2025-2026学年广东省深圳市红岭教育集团九年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省深圳市红岭教育集团九年级（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它从正面看是( )
A. B. C. D.
2.下列属于一元二次方程的是( )
A. x2−y=0B. x2−1x+2=0C. x2+5x=0D. x3−4x2=3
3.如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段AB=3.2cm，则线段BC的长为( )
A. 6.4cmB. 8cmC. 9.6cmD. 12.8cm
4.用配方法解一元二次方程x2−4x−5=0的过程中，配方正确的是( )
A. (x+2)2=1B. (x−2)2=1C. (x+2)2=9D. (x−2)2=9
5.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE//CA，DF//BA.下列四个判断中，不正确的是( )
A. 四边形AEDF是平行四边形
B. 如果∠BAC=90∘，那么四边形AEDF是矩形
C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D. 如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形
6.机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度v(m/s)是载重后总质量M(kg)的反比例函数.已知一款机器狗(如图所示)载重后总质量M=30kg时，它的最快移动速度v=2m/s；当其载重后总质量M=60kg时，它的最快移动速度v=( )m/s.
A. 4B. 3C. 2D. 1
7.如图，图1是装满了液体的高脚杯(数据如图)，用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离h=( )
A. 85cmB. 2cmC. 125cmD. 3cm
8.如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点P运动时△PAD的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系如图2，则a的值为( )
A. 354B. 253C. 192D. 9
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.已知ab=cd=ef=43，若a+c+e=20，且b+d+f≠0，则b+d+f= .
10.口袋中有15个球，其中白球有x个，绿球有2x个，其余为黑球.甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜；则当x= 时，游戏对甲、乙双方都公平.
11.如图，△ABC中，AB=AC，∠B=72∘，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC=2，则BD= .
12.若关于x的方程mx2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是______.
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，将它绕着BC的中点D顺时针旋转一定角度(小于90∘)后得到△A′B′C′，恰好使B′C′//AB，A′C′与AB交于点E，则A′E的长为 .
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
解下列方程：
(1)x2−x−3=0；
(2)x2−9=2(x−3).
15.(本小题8分)
如图，△ABC的顶点都在网格点上，点A的坐标为(−1,3).
(1)以点O为位似中心，在第二象限作△ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC△A′B′C′的边长放大到原来的2倍，并直接写出点A的对应点A′的坐标：______；
(2)如果△ABC内部的一点M坐标为(x,y)，则M的对应点M′的坐标是______；
(3)S△OAB：S四边形AA′B′B=______.
16.(本小题7分)
在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同.小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的部分统计数据：
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______(精确到0.01)；
(2)试估算盒子里白球有______个；
(3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是______(填写所有正确结论的序号).
①从一副扑克牌(不含大小王)中任意抽取一张，这张牌是“红桃”.
②掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数“小于3”.
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上.
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲.
(4)李老师利用这个盒子内的球提出了一个问题，先摸一个球，放回，再摸一个球，两次均摸到白球的概率是多少？小瑞打算直接画树状图求解，发现过于复杂.小璇经过思考设计了一个等价的方法，她计算黑白球的比例后，将转盘平均分成四份，…，按照这种思路，设计出如图所示示意图，请你根据示意图利用树状图或列表法求解.
17.(本小题8分)
综合与实践
主题：利用相似三角形的有关知识测量建筑物的高度.
素材：平面镜、标杆、皮尺等测量工具.
步骤1：如图，站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜刚好可以看到建筑物的顶端M的像，此时测得眼睛到地面的距离AB为1.5米；
步骤2：在F处竖立了一根高2米的标杆EF，发现地面上的点D、标杆顶点E和建筑物顶端M在一条直线上，此时测得DF为6米，CF为4米.
猜想与计算：已知MN⊥ND，AB⊥ND，EF⊥ND，点N、C、B、F、D在同一条直线上，且点N、C之间存在障碍物，无法直接测量.请根据以上所测数据：
(1)直接写出平面镜到建筑物的距离CN与建筑物高度MN之间的数量关系；
(2)计算建筑物的高度MN(平面镜大小忽略不计).
18.(本小题9分)
如图，四边形ABCD中，AB//DC，AB=BC，AD⊥DC于点D.
(1)用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E，交AC于点O；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)连接AE，四边形ABCE是什么特殊的四边形？请加以证明；
(3)连接OD，若AB=3，BE=4，求OD长.
19.(本小题10分)
根据以下素材，完成探索任务.
20.(本小题11分)
定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”．
(1)如图1，在4×4的正方形网格中，有一个网格Rt△ABC和两个网格四边形ABCD与四边形ABCE，其中是被AC分割成的“友爱四边形”的是______；
(2)如图2，四边形ABCD是“友爱四边形”，对角线AC是“友爱线”，同时也是∠BCD的角平分线，若△ABC中，AB=2，BC=3，AC=4，求友爱四边形ABCD的周长；
(3)如图3，在△ABC中，AB≠BC，∠ABC=60∘，△ABC的面积为3 3，点D是∠ABC的平分线上一点，连接AD，CD.若四边形ABCD是被BD分割成的“友爱四边形”，求BD的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：该几何体从正面看是：.
