专题15 三角形（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题（山东专用） 含答案

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►考向一 与三角形有关的线段
1.（2024•德州）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（ ）
A．B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∵是中线，
∴
故选：B
►考向二 勾股定理
1.（2024•青岛）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴（负值已舍去），
∴，
∴，
∴，
∴，CO＝3（舍去）．
∵AE⊥BC，，
∴．
故答案为：．
2.（2024•泰安）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点处，折痕为，点D落在点处，交AD于点E．若，，，则 ．
【答案】32
【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可．
【详解】解：在中，，
由折叠可得，，
又∵是矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
设，则，
在中，，即，
解得：，
故答案为．
►考向三 三角形全等的判定
1.（2024•德州）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使．
【答案】或
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键．
要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）．
【详解】解：∵C是的中点，
∴，
∵，
∴添加或，
可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）．
故答案为：或．
2.（2024•东营）如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（ ）

A．为矩形两条对角线的交点B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解题的关键．
由矩形的性质得出 ，再由平行线的性质得出，，然后由全等三角形的判定逐一判定即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴ ，
∴，，
A、∵O为矩形两条对角线的交点，
∴，
在和中，
，
∴，
故此选项不符合题意；
B、在和中，
，
∴，
故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
两三角形中缺少对应边相等，所以不能判定，
故此选项符合题意；
故选：D．
3.（2024•潍坊）如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接．
求证：
(1)；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（）由矩形的性质可得，，，即得，由折叠的性质可得，，，，即得，，进而得，即可由证明；
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠可得，，，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
►考向四 三角形全等的判定与性质
1.（2024•济南）如图，已知，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键．
先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴．
故选C．
2.（2024•济南）如图，在菱形中，，垂足为，垂足为．
求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题主要考查了菱形的性质， 全等三角形的判定以及性质，由菱形的性质得出，用证明，由全等三角形的性质可得出， 由线段的和差关系即可得出．
【详解】证明：四边形是菱形
3.（2024•济宁）如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接．
(1)若，求的长；
【答案】(1)
【分析】（1）根据可得，然后证明，根据全等三角形的性质可得答案；
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
4.（2024•泰安）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．
(1)求证：，；
(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系：___________________；
②求证：．
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明；
（2）①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论；
②根据得到即可得到结论．
【详解】（1）证明：在和中，
，，，
，
，．
是斜边的中点，
，
，
，
．
，
，
．
；
（2）解：①；
理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．
，，，
，
，，
，
，
，
，
．
，
．
在和中，
，，，
，
．
是中点，是中点，
是中位线，
．
，
，
．
，
．
故答案为：；
②证明： ∵，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
5.（2024•泰安）感悟
如图1，在中，点，在边上，，．求证：．
应用
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图：
证明，即可求得；
【详解】感悟：
∵，
∴．
在和中
∴．
∴．
6.（2024•泰安）如图，在菱形中，，，为对角线上一动点，以为一边作，交射线于点，连接．点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点处停止．设的面积为，点的运动时间为秒．
