专题21 圆（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）(原卷版+解析版)

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►考向一 圆中角的求解
1.（2024•济宁）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得，．根据三角形外角定理可得，，由此可得，又由，可得，即可得解．
本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】∵四边形是的内接四边形
∴，
，，
，
，，，
，
解得，
，
．
故选：C
2.（2024•泰安）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵是的直径，，
∴，，则，
∴，
故选：A．
3.（2024•山东）如图，是的内接三角形，若，，则 ．
【答案】/40度
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求出的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，即可求解．
【详解】解∶连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
►考向二 弧长及扇形面积的求解
1.（2024•东营）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）．

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键．
【详解】解：由题知，
，
，
所以山水画所在纸面的面积为：．
故选：C．
2.（2024•济宁）如图，三个顶点的坐标分别是．
(1)将向下平移2个单位长度得，画出平移后的图形，并直接写出点的坐标；
(2)将绕点逆时针旋转得．画出旋转后的图形，并求点运动到点所经过的路径长．
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
【分析】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，弧长公式，解题的关键熟练掌握平移和旋转的性质，
（1）利用平移的性质作出对应点，再连线即可，
（2）利用旋转的性质分别作出对应点，再连线，运动到点所经过的路径长即为弧长即可可求解
【详解】（1）解：如下图所示：
由图可知：；
（2）解：如上图所示：
运动到点所经过的路径为：
3.（2024•青岛）如图，是上的点，半径，，，连接AD，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接，由圆周角定理可得，进而得，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：连接，则，
∵，
∴，
∴，
故选：．
4.（2024•日照）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解．
【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到．
，
，
在菱形中，点O是对角线的中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键．
5.（2024•泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键．
如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答．
【详解】解：如图：连接，作于点B，
∵，
∴三角形是等边三角形，
∴，
∴
∴,
∴．
故选：A．
6.（2024•威海）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵点是的中点
∴
∴
∴
∴，，
点落在阴影部分的概率是
故选：B．
7.（2024•烟台）如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可．
【详解】解：∵正六边形，
∴，，
∴，，
∴，
过点作于点，则：，
设圆锥的底面圆的半径为，则：，
∴；
故答案为：．
8.（2024•山东）如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接．
(1)求证：为所在圆的切线；
(2)求图中阴影部分面积．（结果保留）
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四边形是平行四边形是解题关键．
（1）根据圆的性质，证明，即可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果．
（2）先求出平行四边形的高，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：连接如图，
根据题意可知：，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴在以为直径的圆上，
∴，
∴为所在圆的切线．
（2）过作于点，
由图可得：，
在中，，，
∴，
∴，
由题可知：扇形和扇形全等，
∴，
等边三角形的面积为：，
∴
►考向三 圆内的综合问题
1.（2024•德州）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接．
(1)求证：
(2)若，．
①求的半径；
②求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①2
②
【分析】对于（1），连接，在中，先根据同弧所对的圆周角相等得，然后在中，根据圆周角定理得，可得答案；
对于（2）①，由结合（1），可得，再连接，作，可得，，进而得出，然后在中，根据得出答案；
对于②，先说明是等边三角形，即可求出其面积，在中，求出弓形的面积，然后根据得出答案．
【详解】（1）如图所示． 连接，
在中，，
在中，，
∴；
（2）①，∵，
∴．
连接，过点作，交于点D，
∴，，
∴．
在中，，
即，
∴，
所以的半径是2；
②∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴垂直平分，垂直平分，
∴点三点共线．
在中，，
在中，．
在中，上标点，．
在中，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，余弦，求扇形的面积，等边三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键．
2.（2024•潍坊）（多选）如图，是的外接圆，，连接并延长交于点．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点．直线交于点，连接，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．四边形为菱形
【答案】ABD
【分析】本题主要考查圆的性质、圆周角定理、平行线的性质以及菱形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理证明，证明即可证明四边形为菱形，再根据圆周角定理进行判定即可．
【详解】解：令AC,OE交于点，
由题意得：是的垂直平分线，
，
，选项A正确；
故四边形为菱形，选项D正确；
，
四边形为菱形，
四边形为平行四边形，
，选项B正确；
，故选项C错误；
故选ABD．
3.（2024•烟台）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，．
(1)若，求的度数；
(2)找出图中所有与相等的线段，并证明；
(3)若，，求的周长．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)30
【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；
（2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论；
（3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，又，
∴，
∵四边形是内接四边形，
∴，
∴；
（2）解：，
证明：连接，
∵点I为的内心，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，
∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心．
∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点，
∴，，，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴的周长为
．
【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
一、单选题
1．（22-23九年级上·山东临沂·期中）平分锐角，以为圆心以任意长为半径画，分别交，，于A，B，C三点，以C为圆心，以长为半径画弧与相交于异于B点的点D，连接，．下列结论错误的是（ ）
A．B．若，则
C．D．
【答案】D
【分析】先根据题意画好图形，如图，连接，，由角平分线的定义结合圆心角，弧，弦之间的关系，判断A；证明为等边三角形，可判断B；连接，证明，可判断C；连接，可得，可判断D ，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，，

