广东省江门市鹤山市纪元中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省江门市鹤山市纪元中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．样本数据的第75百分位数为（ ）
A．16B．21C．23D．24
2．某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为（ ）
3484 4217 5572 1754 5560 8331
0474 4767 2176 3350 2583 9212
0676 6301 6378 5916 9555 6719
A．331B．047C．455D．447
3．如图，在四面体中，点E，F分别为的中点，则（ ）
A.
B.
C.
D.
4．甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则在上的投影向量为( ).
A. (−442929,−332929,−222929) B. (−4429,−3329,−2229)
C. (331414,111414,−11147) D. (3314,1114,−117)
6．中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（ ）
A．25本B．30本C．35本D．40本
7．如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项错误的是（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与乙相互独立
C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
10．已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ）
A．B．
C．若A与B互斥，则D．一定有
11．在边长为1的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，则（ ）
A．点到直线的距离为B．直线到直线的距离为
C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中有放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则2次抽到的卡片上的数字之和为5的概率为 ．
13．对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样.已知抽取女生30人，其平均数和方差分别为；抽取男生20人，其平均数和方差分别为，则总样本平均数为 ；总样本的方差为 .
14．已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
四、解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）在一个文艺比赛中，5名专业人士和5名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.下面是两组评委对同一名选手的打分：
(1)分别计算两组评委打分的方差，并判断哪组更像是由专业人士组成的评委小组；
(2)甲、乙是该场比赛的专业人士评委，要从五位专业人士的评委小组中任意选取3人对该选手点评，求甲、乙都被选中的概率.
16．（15分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，鹤山市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求样本成绩的平均数和第62百分位数；
(2)用分层抽样的方法在分数落在内的答卷中随机抽取一个容量为5的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取2份，求至多有1份答卷的分数在内的概率．
17．（15分）如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且．
(1)求的长度：
(2)求证：平面．
18．（17分）《中华人民共和国爱国主义教育法》已由中华人民共和国第十四届全国人民代表大会常务委员会第六次会议于2023年10月24日通过，现予公布，自2024年1月1日起施行．甲，乙两同学组成“星队”鹤山市“爱国主义教育法”知识竞赛．现有A，B两类问题，竞赛规则如下：
①竞赛开始时，每个同学先从A类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对的同学再从B类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束．
②若在本轮竞赛中“星队”同学合计答对问题的个数不少于3个，则“星队”可进入决赛．
已知甲同学能答对A类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为．乙同学能答对A类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为．
(1)设“甲同学答对0个，1个，2个问题”分别记为事件，求事件的概率；
(2)求甲乙两同学组成“星队”能进入决赛的概率．
19．（17分）如图，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是的中点.
(1)证明: 平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得点到
平面ADE的距离为?若存在，请求出
的值; 若不存在， 请说明理由.
组
42
47
48
46
52
组
52
36
70
38
39
纪元中学2025-2026学年度第一学期期中考试高二数学参考答案
1．C将样本数据从小到大排序为：，
因为，所以第75百分位数为.
2．B由题知，选取的同学编号分别是442,175,572,175,455,608,331,047，
剔除重复数据，超过500的数据，符合条件的是442,175,455,331,047，第五个是047.
3．A由题意可得,
4．B设这三人中仅有两人获得一等奖为事件A，
则.
5.，
所以在上的投影向量为
6．C设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，则购买后
该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共，从中任取1本有种取法.
《牡丹亭》戏曲书籍共，从中任取1本有种取法.
从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率为根据题意可得，解得，
即该戏曲学院图书馆需至少购买《社丹亭》戏曲书籍35本.
7．A连接交于，连接，由四棱锥是正四棱锥，则平面，且.以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由，不妨设，则，
在中，，
则，则，
，
则，
由异面直线与所成角为锐角，所求余弦值为.
8．B由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，
，，，，，共种情况；
第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况；
第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况；
则两次取出球的数字之和为，的所有可能为，，，共种情况；
两次取出球的数字之和为，所有可能为，共种情况；
记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为，
“两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为，
则，，，.