(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（）设与相交于点，证明，可得，，利用三角形外角性质可得，即得，即可求证；
【详解】（1）证明：设与相交于点，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴；
7.（2024•淄博）如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
【答案】①（或②）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可．
【详解】解：可选取①或②（只选一个即可），
证明：当选取①时，
在与中，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
证明：当选取②时，
在与中，
，
，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
；
故答案为：①（或②）
►考向五 三角形的综合应用
1.（2024•济南）如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则 ．
【答案】/
【分析】如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，证明为等腰三角形，求出，进而完成解答．
【详解】解：如图：连接，延长交的延长线于H，
∵矩形中，为边的中点，，
∴，，
∵将沿翻折，点的对应点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴为直角三角形，
设，则，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键．
一、单选题
1．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，，，，，点在线段上，若，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由直角三角形的两个锐角互余和平角的定义可得，进而可证得，于是可得，根据勾股定理可求得，然后利用三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，
的面积，
故选：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及勾股定理是解题的关键．
2．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边上的高是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设、为方程的两个根，利用根与系数的关系得，，再利用勾股定理得到斜边长为，利用完全平方公式变形得到斜边，然后利用整体代入的方法计算求得斜边，最后根据三角形面积公式即可解答．本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，勾股定理，完全平方公式，熟练运用一元二次方程的根与系数关系是解题的关键．
【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为、，斜边上的高为，
∵一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，
∴，，
∴直角三角形斜边长为，
∴，，
∴，
解得：，
这个直角三角形的斜边上的高是，
故选：．
3．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）问题背景：已知，在中，，如果过某一顶点的直线可以将分割成两个等腰三角形，求的大小．
某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①，②，③，④，你认为其中正确的结果有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】①当时，则，作的平分线交于点，从而得，，据此可判定和均为等腰三角形，进而可对①进行判断；
②当时，则，作的平分线交于点，从而得，据此可判定和均为等腰三角形，进而可对②进行判断；
③当时，则，作的垂直平分线角于点，连接，则为等腰三角形，，进而得，，由此可判定为等腰三角形，进而可对③进行判断；
④当时，则，作的垂直平分线交于点，连接，则为等腰三角形，从而得，，，由此可判定为等腰三角形，进而可对④进行判断，综上所述可得出答案．
【详解】解：在中，，
，
，
①当时，则，
作的平分线交于点，如图1所示：

，
，
，，
和均为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故①正确；
②当时，则，
作的平分线交于点，如图2所示：

，
，，
和均为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故②正确；
③当时，则，
作的垂直平分线角于点，连接，如图3所示：

则，即为等腰三角形，
，
，，
为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故③正确；
④当时，则，
作的垂直平分线交于点，连接，如图4所示：

则，即为等腰三角形，
，
，，
，
为等腰三角形，即直线将分成两个等腰三角形，故④正确；
综上所述：正确的结果是①②③④，共4个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线定义和垂直平分线性质等知识．理解题意，正确的构图，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，灵活运用三角形的内角和定理进行角度计算是解决问题的关键．
4．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，，分别是的高和角平分线，F是上一点，过点F垂直于的直线分别交，，及的延长线于点G，H，M，N．甲､乙､丙､丁四个同学根据以上信息分别写出了一个结论．
甲同学的结论：；乙同学的结论：；
丙同学的结论：；丁同学的结论：．
其中结论正确的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，由题意可得，，，再结合即可判断甲；由，不是的角平分线即可判断乙；由三角形外角的定义及性质即可判断丙、丁，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，分别是的高和角平分线，
