，位置如图所示，且，．
（1）画出平面直角坐标系，写出点的坐标；
（2）平移，使点移动到点．画出平移后的，其中点与点对应（不写画法）；写出点的坐标．
【答案】（1）见解析，点的坐标
（2）见解析，点的坐标为
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，图形的平移，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键．
（1）根据点，的坐标确定坐标系，由坐标系的特点可写出点C的坐标；
（2）根据图形平移的方法作图即可；直接写出点D的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图所示，建立平面直角坐标系；
点的坐标；
小问2详解】
如图所示，为所求；点的坐标为 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某地区2023年进出口总额为320亿元．2024年进出口总额比2023年有所变化，其中进口额减少了，出口额增加了．（注：进出口总额进口额出口额）．
（1）设2023年进口额为亿元，出口额为亿元，请用含的代数式完成下表：
（2）已知2024年进出口总额比2023年增加了6亿元，求2023年进口额和出口额分别是多少亿元？
【答案】（1）填表见解析
（2）2023年进口额和出口额分别是120亿元，200亿元
【解析】
【分析】本题考查列代数式，二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出代数式和方程组，是解题的关键：
（1）根据进口额减少了，出口额增加了，列出代数式即可；
（2）根据2023年进出口总额为320亿元，2024年进出口总额比2023年增加了6亿元，列出方程组进行求解即可．
【小问1详解】
由题意，填表如下：
【小问2详解】根据题意得：，
解得：．
答：2023年进口额和出口额分别是120亿元，200亿元．
18. 观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：______________________________；
（2）写出你猜想的第n个等式：______________________________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式，不难得出第个等式为：，通过对等式的左边的运算即可证明．
【小问1详解】
解：第5个等式为：，
故答案为：；
【小问2详解】
猜想：第个等式为：，
证明：等式左边
右边，
故猜想成立．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，列代数式，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 项目式学习
【答案】任务1：6.6米；任务2：3.8米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
任务1：过点作于点，过点作于点，过点作于，在中，求得，在中，求得，最后求得的长即可；
任务2：在中，求得的长，在中，求得的长，最后求得的长．
【详解】任务1：过点作于点，过点作于点，过点作于，
四边形，四边形都是矩形，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
答：机械臂端点到工作台的距离的长约为6.6米.
任务2：在中，由勾股定理可知：
，
在中，
，
，
．
答：的长约为3.8米.
20. 如图，在等腰中，为底边上的高，的角平分线交于点D，经过C、D两点且圆心O在的腰上．
（1）请画出(尺规作图，保留作图痕迹)；
（2）求证：与相切；
（3）当，时，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）3
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角函数的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
【小问3详解】
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为 ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判断，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 为了进一步提高中学生的交通安全意识、文明意识，为“创建文明城市”工作的开展营造浓厚的宣传氛围，某区创新宣传方式，组织学生利用“参观体验+知识竞赛”新模式开展安全宣传活动，并取得了良好的效果．赛后区团委为了解竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取部分学生的竞赛成绩，整理绘制出统计表以及两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，扇形统计图中组别所在扇形的圆心角度数为___________．所抽取学生的竞赛成绩的中位数落在___________组；
（2）求所抽取学生竞赛成绩的平均数；
（3）若该区有950名中学生参加了这次竞赛，请估计成绩大于80分的有多少人？
【答案】（1）；
（2）80分 （3）532人
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图与频率分布直方图，平均数以及用样本估计总体，结合扇形统计图与频率分布直方图求解出样本容量是解题的关键．
（1）用B组的人数除以所占的百分比得出总人数，然后用总人数减去A组、B组、C组、E组的人数即得D组的人数，乘C组所占的百分比即得扇形统计图所在扇形的圆心角度数，补全频数分布直方图；
（2）统计表中各组总分的和除以50即得；
（3）950乘以80分以上的学生数占比即得．
【小问1详解】
解：抽取学生的总数为（名），
组人数为（名），
补全频数分布直方图如图，
扇形统计图中组别所在扇形的圆心角度数为，
所抽取学生的竞赛成绩的中位数落在组；
故答案为：；B
【小问2详解】
解：所抽取学生竞赛成绩的平均数为（分），
答：所抽取学生竞赛成绩的平均数为80分；
【小问3详解】
解：（人）．
答：估计成绩大于80分的有532人．
七、（本题满分12分）
22. 定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．请利用已有经验对“等对角四边形”进行探究：
（1）如图1，在中，为斜边上的中线，过点作交于点，判断四边形是否为“等对角四边形”，并说明理由；
（2）如图2，在中，平分，点在边上，若以为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段的长．
【答案】（1）四边形为“等对角四边形”；见解析
（2）3或
【解析】
【分析】（1）由直角三角形斜边上中线性质得到，则，然后由互余关系，显然，即可证明；
（2）分类讨论，①若，，证明，则；②若，，过点作，垂足为点，由勾股定理得，由角平分线性质定理可得，则，可得，求得，则．
【小问1详解】
解：四边形为“等对角四边形”；理由如下：
是斜边上的中线，
，
，
，
∵，
∴在Rt中，，
，
显然，
故四边形为“等对角四边形”；
【小问2详解】
解：∵平分，
∴，
①若，，
如图2，
在与中，
，
；
②若，，如图3，过点作，垂足为点，
在中，，，
，
平分，，
∴，
∴，
，
，
，
，即，
，
，
综上所述：的长为3或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值．
（1）若，，求的值；
（2）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离；
（3）当，且时，分析并确定整数a的个数．
【答案】（1）
（2）2或1 （3）整数a有4个
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程．
根据题意代入化简得，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可；
结合题意得到，代入二次函数中化简得，利用二次函数的性质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离；
结合已知得等式化简得，结合的范围求得a的可能值，即可得到整数a的个数．
【小问1详解】
解：有题意知
，
当时，y取得最小值8；
【小问2详解】
解：∵点在双曲线上，
∴，
∴
，
∵，
∴，化解得，解得或，
则点或，
∴点P到y轴的距离为2或1；
【小问3详解】
解：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，化简得，
∴，
则整数a有4个．
年份
进口额（亿元）
出口额（亿元）
2023
y
2024
年份
进口额（亿元）
出口额（亿元）
2023
y
2024
项目背景
2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务．
图示及说明
如图所示，是垂直于工作台的移动基座，为机械臂，，．
任务1
求机械臂端点到工作台的距离的长；（结果精确到）
任务2
求的长．（结果精确到）
参考数据
组别
成绩/分
各组总分/分
A
380
2042
1130
390
58