重庆市铁路中学2025-2026学年高二上学期期中测试数学试卷（Word版附解析）

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第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题.每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知直线 l 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若直线 平面 ，则
（ ）
A. 3 B. C. 1 D.
2. 已知直线过点 且与直线 垂直，则该直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 一条光线从点 射出，经过直线 反射后恰好平分圆 的周长，则入射光
线所在直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，空间四边形 中， ， ， ，点 在 上，且满足 ，点
为 的中点，则 （ ）
A. B.
C. D.
5. 已知点 在圆 外，则实数 的取值范围是（ ）
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A B.
C. D.
6. 已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，若
，且 的面积为 ，则 的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 若空间向量 、 满足 ，则 在 方向上投影向量的长度的最小值是（ ）
A B. C. D.
8. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）是一种用于衡量两个点在空间中距离的度量方式.它的名称来源于纽约
曼哈顿的网格状街道布局：在这种布局下，从一个点到另一个点需要沿着街道行走（只能沿水平或垂直方
向移动），而不能走对角线，故曼哈顿距离又称城市街区距离.已知点 ， ，定义 ， 两
点间的曼哈顿距离 .在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点 满足
，动点 满足 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知直线 ，则下列表述正确的是（ ）
A. 当 时，直线的倾斜角为 135°
B 当实数 变化时，直线 恒过点
C. 原点到直线 的距离最大值为
D. 当直线 与直线 平行时，则两条直线的距离为 1
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10. 已知点 ， ，动点 满足 ，则下面结论正确的为（ ）
A. 点 的轨迹方程为 B. 面积的最大值为 4
C. 点 到点 的距离的最大值为 6 D. 的最大值为 18
11. 在棱长为 的正方体 中，点 在底面 内运动（含边界），点 是棱 的中
点，则（ ）
A. 若 是棱 的中点，则 平面
B. 若 平面 ，则 是 上靠近 的四等分点
C. 点 到平面 的距离为
D. 若 在棱 上运动，则点 到直线 的距离最小值为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填写在答题卡相应位置上.
12. 已知圆 和圆 ，则圆 与圆 的公切线有
______条.
13. 若直线 与曲线 有一个交点，则实数 的取值范围是 _______．
14. 已知 是椭圆 的左焦点，过点 的直线 与圆 交于 ， 两点，
与 在 轴右侧交于点 ，且 ，则 的离心率为________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线 与直线 的交点为 .
（1）若直线 经过点 ，且斜率为 2，求直线 的方程.
（2）求过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
.
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（1）求点 A 到平面 的距离；
（2）求平面 与平面 夹角 余弦值.
17. 已知圆 ，过直线 上一动点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， .
（1）若直线 的斜率为 ，求两条切线的斜率；
（2）当 取最小值时，求四边形 的周长；
（3）证明：直线 过定点.
18. 立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍
甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图 1， 分别是边长为 4 的
正方形三边 的中点，先沿着虚线段 将等腰直角三角形 裁掉，再将剩下的五边形
沿着线段 折起，连接 就得到了一个“刍甍”（如图 2）.
（1）若 是四边形 对角线的交点，求证： 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成的二面角的正切值为
？若存在，求出点 的位置，若不存在，请说明理由.
19. 已知椭圆 离心率为 ，且过点 .
（1）求曲线 的方程；
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（2）若直线 被曲线 所截的弦长为 ，求 的值；
（3）若点 为曲线 的右顶点，过点 （不同于点 ）且斜率不为 0 的直线 与曲线 相交于
两点（点 在 之间），若点 为线段 上的点，满足 ，且
，求 的值.
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