∴，，
∵过点F垂直于的直线分别交，，及的延长线于点G，H，M，N．
∴，
∴，
∵，
∴，故甲错误；
∵，不是的角平分线，
∴，故乙错误；
∵，，
∴，
∵，
∴，故丙错误；
∵，
∴，故丁正确；
故选：D．
5．（21-22八年级上·山东德州·期末）如图，点A是x轴上一个定点，点B从原点O出发沿y轴的正方向移动，以线段为边在y轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点B的移动，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．直线与x轴所夹的锐角恒为D．随点B的移动，线段的值逐渐增大
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质，结合图形证明手拉手模型一旋转型全等，即可判断A，根据△BOA≌△BDC，可得∠BDC=∠BOA=90°，从而可得∠ODC=∠BDO+∠BDC=150°，即可判断B，延长CD交x轴于点E，根据∠ODC=150°利用平角定义可求出∠ODE=30°，然后再利用三角形的外角求出∠DEA=60°，即可判断C，根据△BOA≌△BDC，可得CD=OA，根据OA的值是定值，即可判断D
【详解】A．∵△OBD和△ABC都是等边三角形
∴∠ABC=∠OBD=∠ODB=∠BOD=60°，BO=BD，BC=AB
∴∠ABC-∠DBA=∠OBD-∠DBA，
∴∠CBD=∠ABO
∴△BOA≌△BDC(SAS)，
故A不符合题意；
B．∵△BOA≌△BDC
∴∠BDC=∠BOA=90°，
∴∠ODC=∠BDO+∠BDC=60°+90°=150°
故B不符合题意；
C．延长CD交轴于点E，
∵∠ODC=150°
∴∠ODE=180°-∠ODC=30°，
∵∠BOA=90°，∠BOD=60°，
∴∠DOA=∠BOA-∠BOD=30°，
∴∠DEA=∠DOA+∠ODE=60°；
∴直线CD与x轴所夹的锐角恒为60°，
故C不符合题意；
D．∵△BOA≌△BDC；
∴CD=OA
∵点A是轴上一个定点，
∴OA的值是一个定值，
∴随点B的移动，线段CD的值不变，
故D符合题意；
故选∶D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定，熟练掌握手拉手模型一旋转型全等是解题的关键
二、填空题
6．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，是正方形的边上一点，正方形的边长为8，连接，将沿着折叠，使得点落在正方形的内部点处，连接，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，三角形三边的关系，勾股定理，先由正方形的性质得到，再由勾股定理得到，由折叠的性质可得，再根据，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是边长为8的正方形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴当K在线段上时，有最小值，最小值为，
故答案为：．
7．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点在上，，边上的中线与相交于点，延长至点，使得，连接，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质及三角形相似的判定与性质，先证明，得到，，从而得到，从而得到，即可得到答案；
【详解】解：∵边上的中线与相交于点，
∴，
在与中
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
8．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，，点在上，与相交于点D，且D既是的中点，又是的中点，与相交于点E．．下列结论：①点E是的中点；②是等边三角形；③；④点C与之间的距离是3．其中正确的结论是 ．（只填序号）
【答案】①②③④
【分析】设与相交于点O，连接，先证明是等边三角形，再根据等边三角形性质可证得点E是的中点，再由直角三角形判定证明，最后由30度的直角三角形的性质证明即可．
【详解】解：如图，设与相交于点O，连接，
，．
，
D既是的中点，又是的中点，
，
，
，，
，
是等边三角形，故②正确，
，
，
点E是的中点，故①正确，
是等边三角形，
，
，
，
，
，故③正确，
，
，
，
，故④正确，
故答案为：①②③④
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质及三角形内角和定理，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质．
9．（24-25九年级上·山东青岛·期中）把和拼成如图所示的图案，其中点B，C，D在同一直线上，F是的中点．已知，则的长为 ．
【答案】
【分析】由勾股定理得，，再证明，得，进而证明，然后由勾股定理求出，最后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
【详解】解：，，，，，
，，，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
故答案为：．
三、解答题
10．（23-24七年级下·山东青岛·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

(1)如图1，中，为边上的中线，请证明；
(2)知识应用：如图2，D，E，F分别为，，的中点，若，则______；
(3)如图3，点E是三等分点，D，F分别为，的中点，若，则的面积为_______；
(4)拓展延伸：如图4，中，点P在的平分线上，，若的面积为m，则的面积为______．（用含m的式子表示出来）
【答案】(1)证明见解析
(2)1
(3)4或2
(4)
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的定义，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
（1）由中线的定义可得可得 ，则可得结论；
（2）由中点的定义可得 可得
（3）由中点定义可得由三等份的定义可得或由面积的和差关系可求 或，即可求解；
（4）由“”可证可得即可求解.
