四川省广安市友谊中学2026届高三上学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求集合 ，利用交集定义即可得解.
【详解】因为 ， ，
由交集定义可得， .
故选：A.
2. 已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】结合指数函数的单调性分析即可得到.
【详解】因为 ，所以函数 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，反之亦成立，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
3. 函数 的定义域是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
【答案】C
【解析】
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【分析】利用根式和分式有意义列式求解即可.
详解】由题意可得 解得 且 ，
故 的定义域为 且 ，
故选：C
4. 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意，只需使 为已知函数的递增区间的子集，列不等式，解之即得.
【详解】函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
由函数 在区间 上单调递增，可得 ，解得 .
故选:C.
5. 已知函数 的零点分别为 ，则 的大小顺序为
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可．
【详解】函数 的零点转化为 与
的图象的交点的横坐标，
因为零点分别为 ，
在坐标系中画出 与 的图象如图：
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可知 ，满足 ，
故选：A
6. 设 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解析： ，当且仅当 ，
即 ，即 ， 时取等号.
7. 已知函数 的部分图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及正负，结合选项逐一排除即可求解.
【详解】由图可知： 的图像关于 轴对称，故 为偶函数，
对于 A， 设 ，函数的定义域为 ，
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因 ，即 为奇函数，故 A 不合题意；
对于 B，设 ，函数的定义域为 ，
因 ，即 为奇函数，故 B 不合题意；
对于 C， 设 ，函数的定义域为 ，
因 ，则 为偶函数，因 恒成立，故 C 不合题意；
对于 D， 设 ，函数的定义域为 ，
因 ，则 为偶函数，且当 时， ，
结合图象可知 D 符合题意.
故选：D
8. 设函数 ，若存在唯一整数 使 ，则 a 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】存在性问题，把直线与曲线分离，找到临界情况为相切时，数形结合来求解；
【详解】令
因为存在唯一整数 使 ，即 ，则 必为正整数，
所以 的图象在 的图象下方的部分有且只有一个横坐标为整数的点，
当 与 相切时，设切点 ，
由于 ，故切线斜率 ，
切线方程为： ，
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代入 得 ，解得 ，此时 ，切点为 ，
当 继续增大时，则 ，解得 ,
故选：C.
二、多选题（每题 6 分，共 18 分，答对给满分，部分答对给部分分.）
9. 下列函数中，最小值为 2 的函数有（ ）．
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用函数值域即可作出判断.
【详解】由于 ，且 ，故 A 正确；
由于 ，故 B 错误；
由于 ，且 ，故 C 正确；
由于 ，故 D 错误；
故选：AC.
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 在 上单调递减 B. 的极大值为 1
C. 的图象关于 对称 D. 若方程 的解为 ，则 =1
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项 A，求出 的解集得 递减区间；选项 B，利用导数求出 的极大值；选项 C，
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求出 ，得到 ，则 不是奇函数，从而 的图象不关于 对称；选项 D，
由 ，得到 ，通过因式分解得到 ， 解出 ， 的值，从而得到
的值.
【详解】选项 A， ， ，
当 时， ，，故选项 A 正确；
选项 B，当 时， ， 在 上单调递减；
当 或 时， ， 在 和 上是增函数.
则 在 处， 取极大值，且极大值为 ，故选项 B 正确；
选项 C， ， ， 不是奇函数， 的图象不
关于 对称，故选项 C 不正确；
选项 D， ，又 ， ， ，
， ，
， ， ， 或
， ，故选项 D 正确.
故选：ABD.
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为
世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 x 的最大整数，如
， 称 为高斯函数， 记 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的值域为
B
C. 不等式 的解集为
D. 若 ,且方程 的所有解的和为 9.
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【答案】ACD
【解析】
【分析】利用分段函数思想求值域的并集即可判断 A，利用举反例可判断 B，利用分段讨论法来解不等式可
求解判断 C，利用分段讨论，引申到取整讨论，到最后分析所有情况，从而可确定所有解来判断 D.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
即当 时， ，故 A 正确；
当 ，则 ， ，且 ，故 B 错误；
当 且 ，由 ，可得 恒成立，
此时原不等式 无解，故舍去 且 ，
当 时，不等式 ，此时无解，故舍去 ，
当 时，不等式 ，
此时解得 ，与 无交集，故舍去 ，
当 时，不等式 ，
此时解得 ，与 有交集 ，
当 时，不等式 ，
此时解得 ，与 无交集，故舍去 ，
当 且 时，不等式
，
此时解得 ，
因为当 时，有 ，
所以 ，
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即 与 无交集，故舍去 ，且 时，
综上有 ，故 C 正确；
当 时，方程 ，
故此时 ，
当 时，方程 ，
故此时 不满足 ，故此时无解；
当 时，方程 ，
故此时 不满足 ，故此时无解；
当 时，方程 ，
故此时 不满足 ，故此时无解；
当 时，方程 ，
故此时 满足 ，故此时解为 ；
当 时，方程 ，
故此时 满足 ，故此时解 ；
由于此方程 的解必为非负整数，
所以检验当 时，
当 时，
当 时，随着 的增大，左边每增加 1，右边至少增加一项，
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从而至少多一个 1，所以左右两边将不可能再相等。
综上可得方程 的解只有 ，满足所有解的和为 9，故 D 正确；
故选：ACD.
三、填空题（每题 5 分，共 15 分.）
12. 已知 则 _______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据指数与对数的关系，将指数式转化为对数式，再利用对数的运算性质进行计算。
【详解】由 可得 ，
所以， .
