2025-2026学年广东省深圳市龙岗区龙岭中学九年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省深圳市龙岗区龙岭中学九年级（上）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.龙岭学校综合组老师们开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、钢琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取1个社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是( )
A. 25B. 13C. 14D. 15
2.一元二次方程x2−2x=0的解是( )
A. x1=3，x2=1B. x1=2，x2=0
C. x1=3，x2=−2D. x1=−2，x2=−1
3.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB=9，则线段BC的长是( )
A. 12
B. 32
C. 2
D. 3
4.若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有实数根，则m的取值范围是( )
A. m≥94B. m≤94C. m>94D. m0，c>0，
2x+b=± 4c+b2(舍去负值)，
∴x=12( 4c+b2−b)，
原方程的一个正数解为：x=12( 4c+b2−b).
(1)将方程变形为x(x+4)=21，构造“空心”大正方形，利用面积关系建立方程求解，得到正根x=3；
(2)把方程变形为x(x+32)=1，通过构造“空心”大正方形，根据面积建立方程，解得正根x=12；
(3)把方程变形为x(x+b)=c，依据赵爽解法构造方程，进而推导出正数解为x=12( 4c+b2−b).
本题考查一元二次方程的应用，属于中档题．
20.【答案】②③④ 4 4 63
【解析】解：任务一：①等边三角形的三个角为60∘，无2倍关系，
∴等边三角形不是倍角三角形；
②等腰直角三角形顶角为90∘，底角为45∘，则90∘=45∘×2，
∴等腰直角三角形是倍角三角形；
③含30∘的直角三角形中，三个内角分别为30∘，60∘，90∘，则60∘=30∘×2，
∴含30∘的直角三角形是倍角三角形；
④顶角为36∘的等腰三角形三个内角分别为36∘，72∘，72∘，则72∘=36∘×2，
∴顶角为36∘的等腰三角形是倍角三角形；
⑤底角为36∘的等腰三角形的三个内角分别为36∘，36∘，108∘，无2倍关系，
∴底角为36∘的等腰三角形不是倍角三角形；
故答案为：②③④；
任务二：方法一：平分∠ACB，则∠ACE=∠BCE=∠A=x.
则∠ACE=∠BCE=∠A=x.
∴∠CEB=∠A+∠ACE=2x=∠ACB，
∵∠CBE=∠ABC，
∴△BCE∽△BAC，
∴BCBA=BEBC=CEAC，
∴BC2=BA⋅BE①，AB⋅CE=BC⋅AC②，
∵∠A=∠ACE，
∴AE=CE=AB−BE，代入②式得，AB⋅(AB−BE)=BC⋅AC，
∴AB2−AB⋅BE=BC⋅AC，
将①式代入得，AB2−BC2=BC⋅AC.
方法二：延长AC至点D，使CB=CD，
则∠D=∠A=∠CBD=x，
∴△DBC∽△DAB，
∴BDAD=BCAB，
∵AD=AC+CD=AC+BC，BD=AB，
∴ABAC+BC=BCAB，即AB2=AC⋅BC+BC2，
AB2−BC2=BC⋅AC.
任务三：由题干结论可知可知：AB2−AC2=AC⋅BC，
∴36−AC2=5AC，
∴AC2+5AC−36=0，
解得AC=4或−9(舍).
故答案为：4；
任务四：如图，作∠CBD=∠A，交AC于点D，
则∠ABD=2∠A，
∴△ABD是2倍角三角形．
∴AD2=BD(BD+AB)，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A，
∴∠BDC=∠ABC=3∠A，
又∵∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴CBCA=BDAB=CDCB，
∴CD=95,BDAB=35，
∴AD=AC−CD=165，
设BD=3x，则AB=5x，
∴(165)2=3x(3x+5x)，
∴x=4 615或x=−4 615(不合题意舍去)，
∴AB=5x=4 63；
故答案为：4 63.
任务一：根据倍角三角形的定义，再结合每个三角形的内角度数判断即可；
任务二：方法一：平分∠ACB，则∠ACE=∠BCE=∠A=x，易证△BCE∽△BAC，据此得证即可；延长AC至点D，使CB=CD，易证△DBC∽△DAB，据此即可得证；
任务三：利用相似三角形的性质，结合已知条件即可证明；
任务四：应用结论以及相似三角形的性质解决问题即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，2倍角三角形的定义以及性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．定义
在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形.
例：如图中∠C=2∠A，则△ABC为倍角三角形.
任务1
概念明晰：
以下几个特殊三角形是倍角三角形的有______.
①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30∘的直角三角形；④顶角为36∘的等腰三角形；⑤底角为36∘的等腰三角形.
性质
性质：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积.
如图：若∠C=2∠A，则c2−a2=ab.
任务2
性质证明：
如图，在倍角三角形ABC中，∠ACB=2∠A，求证：AB2−BC2=BC⋅AC.
思路：二倍角问题的解题策略很多，主要方法是化倍角为等角.
请从以下两种方法中选一个方法进行证明.
方法一：平分∠ACB，则∠ACE=∠BCE=∠A.
方法二：延长AC至点D，使CB=CD，则∠D=∠A=∠CBD.
任务3
性质应用：
如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AB=6，BC=5，则AC=______.
任务4
拓展应用：
如图，在△ABC中，∠ABC=3∠A，AC=5，BC=3，则AB=______.
A
B
C
D
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
(D,D)