【详解】（1）∵为边上的中线,
，
∴
；
（2）点是的中点，
，
，
∵点是AD的中点,
，
，
∵点是的中点,
，
，
故答案为：；
（3）如图, 连接,
∵点是的中点,
，
∵点是AD三等分点，
或，
，或
或,
∵点是的中点,
，
或，
故答案为：或；
（4）如图，延长交于,
∵点在的平分线上，
，
，
，
又∵，
，
，
，，
，
故答案为：
11．（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，点O，P，Q分别在上，与交于M点，连接，已知，．
(1)求证：；
(2)若是的平分线，，请判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)，理由见详解
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据邻补角的性质，得出，证明，结合，即可作答．
（2）由角平分线的定义得出，再进行角的等量代换，得出，且，得出，再根据三角形的内角性质，进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∵，
∴，
∴在中，，
∴．
12．（24-25八年级上·山东济宁·期中）综合与实践
【问题重现】
人教版义务教育教科书数学八年级上册第17页第9题原文如下：
“如图，．求x的值．”
受这道题启发，某校八年级数学课外实践探究进行了一下探究，请你和他们一起完成吧．
【问题变式】
（1）如图1，D是的边延长线上一点，．求x的值；
【继续探究】
（2）如图2，E是四边形的边延长线上一点，．求x的值；
【深度探究】
（3）已知：E是四边形的边延长线上一点，与的平分线所在直线相交于点．设．请直接写出之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，角平分线的定义；
（1）根据题意得出，即可得出，根据三角形的外角的性质可得；
（2）延长交于点，根据三角形内角和定理得出，同（1）可得；
（3）同（2）方法，即可求解，注意分类讨论，射线交于点，射线的反向延长线交于点．
【详解】（1）∵，
∴
∵D是的边延长线上一点，
∴
∴，即
∵
∴
（2）解：如图，延长交于点，
∵
∴，
∴，
同（1）可得
（3）当射线交于点，如图所示，延长交于点，
依题意，
∴，
∴，
同（1）可得
当射线的反向延长线交于点，如图所示，延长交于点，
∵
∴
同（1）可得
13．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，的面积为2，为边上的中线，点是的等分点；点是的等分点；点是的等分点．其中、、为正整数，．
(1)的面积为______；
(2)求四边形的面积，并说明理由；
(3)四边形的面积为______；
(4)的面积为______．
【答案】(1)2
(2)7，理由见解析
(3)36
(4)
【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质及等底同高可得结论；
（2）证明，求出，即可得到四边形的面积为7；
（3）利用相似的性质分别求出，，即可得到答案；
（4）连接,证明，得到，同理，，根据，，，得到，， ，由此求出答案即可．
【详解】（1）解：连接，
∵的面积为，为边上的中线，
∴，
∵点是的等分点，
∴，
∵点，，是线段的四等分点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的面积为，
∴的面积为2，
故答案为：2；
（2）解：四边形的面积为7，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积；
（3）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
连接，
∵，
∴
∵，
∴
∴四边形的面积为，
故答案为36；
（4）解：连接,
∵点是的等分点；点是的等分点；点是的等分点．，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，，，
∵，，，
∴，， ，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．
14．（24-25八年级上·山东临沂·期中）已知：，为的平分线，分别是边、上一点，且，求证：．
方法1：（）已知，，那么________．
（）要证，是否需要证明它们所在的三角形全等，又知道为的平分线，可过做辅助线，过作，，垂足分别为，．
（）补全图形，并尝试写出证明过程．
方法2：除了方法外，还可以在角平分线两侧构造全等三角形，在射线上取，连接，并思考是否为等腰三角形，补齐图形并尝试写出证明过程．
【答案】方法：（）；（）见解析；方法：见解析
【分析】[方法]（）由，，求得，于是得到问题的答案；
（）作，，垂足分别为，，则，由角平分线的性质得，再证明，即可根据“”证明得；
[方法]在上截取，连接，再证明，而，， 即可根据“”证明，得，，则，所以，即可证明；
此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键.
【详解】解：方法：（）∵，，
∴，
故答案为：；
（）如图，
（）证明：∵平分，，．
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴
在和中
∴
∴
方法：
在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
由（）得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．（24-25九年级上·山东济宁·期中）综合与实践
【问题重现】
义务教育教科书数学八年级上册《第十一章三角形》中我们学过了三角形中线的定义、画法、性质等．下面是一道关于三角形的中线有关问题：
如图1，是的中线，，，求的取值范围．
问题解决思路：延长到，使得，连接，可证（相当于将绕点顺时针旋转得到，把，，变换到中，利用三角形的三边关系可得，所以．根据上面信息，解决下面问题．
【问题变式】
如图2，点，，分别在的边，，上，是边上的中点，，连接．
（1）求证：；
（2）当时，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
【问题拓展】
（3）如图3，四边形中，，，，点，分别在四边形的边，上，且，连接．探索线段，，之间的数量关系并证明．

【答案】（1）详见解析
（2），证明见解析
（3），证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定即性质，勾股定理，三角形的三边关系，合理作出辅助线是解题的关键．
（1）延长至，使，证出得到，再证出，得到，再根据三角形的三边关系求解即可；
（2）根据全等的性质进行角的等量代换求出，再利用勾股定理求解即可；
（3）延长至，使，证出得到，，通过角的等量代换得到，推出后即可求解．
【详解】解：（1）证明：延长至，使，连接，，如图所示：
∵是边上的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）猜想：，
证明：由（1）可知，，
又∵，
∴，
∴，即，
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴；
（3）答：，
