鹤山市纪元中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份鹤山市纪元中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2．已知随机事件A和B互斥,且,,则( )
A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8
3．设直线,.若与平行,则a的值为( )
A.B.0或C.D.
4．以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是( )
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
5．下面的折线图展示了我国2017~2022年某种疫苗进出口均价随时间的变化情况，则下列结论正确的是( )
A.疫苗进口均价的中位数小于2500美元/千克
B.疫苗出口均价的极差大于3000美元/千克
C.疫苗进口均价逐年递增
D.疫苗出口均价的方差大于疫苗进口均价的方差
6．设x,,向量,,且,,则( )
A.B.C.D.
7．给出下列命题,其中是真命题个数的是( )
①若直线l的方向向量,平面的法向量,则;
②若平面,的法向量分别为,,则;
③若平面经过三点,,,向量是平面的法向量,则;
④若点,,点C是A关于平面的对称点,则点B与C的距离为
A.1B.2C.3D.4
8．在正四面体中，棱长为1，且D为棱的中点，则的值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．为了加深师生对党史的了解,激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情,某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛,并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分,成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的( )
A.的值为0.005;
B.估计成绩低于60分的有25人
C.估计这组数据的众数为75
D.估计这组数据的第85百分位数为86
10．已知某篮球运动员共投篮两次,记事件“第一次投篮投中”,事件“第二次投篮投中”,事件“两次投篮均投中”,则下列说法正确的是( )
A.A,B互为互斥事件B.与C互为互斥事件
C.D.与C互为对立事件
11．如图,在边长为2的正方体中,E,F,G分别为,,的中点,则( )
A.平面
B.平面
C.异面直线与所成角的余弦值为
D.点B到平面的距离为
三、填空题
12．在5袋牛奶中,有2袋已经过了保质期,从中任取2袋,则取到的全是未过保质期的牛奶的概率为________.
13．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为_________.
14．某校采用比例分配分层随机抽样采集了高一年级学生的身高情况,部分统计数据如下:
则估计该校高一年级的全体学生的身高平均数为________,方差为________.
四、解答题
15．已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高.
(1)求所在直线的方程；
(2)求高所在直线的方程.
16．某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：，,,,,,,，整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求第七组的频率；
(2)用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)现从500名学生中利用分层抽样的方法从,的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率.
17．如图,平行六面体的底面是菱形,且,.
（1）求的长;
（2）求异面直线与所成的角.
18．已知直线
（1）若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
（2）判断直线l与直线的位置关系
（3）若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设的面积为S,求S的最小值及此时直线的方程.
19．如图1,在中,,A,D分别为边,的中点,且,将沿折起到的位置,使,如图2,连接,.
（1）求证:平面;
（2）若E为的中点,求直线与平面所成角的正弦值;
（3）线段上一动点G满足,判断是否存在,使二面角的正弦值为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：直线,即为,
则直线的斜率为,
设倾斜角为,则,
可得,
故选:B.
2．答案：A
解析：因为事件A和B互斥,所以,
则,故.
故答案为A.
3．答案：B
解析：,
,
解得或.
故选:B.
4．答案：A
解析：若空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，反之亦然，
对于A，由，，，得，即向量，，共面，不能构成空间基底；
对于B，令，则，不成立，即，，不共面，可构成基底；
对于C，令，则，即无解，即，，不共面，可构成基底；
对于D，令，则，即无解，即，，不共面，可构成基底.
故选：A
5．答案：D
解析：对于A，由折线图可知，疫苗进口均价从小到大排列的第3个数据为2020年数据接近2500，
第4个数据为2021年数据大于2500且比2020年数据到2500的距离要远，
所以疫苗进口均价的中位数大于2500美元千克，故A错误；
对于B，由折线图可知，疫苗出口均价最小值接近500，最大值靠近3000，
且最大值与3500的距离大于最小值与500的距离，
所以疫苗出口均价的极差小于3000美元千克，故B错误；
对于C，由折线图可知，疫苗进口均价先递减再递增，故C错误；
对于D，由折线图可知，疫苗出口均价的波动性大于疫苗进口均价的波动性，
所以疫苗出口均价的方差大于疫苗进口均价的方差，故D正确.
故选：D.
6．答案：A
解析：解:因为,,,
所以,则,
所以.