故答案为：1.
13. 已知函数 （ 为常数），若 为 的一个极值点，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】由取极值的必要条件列方程，经检验即可.
【详解】 函数 在 处有极值，
，经检验成立.
故答案为： .
14. 已知函数 ，若 ，则 的取值范围为_____．
【答案】
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【解析】
【 分 析 】 先 由 函 数 的 单 调 性 证 明 ， 是 的 必 要 条 件 ， 从 而 得 到
，再构造函数 利用导数证明充分性.
【详解】由题意可得 ，显然 为增函数，且 ，
所以 ，即 ，
从而 ，这是 的必要条件.
当 时， ，令 ，则
，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 上单调递增，所以 ，
所以当 时， .
故答案为： .
四、解答题（总分 77 分）
15. 给定函数
（1）判断函数 的单调性，并求 的极值.
（2）若 有两个解，求 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性，求函数的极值.
（2）根据函数的单调性，结合函数值的符号，可求实数 的取值范围.
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【小问 1 详解】
因为 ，
所以 .
由 ；由 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
在 处，函数取得极小值， .
无极大值.
【小问 2 详解】
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
作函数 草图如下：
所以 有两个解，可得 .
即所求 的取值范围为：
16. 为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用五一假期进行了一次全市成年人安全知识抽
样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了 200 名成年人，然后对这 200 人进行问卷调查．这
200 人所得的分数都分布在 范围内，规定分数在 80 分以上（含 80 分）的为“具有很强安全意识”，
所得分数的频率分布直方图如下图所示．
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（1）根据频率分布直方图计算所得分数的众数及中位数（中位数保留小数点后一位）
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取 4 人，记“具有很强安全意识”的人数为
X，求 X 的分布列及数学期望．
【答案】（1）众数 65 分;中位数 66.4 分
（2）X 的分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】（1）结合众数及中位数的定义与频率分布直方图即可计算；
（2）由题意得， ，结合二项分布的概率及期望公式即可求解.
【小问 1 详解】
由频率分布直方图，众数为 65 分，
又因为 ，
所以中位数在 之间，为 （分）；
【小问 2 详解】
由频率分布直方图，抽到“具有很强安全意识”的成年人的概率为 ，所以 ，
故 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
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期望
17. 如图，已知 是等边三角形， ， ， 平面 ，点 为
的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 夹角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合平行线的性质、平行四边形的判定定理和性质进
行证明即可；
（2）结合（1）的结论建立空间直角坐标系，利用线面角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可.
【小问 1 详解】
证明：如图，取 的中点 ，连接 ， ，
平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
为等边三角形， ，
又平面 平面 ， 平面 ，
平面 .
，点 为 中点，
，且 ，
又 ， ， ，
四边形 是平行四边形， ，
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平面 .
【小问 2 详解】
由（1）可知 平面 ， 平面 ，
， ， 两两垂直，
故以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， .
， ， .
设平面 的法向量 ，
则 即
令 ，则 ， ， .
设直线 与平面 的夹角为 ，
则 ，
直线 与平面 夹角的正弦值为 .
18. 已知 ， ．
（1）证明： 为等差数列，并求 的通项公式；
（2）令 ， 为 的前 项之积，求证： ．
【答案】（1）
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（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知可得 ，且 ，由等差数列的定义写出通项公式即可；
（2）利用导数证明 ，进而得到 ，可得
，累加即可证.
【小问 1 详解】
由 ，又由题意知， ，
左右同时除以 得 ，
又因为 ，则 ，则 ，
故 是以 3 为首项，3 为公差的等差数列，
所以 ，可得 .
【小问 2 详解】
因为 ，则 ，
所以 ，
令函数 ，求导得 ，
所以 在 上单调递增， ，即 ，
取 ，则 ，于是 ，
所以 ，
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则 .
19. 已知函数 ，其导函数为 ．
（1）若 ，求 的最小值；
（2）若 ，证明： 有且仅有一个极小值点；
（3）若存在 ，使得 有两个不相等的零点，求 a 的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求导并求出函数的单调性，即可求得函数的最小值；
（2）通过函数 求导得到 ，再对 求导，判断其单调性，得到函
数的极值点情况即可；
（3）求出函数的导数，设 ，讨论该函数零点的个数及零点与 0 的大小关
系后结合零点的个数可求参数的取值范围．
【小问 1 详解】
当 时， ，
则 ，则 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
.
【小问 2 详解】
由 得 ，
则 ，
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对 ，因为 ，所以 ，
解方程 得 （舍去）， ，
所以当 时， ，当 时， ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故函数 时取得极小值，且函数 只有一个极小值点．
【小问 3 详解】
，其中 ，
设 ，
若 即 时， 恒成立，
此时 在 上为增函数，而 ，故 只有一个零点，舍；
若 即 ，
若 即 ，此时 必成立，
而 ，
故 在 有且只有一个实数根 ，且 ，
当 时， 即 ，若 ，则 ，
故 在 单调递减，在 上单调递增，而
故 ，当 时， ，故 有两个不同的零点，符合，
故此时 .
若 即 ，
当 时，取 ，此时 ，
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当 或 时， 即 ，
当 时， ，
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
而 ，故 ，而 时， ，故 有两个不同的零点，
故 符合.
当 时，
由 可得 ，而 ,
故 在 有两个不同的零点 且 ，
同理可得 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
结合 可得 ，
且 时， ， 时， ，
故此时 有三个不同的零点，不合题意，舍；
综上， 或 .
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