广东省江门市鹤山市昆仑学校2025--2026学年高二上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份广东省江门市鹤山市昆仑学校2025--2026学年高二上册12月月考数学试题【附解析】，共17页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解.
【详解】由题意，直线，可得直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为.
故选：C.
2. 空间向量中，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. 单位向量的长度为1D. 零向量的方向任意
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量运算、单位向量、零向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，向量和为零向量，A选项错误.
B选项，，B选项正确.
C选项，单位向量的长度为1，C选项正确.
D选项，零向量的方向任意，D选项正确.
故选：A
3. 设，则（ ）
A. 3B. C. 1D. x
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示列式求解即可.
【详解】由题意，.
故选：B
4. 已知直线，则与的位置关系是（ ）
A. 平行B. 重合C. 相交但不垂直D. 垂直
【答案】D
【解析】
【分析】根据判断.
【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直.
故选：D
5. 圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的标准方程求得圆心和半径.
【详解】圆的标准方程为，
所以圆心为，半径为.
故选：B
6. 椭圆，则其离心率（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据离心率公式计算.
【详解】因，所以离心率.
故选：C
7. 若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】依题意，方程表示双曲线，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：A
8. 已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（ ）
A. 的最小值为B. 的最大值为
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得直线过已知圆圆心，则，然后由基本不等式可得答案.
【详解】由题可得圆方程可化为：，则圆心坐标为.
因圆关于对称，则过圆心，从而.
则，
当且仅当，即时取等号.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知正方体的棱长为，为的中点，则下列结论正确的有（ ）
A. B. 与所成的角为
C. D. 与平面所成的角正切值为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据几何体特征，建立空间直角坐标系，将空间向量与几何体结合，逐项判断即可.
【详解】在正方体中，以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，，，
对于A选项，，所以，故A正确；
对于B选项，，，设与所成的角为，，
则，
又，所以与所成的角为，故B正确；
对于C选项，，，则，所以与不垂直，故C错误；
对于D选项，在正方体中，易知平面，则，，
设与平面所成的角为，，
则，
则，所以，
即与平面所成的角正切值为，故D错误.
故选：AB
10. 已知直线，圆，则正确的结论有（ ）
A. 直线l的纵截距为
B. 与圆C关于直线对称的圆的方程为
C. 直线l与圆C相交
D. 与直线l平行且与圆C相切的直线方程为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由已知可得圆心，半径，将直线化为斜截式即可求得纵截距判断A；先求圆心关于直线的对称点，可得对称后圆的方程即可判断B；根据圆心在直线上即可判断C；设平行于l且与圆C相切的直线方程为，根据圆心到直线的距离为半径，即可判断D.
【详解】因为圆，所以圆心，半径，
对于A，直线，即，所以直线l的纵截距为，故A正确；
对于B，因为圆心关于直线对称点为，
所以与圆C关于直线对称的圆的方程为，故B正确；
对于C，因为圆心在直线上，所以直线l与圆C相交，故C正确；
对于D，平行于l且与圆C相切的直线方程为，
所以，解得或，
所以与直线l平行且与圆C相切的直线方程为和，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆长轴两端点分别为为椭圆上异于的任意一点，则下列结论中正确的有（ ）
A.
B. 直线与直线的斜率之积
C. 的最大值为25
D. 当的面积取得最大值时的内切圆半径为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线共焦点求出，可判断A；根据点坐标满足椭圆方程，代入化简可判断B；利用椭圆定义和基本不等式可判断C；利用等面积法求出内切圆半径可判断D.
【详解】双曲线化为标准方程：，焦点在轴上，
因为椭圆与双曲线有相同的焦点，
所以，所以，A正确；
记椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，
则
由椭圆方程可知，不妨记，
设，则，
又，所以，所以，B错误；
由椭圆定义可知，，所以，
当且仅当，即点为短轴端点时，等号成立，C正确；
，所以点为短轴端点时，的面积取得最大值，
设的内切圆半径为，则，
所以，D错误.
故选：AC
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 在空间直角坐标系中，已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】求出向量坐标，然后由向量的模长公式可得.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
13. 已知平面直角坐标系中两点，则线段的垂直平分线方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据中点和斜率求得正确答案.
【详解】依题意，，
线段中点坐标为，
直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的方程为，即.