A：当出现情况时，甲丙同时发生，则，
故甲丙相互独立，故A正确；
B：当出现情况时，甲乙同时发生，则，
故甲乙不相互独立，故B错误；
C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确；
D：由于两次不可能都取2，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确；
故选：B.
9．BC
A：当时，，解得，A错误；
B：当时，，即，解得，B正确；
C：当时，则有，，C正确；
D：当时，，D错误，
10．ABC
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，
又且，则，
所以，即，故B正确；
对于C，因为A与B互斥，所以，
则，故C正确；
对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”，
则满足，，但不成立，故D错误；
11．ABD建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．
因为，，
．
设，所以，
所以点到直线的距离为，故A正确．
因为，，所以，
所以，所以点到直线的距离即为直线到直线的距离．
，．
设，所以，
所以直线到直线的距离为，故B正确．
设平面的一个法向量，
又，，所以
取，则，，所以，
所以．
又，所以点到平面的距离为，故C错误．
因为，平面，所以平面，
所以到平面的距离即为点到平面的距离．
又平面的单位法向量，，
所以直线到平面的距离为，故D正确．
12．/把第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为，记为.
则4张卡片中有放回的随机抽取2次所有情况为：
，
，共16种.
其中数字之和为5的有4种，则所求概率为.
13． 54 /
设分别为总样本均值和方差，
则，
，
14.，，
，向量与的夹角为锐角，
且向量与不平行，
，，
向量与不平行，，
的取值范围为且
15．（1）组评委打分的平均数为，(1分)
组评委打分的方差为，(3分)
组评委打分的平均数为，(4分)
组评委打分的方差为，(6分)
则，又，小组打分波动较小，
故小组更像是由专业人士组成的评委小组.(7分)
（2）记五位专业人士分别为，甲，乙，(8分)
从五位专业人士的评委小组中任意选取3人，基本情况为
共10种情况，(11分)
其中甲、乙都被选中的情况有3种情况，(12分)
所以恰好甲、乙同时被选中的概率为.(13分)
16．（1），则；(1分)
平均数为：；(3分)
前三组的频率之和为；
前四组的频率之和为；
第62百分位数在第四组，为(6分)
（3）落在内的样本容量为：，
落在内的样本容量为：.
则应从中抽2个，从中抽3个.(8分)
设中的样本为：，中的样本为：.(9分)
则从中任取2份的情况有：
，，共10种.(11分)
分数在内有：共7种，(12分)
则至多有1份答卷的分数在内的概率为：.(13分)
17．（1）设，，，
由于四边形为菱形，设，即，(1分)
所以，同理可得，(2分)
由题意可得，(3分)
所以；(6分)
（2）因为，(7分)
所以，(9分)
所以，(10分)
因为，计算：
，(12分)
所以，(13分)
又因为，、平面．(14分)
所以平面.(15分)
18．（1）因为甲同学能答对A类中问题的概率为(1分)，能答对类中问题的概率为，(2分)所以(4分)，(6分)，．(8分)
（2）设“乙同学答对1个，2个问题”分别记为事件，
因为乙同学能答对A类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为，(10分)
可得，(12分)
设事件表示“星队能进入决赛”，
可得
，(16分)
所以“星队”能进入决赛的概率为.(17分)
19．（1）如图，连接交于点O，连接，
则点O为的中点，且D是的中点，
则为的中位线，所以．(2分)
又因为平面，平面，
所以平面；(4分)
（2）因为在正中，D是的中点，故，
以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，(5分)
则，，，，
，，，(6分)
则，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，(8分)
设直线与平面所成角为，
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为；(10分)
（3）存在点，理由如下：
设，其中，(11分)
所以，(12分)
，，
设平面的法向量为，
则，取，则，(14分)
则点到平面的距离，
化简得，解得或（舍去）．(16分)
综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时.(17分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
A
B
D
C
A
B
BC
ABC
ABD