专题22 圆的综合（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题（山东专用） 含答案

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►考向一 圆切线的判定
1.（2024•济宁）如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接．
(1)若，求的长；
(2)求证：是的切线．
2.（2024•威海）如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
3.（2024•潍坊）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的直径．
4.（2024•山东）如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接．
(1)求证：为所在圆的切线；
(2)求图中阴影部分面积．（结果保留）
►考向二 圆切线的性质
1.（2024•青岛）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ．
2.（2024•日照）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接．
【特例感知】
（1）若．则_______．
（2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形；
【深入探究】
若在点C运动过程中，始终有，连接．
（3）如图2，当与相切时，求的长度；
（4）求长度的取值范围．
3.（2024•泰安）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．

4.（2024•烟台）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，．
(1)若，求的度数；
(2)找出图中所有与相等的线段，并证明；
(3)若，，求的周长．
►考向三 圆与四边形的综合
1.（2024•德州）有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm．
►考向四 圆与正多边形的综合
1.（2024•东营）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ．
2.（2024•济宁）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（ ）

A．1B．2C．D．
►考向五 圆中线段的求解
1.（2024•东营）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
2.（2024•济南）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
3.（2024•淄博）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图①
小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．
请求出当．时，长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段DE所成的比始终相等．请予以证明．
一、填空题
1．（2024·山东·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，圆心在x轴上的与同时与纵轴相切．，直线l：交x轴于点B．记B点的横坐标为，与的组合图形记为曲线M．若直线l：与曲线M至少有4个不同的公共点，则的取值范围为 ．
2．（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图所示，是圆O的直径，是圆的切线，E为切点，，若与圆的交点为D，且，则的大小为 ．
3．（2024·山东·模拟预测）如图，在直线l：上取一点，使．过点作，交x轴于点；在直线l：上找一点，使，过点作，交x轴于点；在直线l：上找一点，使……以此类推．若的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，的内切圆圆心为……以此类推，的内切圆圆心的坐标为 ．
二、解答题
4．（24-25九年级上·山东·期末）在现代汽车成为人们出门的代步工具之一，汽车的心脏是发动机，如图1所示是发动机的一种动力传输工具，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是它的示意图，图3是其简化图，已知，点A在中轴线上运动，点B在以O为圆心，长为半径的圆上运动，且．当与相切时，求点A到最短距离．
5．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，中，，，，，是的内切圆，求的半径（用含、、的代数式表示）．
6．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，在网格内，、、、．
(1)判断的形状；
(2)画出的外接圆；
(3)点P是第一象限内的一个格点，．
①写出一个点P的坐标_____；
②满足条件的点P有_____个．
7．（2021·山东烟台·模拟预测）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点C，且A（1，0），sin∠OBC．过点B作线段BC的垂线交抛物线于点D，交y轴于点E．设直线x＝﹣2与直线BD相交于点M，与x轴交于点N．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)试判断以点A为圆心，AD长为半径的圆与y轴的位置关系，并给出证明；
(3)如图2，作直线OM．问：在（2）中的⊙A上是否存在一点P，使△OPM的面积最大？若存在，求出△OPM面积的最大值；若不存在，请说明理由．
8．（2024·山东潍坊·二模）如图，已知是的直径，且，过上一点C作平行四边形，E为中点，连接，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)延长，分别交于点F和G，连接并延长交的延长线于点M，与交于点H，求阴影部分的面积与的长．
9．（2024·山东淄博·二模）已知，内接于，平分交边于点E，连接．
(1)如图1，过点D作直线，求证：是的切线：
(2)小明同学围绕圆内接三角形进行了一系列的探究，发现线段之间存在着一种数量关系；
【发现猜想】在图1中，小明同学发现，当时，线段之间满足数量关系
【推理证明】延长AC到点P使得
平分
又
为正三角形
【类比探究】如图2，当时，试猜想线段之间满足的数量关系，并证明你的结论；
【一般归纳】如图3，当时，试猜想线段之间满足的数量关系（用含有的三角函数表示），并证明你的结论；
【拓展应用】如图4，过点E作，垂足为G，过点E作，垂足为H，求证：．
10．（2024·山东青岛·一模）如图，点为上一点，连接并延长至点，使得．过点作的切线，点为切点，连接．点Ａ为上一点，，连接，，，．
(1)证明：为的切线；
(2)判断四边形的形状，并证明你的结论．
11．（2024·山东济南·模拟预测）如图，为四边形的对角线，，，，的外接圆交于点，所对的圆心角的度数为．
(1)求证：是的外接圆的切线；
(2)若的外接圆的半径为，求的长．
12．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图所示，是线段延长线上的点，矩形的外接圆过的中点．
(1)求证：；
(2)若，求的值；
(3)若是的切线，求的值．
13．（2024·山东济宁·一模）如何仅用圆规和无刻度的直尺过圆外一点作已知圆的切线呢？请同学们阅读下面的分析：如图1，如果与相切于点，那么，即，根据“圆周角定理的推论：的圆周角所对的弦是直径”可以得出：点既在上，也在以为直径的圆上，是两圆的公共点．
(1)请根据上面的分析在图2中完成尺规作图：用圆规和无刻度的直尺先找出线段的中点，然后画以点为圆心，以为半径的圆就可以确定切点的位置，切点分别记为、，画出直线和，即为经过圆外一点的的两条切线；
(2)在（1）的条件下，若的直径与交于点，连接、、．求证：点是的内心．
14．（2024·山东·模拟预测）综合与实践
【问题解决】
（1）如图1，射线、的夹角为，平面内有一点C，连接、，．若，，求线段与线段的长；
【延伸思考】
（2）如图2，当，，时，在射线上取一点E，过点E向BC的延长线作垂线，垂足为点F，连接，．以为直径作．C点为线段上的一个动点，连接，并且．当与相切时，连接，求的长；
【思维拓展】
（3）在图2的构图基础上深入探究：如图3，已知点A、B成为平面内的动点，点O、C为定点，且．若，，其他条件与（2）相同，求的最大值．
15．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）如图，是的两条直径，，点是劣弧上一动点（点不与重合）．连接，分别交于点，，连接．设的半径为，．

(1) （用含的代数式表示）；
(2)当时，求；
(3)判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
课标要求
考点
考向
1．了解三角形的内心与外心。
2. 了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。
3. 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
圆的综合
考向一 圆切线的判定
考向二 圆切线的性质
考向三 圆与四边形的综合
考向四 圆与正多边形的综合
考向五 圆中线段的求解
考点 圆的综合
解题技巧
证明过某点的直线是切线时，若已知该点在圆上，则常连接圆心和该点，证明辅助线与直线垂直；
证明直线是圆的切线时，若已知直线与过圆心的某线垂直，则常证明圆心与垂足的连线长等于半径
解题技巧
求三角形内切圆半径时，常结合面积，即
解题技巧
求解圆中的线段，常见思路有：
构造直角三角形，利用勾股定理；
构造直角三角形，利用三角比；
利用相似三角形对应边成比例。
（1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________．
解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）．
小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________．
解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）．
（2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明．