专题17 锐角三角函数（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题（山东专用） 含答案

这是一份专题17 锐角三角函数（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题（山东专用） 含答案，文件包含专题17锐角三角函数原卷版docx、专题17锐角三角函数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。

►考向一 三角函数的定义
1.（2024•东营）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2.（2024•淄博）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ）
A．2B．C．D．
►考向二 解直角三角形的实际应用——俯仰角
1.（2024•日照）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（ ）
（结果精确到．参考数据：）
A．B．C．D．
2.（2024•泰安）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为 米．（参考数据：，，，）
3.（2024•潍坊）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．
(1)求关于的函数表达式；
(2)该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？
(3)图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），为太阳能板与水平地面的夹角，为支撑杆．已知，是的中点，．在延长线上选取一点，在两点间选取一点，测得，在两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端的仰角为，，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆的长．（精确到m，参考数据：，）
4.（2024•烟台）根据收集的素材，探索完成任务．
5.（2024•淄博）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长为．又在点处测得该楼的顶端的仰角是．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（ ）

A． B．
C． D．
►考向三 解直角三角形的实际应用——坡度、坡角
1.（2024•青岛）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
（参考数据：）
►考向四 解直角三角形的实际应用——其他
1.（2024•济南）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
(1)求点到地面的距离；
(2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
►考向五 三角函数与四边形的综合
1.（2024•德州）如图，中，对角线平分．

(1)求证：是菱形；
(2)若，，求菱形的边长．（参考数据：，，）
2.（2024•日照）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求的面积．
3.（2024•泰安）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（ ）
A．2B．C．D．4
►考向六 三角函数与圆的综合
1.（2024•德州）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接．
(1)求证：
(2)若，．
①求的半径；
②求图中阴影部分的面积．
2.（2024•青岛）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ．
3.（2024•泰安）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．