又因为,且,
所以,则,
所以,
所以,
所以.
故选:A.
7．答案：C
解析：①不存在实数,使得,
与不共线,因此是假命题;
②,
,则,因此是真命题;
③,,
向量是平面的法向量,
,
,解得,,
则,因此是真命题;
④若点,,点C是A关于平面的对称点,则,
点B与C的距离,因此是真命题.
综上可得:真命题个数的是3.
故选:C.
8．答案：D
解析：由题意得
故选D.
9．答案：ACD
解析：对于A,由,得.故A正确;
对于B,估计成绩低于60分的有人.故B错误;
对于C,由众数的定义知,估计这组数据的众数为75.故C正确;
对于D,设这组数据的第85百分位数为m,则,
解得:,故D正确.
故选:ACD
10．答案：BD
解析：对于A,A,B两个事件可以同时发生,故A错误;
对于B,与C不可能同时发生,故B正确;
对于C,C为A,B的交事件,故C错误;
对于D,对应的事件是第一次投篮未投中或第二次投篮未投中,故与C互为对立事件,D正确.
故选：BD.
11．答案：CD
解析：以D为原点,,,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
如图,则,,,,,,,,
,,,,.
对于选项A,B:
设平面的法向量为,
则,即,
令,则,,得,
所以与平面不平行,与平面不垂直,即A,B错误.
对于选项C:
,则异面直线与所成角的余弦值为,即C正确.
对于选项D:
又,所以点B到平面的距离为,即D正确.
故选:CD.
12．答案：或
解析：记2袋已经过了保质期的牛奶为A,B,3袋未过保质期的牛奶为a,b,c,
从5袋牛奶中任取2袋,所有情况为:AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,be,共10种情况;
其中全是未过保质期的牛奶的情况为:ab,ac,be,共3种情况;
所以所求概率为.
故答案为:.
13．答案：
解析：由投影向量的定义可知，
，
故答案为：
14．答案：165;55
解析：由题意可得,该校高一年级的全体学生的身高平均数为
由结论可得,方差为
.
故答案为:165;55
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为是边的中点，所以，
所以直线的斜率，
所以所在直线的方程为：，即.
（2）因为是边的中点，所以，
因为是边上的高，所以，所以.
所以，因此高所在直线的方程为：，即
16．答案：(1)0.080
(2)102分
(3)
解析：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：
；
（2）用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为：
（分）；
（3）由频率分布直方图可知的频数为的频数为，所以两组人数比值为，
按照分层抽样抽取5人，则在,分别抽取3人和2人，
记这组三人的编号为A,B,C,这组两人的编号为a,b，
故从5人随机抽取2名，共10种情况，为：
,,,,,,,,,
设事件“从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组”
则，共6种情况.
故，
即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为.
17．答案：（1）
（2）90°.
解析：（1）设,,,构成空间的一个基底.
因为,
所以
,
所以.
（2）又,,
所以
异面直线与所成的角为90°.
18．答案：（1）;
（2）当时,两直线平行,当时,两直线相交;
（3）4,
解析：（1）由直线l不经过第四象限,又,
则,解得;
（2）令,解得,此时直线,显然与平行;
当时,两直线相交,
综上,当时,两直线平行,当时,两直线相交;
（3）直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设的面为S,
由直线l的方程可得与坐标轴的交点,,
则,解得:.
,
当且仅当,即时取等号.
S的最小值为4,及此时直线l的方程为:.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）存在,
解析：（1）因为A,D分别为,的中点,所以.
因为,所以,所以.
又,,,平面,
所以平面.
（2）因为,,,所以,,两两垂直.
以A为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
依题意有,,,,,,
则,,,.
设平面的法向量,
则有
令,得,,所以是平面的一个法向量.
因为,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）假设存在,使二面角的正弦值为,
即使二面角的余弦值为.
由（2）得,,
所以,,.
易得平面的一个法向量为.
设平面的法向量,
,
解得,令,得,
则是平面的一个法向量.
由图形可以看出二面角的夹角为锐角,且正弦值为,
故二面角的余弦值为,
则有,
即,解得,.
又因为,所以.
故存在,使二面角的正弦值为
性别
样本量
样本平均数
样本方差
男
100
170
22
女
100
160
38