∵平分锐角，
∴，
∴，故A不符合题意；
∵由作图可得，
∴，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，故B不符合题意；
连接，
∵，，
∴，
∴，故C不符合题意；
连接，
∵，，
∴，
∴，故D符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，圆心角，弧，弦之间的关系，平行线的判定，两点之间线段最短，等边三角形的性质与判定，熟练的利用圆心角，弧，弦之间的关系进行转化是解本题的关键．
2．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图的半径是的直径，的半径交于，设弧的长是，弧AB的长是，那么( )
A．﹥B．﹤
C．D．与的大小不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了弧长的公式，圆周角定理；由圆周角定理，得，由题意得，再代入弧长的公式，进行计算即可．
【详解】解：如图所示，连接，

∵，
∴，
故选：C．
3．（24-25九年级上·山东临沂·期中）为了表演课本剧，需要制作如图所示的一个圆锥形的帽子，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则制作这个帽子所需纸板面积为（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】D
【分析】该题主要考查了圆锥的侧面积，解题的关键是掌握圆锥的侧面积．
根据圆锥的侧面积公式求解即可．
【详解】解：根据题意可得圆锥形的帽子的侧面积为：，
∴所需纸板的面积是．
故选：D．
4．（2024·山东·模拟预测）如图，大圆柱上挖了一个小圆柱．已知大圆柱的底面和小圆柱的底面是同心圆，、分别是大圆柱和小圆柱的底面半径．若大圆柱的底面周长为，，小圆柱的体积为，小圆柱中放一个最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆柱体积、圆锥侧面积和勾股定理，根据大圆柱柱的底面周长为和可求得圆柱的高，再结合小圆柱的体积为可求得小圆柱的底面半径，从而求得圆锥的母线，再根据圆锥侧面积公式解题即可．
【详解】解：大圆柱的底面周长为，
大圆柱的底面半径，
，
大圆柱的高，
又小圆柱的体积为，
小圆柱的底面面积为，
小圆柱的底面半径，
小圆柱中放了一个最大的圆锥，
圆锥的母线长，
该圆锥的侧面积为，
故选：A．
二、多选题
5．（23-24九年级下·山东潍坊·开学考试）孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉佩丁冬”，玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉佩如图所示，其平面图形可以看成扇形的一部分（如图），已知，，则（ ）
A．B．弧的长为
C．该平面图形的周长为D．该平面图形的面积为
【答案】CD
【分析】设点是扇形的圆心，由相似三角形的判定与性质可知，是的中位线，得出，证得是等边三角形，得出，根据平行线的性质得出，利用弧长公式求得弧的长为，进而即可求得该平面图形的周长为，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式即可求得该平面图形的面积为．
【详解】解：如图，设点是扇形的圆心，
，
，
，
，，
，
，
，,
，分别是，的中点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，故选项不符合题意；
的长为：，故选项不符合题意；
该平面图形的周长为，故选项符合题意；
，分别是，的中点，
，，
，
如图，过点作于点，
则，，
在中，根据勾股定理，可得：
，
，
该平面图形的面积
，
故选项符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，弧长的计算，求组合图形的周长，垂线的定义，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形的面积公式，三角形的面积公式，求组合图形的面积等知识点，熟练掌握弧长的计算公式以及扇形的面积公式是正确解答的前提，求出弧所对应的圆心角和半径是解题的关键．
6．（2024·山东潍坊·二模）如图，在矩形中，，先以点为圆心，的长为半径画弧交于点；再以点为圆心，的长为半径画弧交于点；然后以点为圆心，的长为半径画弧交于点；最后以为直径作半圆．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形为直角梯形
