重庆市铁路中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知平面一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
3. 数列中，，（n为正整数），则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 双曲线的两个焦点分别是，，焦距为10；是双曲线上的一点，且，则的值为（ ）
A. 1B. 13C. 1或13D. 3
5. 若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（ ）
A. B. C. D.
7. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（，），则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．我们来研究与此相关的一个问题：已知圆O：上的动点M和定点，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ）
A
B. 是数列中的项
C. 数列单调递减
D. 数列前7项和最大
10. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，则（ ）

A. 若，则异面直线和所成角的余弦值为
B. 若，则平面
C. 若，则点到平面距离为
D. 若三棱柱存在内切球，则
11. 在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，中点为，，则（ ）
A.
B. 直线过点
C. 与面积之和的最小值是3
D. 过，两点分别作抛物线两条切线，设两条切线交于点，则轴
三、填空题
12. 已知数列满足，，则_____.
13. 已知O为坐标原点，双曲线C：的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的渐近线方程为______.
14. 已知点P是直线和交点，点Q是圆上的动点，则的最小值是__________.
四、解答题
15. 已知数列为等差数列，其前n项和为，若，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求的最小值．
16. 如图，在三棱锥中，，，，点E为的中点.
（1）求证：；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
17. 已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1.
（1）求抛物线的方程；
（2）若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程.
18. 如图1，在等腰直角中，分别为的中点.将沿向平面上方翻折，得到如图2所示的四棱锥，且.记的中点为，动点在线段上运动.

（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求动点到直线的距离的取值范围.
19. 已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求的取值范围及的值；
（3）点，在椭圆上，且关于坐标原点对称，过点与垂直的直线与椭圆的另一个交点为，轴，垂足为，直线与轴交于点，的面积和的面积分别记为，，求的值.