故答案为：
14. 已知双曲线，则双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为________．
【答案】
【解析】
【分析】将双曲线方程化成标准方程，求出双曲线的右焦点坐标及渐近线方程，利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】由双曲线有右焦点，
，双曲线的方程为：，
，，则，，
，则，
双曲线的右焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为：，
化为直线方程的一般形式：或，
双曲线的右焦点到渐近线的距离为，
双曲线的右焦点到渐近线的距离为.，
综上，双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在空间直角坐标系中，
（1）已知平面的法向量分别为，，求夹角的余弦值；
（2）已知直线的方向向量，平面的法向量，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据二面角的向量求法，即可求解；
（2）根据线面角的向量求法，即可求解.
【小问1详解】
由题意，平面的法向量分别为，，
设平面的夹角为，则；
【小问2详解】
由题意，直线的方向向量，平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
则.
16. 已知点，为坐标原点，试求解以下两个小题．
（1）求过点且与直线垂直的直线方程；
（2）求过点作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由直线垂直求解过点直线的斜率，再由点斜式方程求解即可.
（2）由直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，可得直线斜率存在，设直线，令，分别求解、两点，再根据求解直线斜率，根据三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
已知直线的斜率，垂直直线斜率为，所以，所以，
所以过点的直线方程为，即.
【小问2详解】
由题意可得，直线斜率存在，所以设直线：，所以当时，，所以，
当时，，，因为直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，
所以，，又因为，
所以，且，即，所以，即，
解得，所以，，
所以，所以的面积为.
17. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.

（1）求证：平面ADEF；
（2）求证：平面BDE.
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，，先证明四边形为平行四边形，可得，即可证出；
（2）由平面平面可得平面，可得，再结合勾股定理证明，即可证出.
【小问1详解】
取的中点，连接，，
在中，，分别为，的中点，所以，且，
由已知，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，可得，
又因为平面，且平面，
所以平面.
【小问2详解】
在正方形中，，因为平面平面，且平面平面，
且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
在直角梯形中，，，可得，
在中，，，
因为，所以，
因为，平面，
所以平面.

18. 已知，圆．
（1）若，判断圆与圆的位置关系；
（2）若，判断直线与圆C位置关系；
（3）是否存在定直线，使得动圆截直线所得的弦长恒为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（1）圆C与圆相外切
（2）直线与圆C相离
（3）或
【解析】
【分析】（1）求得两圆圆心的距离，结合圆心距与半径的关系可得结论；
（2）求得圆心到直线距离，可判断直线与圆的位置关系；
（3）求得圆心的坐标并消去参数，从而求得圆心的轨迹方程，求得圆心到直线的距离，根据两平行线间的距离公式求得正确答案.
小问1详解】
若，则圆，所以圆心，半径.
由圆，可得圆心，半径.
所以，
所以圆与圆相外切；
【小问2详解】
若，则圆，可得圆心，半径.
所以点到直线的距离，
所以直线与圆相离；
【小问3详解】
由圆，所以圆心，半径为，
即，消去，得，所以圆心的轨迹方程为.
设直线l交圆于两点，设到直线l的距离为，
则，假设存在符合题意的定直线，
则，所以，所以，解得，
即圆心与直线l的距离恒为，而圆心的轨迹方程为，
所以可设直线l的方程为，且，
所以，解得或，
所以存在符合题意的定直线，且定直线的方程为或.
19. 已知椭圆，焦距为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l与椭圆C相交于两点，若线段的中点M坐标为，求直线l的方程；
（3）设分别是椭圆C的左、右顶点，Q为直线上的动点，直线与椭圆的另一交点分别为，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据已知条件求出，然后根据经过的点坐标求出，进而求出方程即可.
（2）先根据中点的坐标判断直线存在斜率，然后设出直线方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理和中点坐标求出，进而得到结果.
（3）设先求出直线的方程，将它们分别与椭圆方程联立，求出与的关系，进而可将四边形的面积
表示出来，最后根据函数的单调性求出最大值即可.
【小问1详解】
由于椭圆的焦距为，所以，即.
由于该椭圆经过点，则，化简得.
因为，所以，所以方程变为，即.
又，所以解得，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
因为椭圆图像关于轴对称，而线段的中点M坐标为，横坐标不为0，
所以直线的斜率存在，设直线方程为，联立直线与椭圆方程得
，化简得.
设，根据韦达定理得.
由于线段的中点M坐标为，所以，所以，
解得，所以直线的方程为.
【小问3详解】
因为椭圆及直线关于轴对称，不妨设.
直线的方程为：，直线的方程为：，
联立，消得，解得；
同理由得，则四边形的面积为：
.
设，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以.
由于在上单调递增，所以时即时取得最小值为，
因此最大为.