4.（2024•潍坊）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的直径．
1.（2024•日照）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接．
【特例感知】
（1）若．则_______．
（2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形；
【深入探究】
若在点C运动过程中，始终有，连接．
（3）如图2，当与相切时，求的长度；
（4）求长度的取值范围．
2.（2024•威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）
(1)设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
(2)根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程．
(3)假设，，，根据（）中的推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________．
3.（2024•山东）【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图
【问题解决】（1）计算，两点间的距离．
（参考数据：，，，，）
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可．
（2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号）
①解直角三角形 ②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
一、单选题
1．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，其中，，每个三角形都以点O为顶点．若是第一个小于的角，则n的值为（ ）（参考数据：，，）
A．5B．6C．7D．8
2．（23-24九年级上·山东德州·开学考试）如图，中，，，，，，则关于、、的大小关系（ ）
A．B．C．D．
3．（18-19九年级上·山东聊城·期末）在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长为，则表高为（ ）（参考数据：冬至时，；夏至时，）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，，斜坡AB的坡度，某人从斜坡的M处走了50米到达N处，则N与M的垂直高度为 米．
三、解答题
6．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题：
(1)在图①，______，______，______；
在图②中，______，______，______；
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明；
(2)在图①中，______，______；
在图②中，______，______；
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明．
7．（2024·山东·模拟预测）（1）计算：；（参考公式：）
（2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值．
8．（24-25九年级上·山东·期末）【实践课题】南海是我国的固有领土，近年来由于海运量增大，对珊瑚礁的破坏严重，为了保护某珊瑚礁，我国某科考队在南海画出了一个海洋保护区，在航海图上标明了三个观测点的坐标，请你帮助科考队完成任务．
【实践工具】中国南海地图，直尺，铅笔等工具
【实践活动】该班甲小组在地图上确定O，B，C三观测点，建立平面直角坐标系，如图1所示，O0,0、、，由这三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．
【问题解决】甲小组若在观测点O测得一艘渔船D的位置为，试问该渔船是否已进入海洋生物保护区？
【交流研讨】甲小组问题解决后，乙小组提出了另一种方案：如图1所示，在甲小组确定的O，B，C三个观测点的基础上，再连接，比较和的大小，来确定D在的内部还是外部，请你利用乙组的方法确定当渔船D的位置为时，试问该渔船是否已进入海洋生物保护区？（注：当时，点D在内部，当时，点D在外部，当时，点D在上）（注：时，角随正弦值的增大而增大，）
9．（24-25九年级上·山东济南·期中）某数学兴趣小组在学习完“，，角的三角函数值”这一节课后，做了如下探究：如图1，中，，，，延长至点D，使．根据，，得出，，，，又∵，，∴，则求出，同时还求出．
(1)如图1，根据以上的思路和数据，得出________°，________．（写出最后结果）
(2)如图2，中，，，请你参考兴趣小组的思路，求的值．
(3)如图3，某工程队在施工过程中，要对一个三角形区域进行勘探．已知，，，请帮助他们求出的面积．
10．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，距小明家楼下D点20米的B处有一根废弃的电线杆，经测得此电线杆与水平线所成锐角为，在小明家楼顶C处测得电线杆顶端A的俯角为，底部点B的俯角为 （点A、B、D、C在同一平面内）．已知在以点B为圆心，10米长为半径的圆形区域外是一休闲广场，有关部门想把此电线杆水平放倒，且B点不动，为安全起见，他们想知道这根电线杆放倒后，顶端A能否落在休闲广场内？请通过计算回答．
（结果精确到0.1米，参考数据：，）
11．（2024九年级上·山东济南·专题练习）已知正弦定理：．
(1)小明想学习正弦定理，但他不会证明，老师已经给出了思路，请根据思路，帮小明完成证明．
如图，作的外接圆，O为圆心．连接并延长交圆于D，设．根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等，可得：；
(2)证明后，老师提出还可以用其他方法证明，请你对此进行证明；
(3)接下来请你运用正弦定理，解决下面问题：中，，平分，求的长度．
12．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度．
【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具．
【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，，，且A，，，在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，．
【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）．
(1)求A，两点间的距离；
(2)求该条待建环山路的长度（结果保留）．（参考数据：，，，）
13．（24-25九年级上·山东威海·期末）为测量塑像高度，进行如下操作：如图，无人机飞到雕塑正上方距地面的高度后，沿塑像的左手方向水平飞行至C处，测得雕塑底部B处的俯角为；无人机保持方向不变继续水平飞行至D处，测得雕塑顶端A处的俯角为30°．求塑像的高度AB．（结果精确到，参考数据：，，，）
14．（2025·山东临沂·一模）某中学为新操场采购了一批可调节高度的篮球架，右图是其侧面示意图，底座高度忽略不计．已知其支架，，安装完毕后小明测得， ， 国家规定中学生所用篮球架中篮筐距地面标准高度约为，请你帮小明判断安装后的这批篮球架是否符合国家标准？（参为数据：，结果保留整数）
15．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，）
(1)计算台阶的高度；
(2)求孔子雕像的高度．
16．（2024·山东青岛·模拟预测）如图，我国某舰队在一次演习中，处指挥舰发现在北偏东方向上处有一可疑船只，立即命令在指挥舰正东方向距离50海里处的舰艇前往拦截处理．处舰艇接到命令时，发现可疑船只位于北偏西方向上，正向正东方向逃窜，经过计算，立即沿北偏东方向航行，最终在处成功拦截．求可疑船只和我军舰艇平均航行距离各是多少？（保留整数，，，，，，，，，）
课标要求
考点
考向
1．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A，
cs A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值。
2. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。
3. 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
三角函数
考向一 三角函数的定义
考向二 解直角三角形的实际应用——俯仰角
考向三 解直角三角形的实际应用——坡度、坡角
考向四 解直角三角形的实际应用——其他
考向五 三角函数与四边形的综合
考向六 三角函数与圆的综合
考点 三角函数
解题技巧
采用哪个三角比来求边、角，要根据已知条件：
（1）已知角和对边，求临边则用正切；
（2）已知角和对边，求斜边则用正弦；
（3）已知角和临边，求斜边则用余弦；
（4）已知角和临边，求对边则用正切；
（5）已知两直角边，求角用正切；
（6）已知斜边和一条直角边，求夹角用余弦，求对角用正弦.
探究太阳能热水器的安装
素材一
太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．
素材二
某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，．
，，
，，
，，
，，
素材三
如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线．
问题解决
任务一
确定使用数据
要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算．
任务二
探究安装范围
利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．
易错易混
坡度不是角度，是坡角的正切
解题技巧
一般出现75°、105°时，考虑通过辅助线将其分开成75°=30°+45°，105°=45°+60°.