证明：延长至，使，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴在和中：
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴．
16．（20-21七年级下·山东济南·期末）本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．
（1）如图1，在四边形中，，，连接．
①小明发现，此时平分．他通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．
②如图2，当时，请你判断线段，，之间的数量关系，并证明．
（2）如图3，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且，请你判断与的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②，证明见解析；（2），证明见解析
【分析】（1）①参考小明的想法，延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分；
②沿用①中辅助线，延长到点，使得，连接，证得直角三角形，再利用勾股定理可求得，，之间的数量关系；
（2）类比（1）中证明的思路，延长至，使得，连，证明、，再利用全等三角形的对应角相等和等腰三角形等边对等角的性质，找到与的数量关系．
【详解】（1）如图，延长到点，使得，连接．
，，
在与中，
，
．
平分
（2）
证明：如图，延长到点，使得，连接．
由（1）知，
，
在直角三角形中，
（3）
证明：如图，延长至，使得，连，
由（1）知，
，
在与中，
，
，，
【点睛】本题考查三角形的基本知识、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质与判定．综合性较强．
17．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由：
已知：，，，．求：的度数．
解：因为，（已知）
所以______＋______（等式的性质）
即
在和中：
所以（ ）
所以（全等三角形的相等）
因为
所以．
【答案】；；对应角；
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要考查了学生的逻辑推理能力，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；
根据，，得出，再利用证明，即可得出结论．
【详解】解：因为，（已知）
所以（等式的性质）
即
在和中：
所以
所以（全等三角形的对应角相等）
因为所以．
故答案为：DE；；CD；CA；CB；；；；对应角；．
18．（24-25七年级上·山东济南·开学考试）我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一、古人将直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名．勾股定理：若直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则有，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
请运用“勾股定理”解决下列问题．
(1)如图1，直角三角形的两条直角边分别是9厘米和12厘米，则这个直角三角形的斜边长___________厘米．
(2)如图2，分别以直角三角形的边为边长作正方形，则___________，___________．根据勾股定理可知，，所以___________=___________．
(3)如图3，圆柱的高为4厘米、底面半径为1厘米．在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少厘米？（取3）
下面是小林的思考过程，请你帮他补充完整．
①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图4所示（A点的位置已经给出），请在图中标出B点的位置并连接．
②小林认为线段的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【答案】(1)15
(2)；；，
(3)①见解析，②5厘米
【分析】本题考查了正方形面积的计算以及勾股定理的应用，平面展开最短路径问题，关键是把立体图形能够展成平面图形求解．
（1）根据勾股定理计算即可；
（2）利用勾股定理，易得；
（3）①圆柱的平面展开图上面长的中点即为B点，连接；
②利用勾股定理可求出的长，即可求出蚂蚁沿侧面爬行时最短的路程．
【详解】（1）解：，
∴斜边为：厘米；
故答案为：15；
（2）解：，
，
；
故答案为：；；，；
（3）解：①如图，B点长方形上面长的中点，连接，
②圆柱高厘米，底面半径厘米，
（厘米），
故（厘米），
答：蚂蚁爬行的最短路程是5厘米．
课标要求
考点
考向
1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。
2. 探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3. 证明三角形的任意两边之和大于第三边。
4. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。
5. 掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
6. 掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
7. 掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等。
8. 证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
9. 理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
10. 理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
11. 理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°。探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是 60°的等腰三角形)是等边三角形。
12. 理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理: 直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
13. 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
14. 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
15. 了解三角形重心的概念。
三角形
考向一 与三角形有关的线段
考向二 勾股定理
考向三 三角形全等的判定
考向四 三角形全等的判定与性质
考向五 三角形的综合应用
考点 三角形
易错易混
注意必须在直角三角形中才能用勾股定理;
2、注意在直角三角形中，明确已知的两边是直角边还是斜边，比如已知两边为3,4，则第三边不一定是5.