B．因为，所以
C．不论边长和的长度如何，始终成立
D．当点为的中点时，图中由四条圆弧构成的图形的周长为
【答案】AC
【分析】本题考查的是矩形的性质，梯形的含义，求解弧长，扇形的面积，掌握基础图形的性质是解本题的关键．由四边形矩形，证明，，证明，可判定A，求解，，可判定C，表示，，，可判定B ，证明，可得，，再结合弧长公式可判定D；
【详解】解： 四边形矩形，
∴，
∵，，
由作图可知：，，
，，
，，
，，，
而与不平行，
∴四边形为直角梯形，故A符合题意；
∵，
，，，
∴，故B不符合题意；
∵，
，
，故C符合题意；
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴
∴四条圆弧构成的图形的周长为；
故D不符合题意；
故选：AC
三、填空题
7．（2024·山东淄博·一模）如图，用若干个正方形拼成一个大矩形，然后在每个正方形中以边长为半径绘制圆弧，这些圆弧连起来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”．若图中最大的矩形面积为416，则这段“斐波那契螺旋线”的长度为 ．
【答案】
【分析】设最小的两个正方形的边长为，则最大的矩形的长为，宽为，根据题意列方程得到最小正方形的边长，然后根据弧长公式即可得到结论．本题考查了弧长的计算，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
【详解】解：设最小的两个正方形的边长为，
如图：
∵每个正方形中以边长为半径绘制圆弧，这些圆弧连起来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”
∴
∴
则最大的矩形的长为，宽为，
根据题意得，，
解得（负值舍去），
这段“斐波那契螺旋线”的长度为，
故答案为：．
8．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，半径为2的和的圆心，都在线段上，还在上，两圆交点为C，过点C作于点E交于点D，则的大小为 ，AD的长为 ．
【答案】 30
【分析】连接，，，．由垂径定理得，进而得，再证明△是等边三角形，得，证△是等边三角形， 利用勾股定理及30度直角三角形的性质即可得解．
【详解】解：如图，连接，，，．
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∵，
∴，，
∵，
是等边三角形，
，．
故答案为：30，．
【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理，等边三角形的判定及性质是解题的关键．
9．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，点A，C均在半径为的上，点是内一点，于点．若 ．
【答案】
【分析】连接，过点作于点，作于点，延长交于点，连接，先求出，，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用勾股定理求出，最后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，作于点，延长交于点，连接，
则，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
，
在和中，
，
，
，即，
解得，
，
，
，，
则在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
10．（23-24九年级上·山东威海·期末）将的劣弧沿弦折叠、刚好落在半径的中点C处，已知，则 ．
【答案】
【分析】设折叠后的所在圆的圆心为，的直径为，连接，，过点B作于F，先求出，，则，再根据折叠，得出与是等圆，根据圆周角定理，得出，从而得出，再根据等腰三角形的性质求出，从而求得，然后利用勾股定理求出长，即可求解．
【详解】解：如图，设折叠后的所在圆的圆心为，的直径为，连接，，过点B作于F，
∵C是半径的中点，，
∴，，
∴
∵将的劣弧BD沿弦BD折叠，
∴与是等圆，
∵
∴
∴
∵
∴，，
∴，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，弦、弧的关系，勾股定理．正确作出辅助线和证明是解题的关键．
11．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）已知是的直径，AB，是的弦，点D在内运动且满足，当，，连接CD，则线段CD长度的最小值为 ．