故选：B.
根据从物体的正面观察得的视图，进而得出答案．
本题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形是解决本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.x2−y=0是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B. x2−1x+2=0是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.x2+5x=0是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.x3−4x2=3一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C.
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3.【答案】C
【解析】解：∵练习纸中的竖格线都平行，
∴ABBC=26，
∵AB=3.2cm，
∴BC=9.6cm，
故选：C.
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方．先移项，在方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案．
【解答】
解：移项得：x2−4x=5，
配方得：x2−4x+22=5+22，
即(x−2)2=9，
故选D.
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点．
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90∘的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．
【解答】
解：A、因为DE//CA，DF//BA所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．
B、∠BAC=90∘，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．
C、因为AD平分∠BAC，所以∠EAD=∠FAD，又DE//CA知∠EDA=∠FAD，所以∠EDA=∠EAD，得AE=DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．
D、如果AD⊥BC且AB=BC不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项错误．
故选：D.
6.【答案】D
【解析】解：设v与M的函数关系式为v=kM(k为常数，且k≠0).
将M=30，v=2代入v=kM，
得2=k30，
解得k=60，
∴v与M的函数关系式为v=60M，
当M=60时，v=6060=1，
∴当其载重后总质量M=60kg时，它的最快移动速度v=1m/s.
故选：D.
根据待定系数法求出v与M的函数关系式，当M=60时，求出对应v的值即可．
本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求出反比例函数的关系式是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：如图：过O作ON⊥CD于N，交AB于M，
∵CD//AB，
∴OM⊥AB，
∵OC=OD，
∴CN=12CD=3cm，
∴ON= OC2−CN2= 52−32=4(cm)，
∵CD//AB，
∴△CDO∽△ABO，
∴OAOC=OMON，
∴35=OM4，
∴OM=125cm，
∴h=4−125=85(cm)，
故选：A.
高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：过点C作CE⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴点P在边BC上运动时，y的值不变，
∴AD=BC=10+a−10=a，
即菱形的边长是a，
∴12AD⋅CE=4a，即CE=8，
当点P在AC上运动时，y逐渐增大，
∴AC=10，
∴AE= AC2−CE2= 102−82=6，
在Rt△DCE中，DC=a，DE=a−6，CE=8，
∴a2=82+(a−6)2，
解得：a=253.
故选：B.
过点C作CE⊥AD，再根据图象的三角形的面积可得CE=8，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求a即可．
本题主要考查动点问题的函数图象、菱形的性质、勾股定理等知识点，利用菱形的性质和勾股定理列出方程是解答本题的关键．
9.【答案】15
【解析】解：∵ab=cd=ef=43，
∴a+c+eb+d+f=43，
∵a+c+e=20，且b+d+f≠0，
∴b+d+f=34×20=15，
故答案为：15.
由题意得a+c+eb+d+f=43即可求解．
本题考查了比例的性质，解决本题的关键是准确计算．
10.【答案】3
【解析】解：由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜可知，绿球与黑球的个数应相等，也为2x个，列方程可得x+2x+2x=15，解得x=3，
故答案为3.
游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11.【答案】3− 5
【解析】解：∵AB=AC=2，
∴∠B=∠ACB=72∘，∠A=36∘，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=36∘，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD，
∵∠CDB=180∘−∠B−∠BCD=72∘，
∴∠CDB=∠B，
∴BC=CD，
∴BC=AD，
∵∠B=∠B，∠BCD=∠A=36∘，
∴△BCD∽△BAC，
∴BC：AB=BD：BC，
∴AD：AB=BD：AD，
∴点D是AB边上的黄金分割点，AD>BD，
∴AD= 5−12AB= 5−1，
∴BD=AB−AD=2−( 5−1)=3− 5，
故答案为：3− 5.
证AD=CD=BC，再证△BCD∽△BAC，得BC：AB=BD：BC，则AD：AB=BD：AD，得点D是AB边上的黄金分割点，AD>BD，求出AD= 5−12AB= 5−1，即可求解．
本题考查了黄金分割、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握黄金分割，证明△BCD∽△BAC是解题的关键．
12.【答案】m≤1
【解析】解：当m=0时，方程化为2x+1=0，解得x=−12；
当m≠0时，Δ=22−4m≥0，解得m≤1且m≠0，
综上所述，m的取值范围为m≤1.
故答案为：m≤1.
讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，利用根的判别式的意义得到Δ=22−4m≥0，解得m≤1且m≠0，然后求出两种情况的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系，当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