【答案】
【分析】本题考查圆周角定理的推论，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，取AB的中点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后得到，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边得一半可得，即可得到当点在同一条直线上时，线段CD的值最小，然后利用勾股定理解题即可．
【详解】解：如图，取AB的中点，连接，
∵是的直径，
，
，
，
，
点为AB的中点，
，
当点在同一条直线上时，线段CD的值最小，
在中，由勾股定理，得 ，
，

故答案为：．
12．（2024·山东聊城·一模）是的直径，，分别是直径和弦上的两个动点，已知，，则线段的最小值是 ．

【答案】2
【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，轴对称最短路线问题．连接，延长到，使，连接，，由圆周角定理得到，由线段垂直平分线的性质得到，，由等腰三角形的性质得到，由三角形三边关系定理得到，当时，最小，由含30度角的直角三角形的性质求出，即可得到的最小值是2．
【详解】解：连接，延长到，使，连接，，，
是圆的直径，
，
垂直平分，
，，
，
，
当最小时，的和最小，当时，最小，
此时，，
，
的最小值是2，
，
的最小值是2．
故答案为：2．
四、解答题
13．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）小予和小凡同学计划为美术教室设计一款多功能桌．现有圆心为O、半径为R的圆面形材料若干个（如图1所示），先在圆面材料上裁掉一个以O为圆心、为半径的圆得到一个圆环，然后把圆环6等分（如图2所示），得到若干扇环形桌面（如图3所示）．
(1)图3中一个扇环的面积为_________（用含r、R的式子表示）；
(2)小予同学用8块相同的扇环拼成如图4所示的桌子．
①图4是一个中心对称图形，请在图上标出对称中心A；
②根据图4上标注的数据求这张桌子的桌面面积（结果保留π）．
(3)小凡同学用10块相同的扇环拼成如图5所示的桌子．矩形ABCD是能把这张桌子围起来的最小矩形，且，直接写出图中线段EF的长度．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
(3)
【分析】本题考查了中心对称图形，圆的面积，轴对称等，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
（1）由题可知一个扇环面积等于，进而用大圆面积减去小圆面积即可得出圆环面积；
（2）①对应点连线的交点即是对称中心；，②由题先分别求出R和r的长度，再代入即可得解；
（3）先找出各扇环圆心，得出，以及，然后我们发现点与点关于中垂线对称，点和关于中垂线对称，，且F、G、三点共线，进而得到是等腰三角形，且顶角为，即可得解
【详解】（1）解： ；
故答案为：；
（2））①如图所示；
②如图，设两个圆环的圆心分别为和，则，，
，
解得，
；
（3）如图，分别作出各扇环所在的圆心、、、，
由图得，
由（2）②可得，，
，
点与点关于中垂线对称，点和关于中垂线对称，且、、三点共线，
一个扇环是圆环，
，
△是等边三角形，
，
，，
，
是等腰三角形，且顶角为，
．
14．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，已知点A、B、C为上互不重合的三点，，图形G关于轴对称后的图形称为，把再关于AC轴对称后的图形称为图形，若图形和都在上或内，则称图形G为关于的“轴转图形”．例如图中点D为关于的“轴转图形”：
如图1，在平面直角坐标系中，的半径为1，上有三点，，
(1)①直接写出的度数；
②在点O0,0和点中，点_________为关于的“轴转图形”，且的坐标为_________；
(2)平面内有一条线段EF，且EF是关于的“轴转图形”．
①若EF上所有的点都在上或内，则EF长度的最大值为_________；
②若EF是平面内的任意一条线段，则EF长度的最大值为_________．
【答案】(1)①；②D，
(2)①；②
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、圆周角定理等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键．
（1）①如图：连接和，过作轴于点，过作轴于点，再证明可得，进而得到即可证明结论；②分为对称点和为对称点两种情况分别解答即可；
（2）如图，由是关于的“轴转图形”，可知，在上及内部，由上所有的点都在上或内可知，，将线段关于射线对称得到线段在上及内部，进而得到即可解答；②如图，由图形在上及内部可知，图形在的和的上及内部，则图形内的最长线是，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：①如图：连接和，过作轴于点，过作轴于点，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，即，
，即；
②第一种情况：当为对称点时，
设，
，
，
，，
，
，
点在外，不是关于的“轴转图形”；
第二种情况：当为对称点时，
设，则，
，
，
，
，
，，
，
在圆上，；
故答案为：，；
（2）解：①如图，由是关于的“轴转图形”，可知，在上及内部，由上所有的点都在上或内可知，，将线段关于射线对称得到线段在上及内部，
，
故答案为：；
②如图，由图形在上及内部可知，图形在的和的上及内部，
因此图形内的最长线是，
，
故答案为：．
15．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）如图共线，为半圆的直径，为等边三角形，点与点重合，，现将半圆沿直线l以每秒1个单位长度的速度向右移动，当半圆与相交时，交点为，运动时间为秒．
(1)过点作半圆的切线，切点为，当时，求的长；
(2)如图②，连接，当时，求的值；
(3)如图③，当为等腰三角形时，求的值．
【答案】(1)的长为；
(2)
(3)的值为或．
【分析】（1）利用三角函数的定义求得，得到，利用弧长公式求解即可；
（2）连接，作于点，求得，解直角三角形求得和以及的长，得到的长，据此求解即可；
（3）分三种情况讨论，画出图形，根据等腰三角形或等边三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵为半圆的直径，，
∴当时，点与点重合，如图，连接，
∵为半圆的切线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为；
（2）解：连接，作于点，如图，
∵，且，∴，∴，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，，即，
∴，，
∴；
（3）解：当时，同（2），
，
∴；
当或时，
∵为等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
如图，此时点与点重合，点与点重合，
，
∴；
综上，的值为或．
【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
课标要求
考点
考向
1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念;探索并掌握点与圆的位置关系。
2. 探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
3. 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论:圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半;直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径;圆内接四边形的对角互补。
4. 会计算圆的弧长、扇形的面积。
圆
考向一 圆中角的求解
考向二 弧长及扇形面积的求解
考向三 圆内的综合问题
考点 圆
解题技巧
圆中，一条弧所对的圆心角只有一个，所对的圆周角有无数个，灵活运用同弧所对的圆周角相等。
一般若已知圆的直径，常常结合直径所对的角是直角构造直角三角形。
解题技巧
圆心角为n°，半径为r的弧长；
圆心角为n°，半径为r的扇形面积