湖北省武汉市东湖高新区2025-2026学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据是的子集求得的取值范围.
【详解】依题意，，，且，
所以.
故选：C
2. 命题，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题“，”的否定是：，.
故选：B
3. 设是三条边的边长，则“”是“为直角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，等价于为直角，
若为直角，则为直角三角形，
但为直角三角形，则或或为直角，不一定有为直角，
所以“”是“为直角三角形”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 幂函数在上单调递减，则m的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数为幂函数可列式求出m的值，验证是否符合题意，即得答案.
【详解】由函数为幂函数，得，
解得或，
当时，，此时在上单调递减，符合题意，
当时，，此时在上单调递增，不符合题意，
故，
故选：B
5. 若，且，则的最小值为（ ）
A. 12B. 9C. 6D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本不等式列不等式求解即可.
【详解】因为，所以，即，
令，得，
解得（不符合题意舍去）或，
所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为.
故选：C
6. 已知，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求证其奇偶性以及其在上的单调性即可比较大小.
【详解】因，则为偶函数，
因时，，在上单调递增，
又，故.
故选：D
7. 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意设函数的对称中心为，再根据函数为奇函数，求出参数即可得解.
【详解】设函数的对称中心为，
则函数为奇函数，
则，
得，
整理得，
所以，解得，
所以函数图象的对称中心是.
故选：A.
8. 已知函数，若的最小值为，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式及对勾函数性质确定在上的单调性和最值，结合二次函数性质及最小值列不等式组求参数范围.
【详解】由，则，当且仅当时等号成立，
结合对勾函数性质，在上递减，在上递增，且，
由在上递减，在上递增，
又的最小值为，故且，
综上，.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】通过特殊值、作差法及不等式性质，逐一判断各选项命题的真假.
【详解】选项A，当时，，故A错误；
选项B，，因，，则，
故，B正确；
选项C，由得，又，故，C正确；
选项D，由得，故，D错误.
故选：BC
10. 已知，，且，则（ ）
A. B. 的最大值为4
C. 的最小值为9D. 的最大值为3
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，由题设易得，进而求解判断即可；对于BCD，根据基本不等式及“1”的妙用求解判断即可.
【详解】对于A，由，，且，
显然，则，即，故A正确；
对于B，由，，且，
则，即，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4，故B错误；
对于C，由，，且，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为9，故C正确；
对于D，由C知，，
则，
当且仅当，即时等号成立，此时，满足题意，
则的最大值为3，故D正确.
故选：ACD
11. 函数称为“对勾函数”，类比研究“对勾函数”的图象和性质的方法，研究函数的图象和性质，以下关于函数的结论正确的有（ ）
A. 方程有唯一根
B. 函数在区间单调递增
C. 函数在区间值域为
D. 方程有两个不同的根
【答案】ABD
【解析】
【分析】先分析函数性质，根据函数性质及零点存在性定理可判断A；根据函数性质可判断B，根据函数单调性求解可判断C，由化简可得，计算可判断D.
【详解】函数的定义域为，
当时，单调递减，单调递减，
所以函数在区间上单调递减；
当时，设，
则，
当时，，则，，
所以函数在区间上单调递减；
当，，则，，
所以函数在区间单调递增；
综上，函数在区间上单调递减，在区间上单调递减，在区间单调递增；
对于A，当时，因为，，
所以函数在区间上有唯一零点，
当时，，所以函数在区间没有零点，
综上，方程有唯一根，故A正确；
对于B，由函数性质可知函数在区间单调递增，故B正确；
对于C，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，，
所以函数在区间的值域为，故C错误；
对于D，方程，即，有，
即，，
化简得，即方程有两个不同的根，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】用待定系数法求出的表示形式，再根据和的取值范围求出的范围即可.
【详解】设，即，解得.
所以.
因为，.
所以，.
所以.
故答案为：.
13. 已知关于的不等式的解集为，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】由韦达定理求出与，带入计算即可．
【详解】由一元二次不等式与一元二次等式的关系，知道的解为，
由韦达定理知，，
所以当且仅当取等号．
【点睛】本题考查韦达定理与基本不等式，属于基础题．
14. 对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内是单调函数；②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为D上的“精彩函数”，为函数的“精彩区间”.若函数是“精彩函数”，则实数m的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意确定的定义域为，可得有两个不等实数根，结合二次函数的零点的分布列出相应的不等关系，即可求得答案.
【详解】由题意知的定义域为，
且在定义域上单调递增，
又函数是“精彩函数”，故有两个不等实数根，
即有两个不等实数根，
设两根为，且，
令，
则，即，
解得，
故实数m取值范围为，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，，.
（1）；
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，再进行集合的补集与交集运算即可；
（2）由，得，再对集合分类讨论是否为，列不等式求解即可.
【小问1详解】
由，得，所以，故集合
因为，所以，
所以.
【小问2详解】
因为，所以.
当时，，即；
当时，，解得.
综上所述，实数m的取值范围为.
16. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求m、n的值；
（2）证明在上单调递增；
（3）求使成立的实数a的取值范围.
【答案】（1）， （2）证明见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义，结合列式求得答案；
（2）利用定义法可证明函数单调性；
（3）根据函数的奇偶性与单调性可得不等式，结合函数定义域，解不等式组即可.
【小问1详解】
由题意，可得，解得.
此时，，且，
故是定义在上的奇函数，满足题意.
所以.
【小问2详解】
任取，且，
则，
因为，且，
所以，，，，即，
所以，即，即，
所以函数在上单调递增.
【小问3详解】
由（1）（2）知，函数是奇函数且在上单调递增.
所以，即，
，解得，
所以实数a的取值范围为.
17. 如图，居民小区要建一座休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为3270元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺上花岗岩地坪，造价为300元；再在四个扇形（图中四个直角扇形，如扇形）上铺草坪，造价为160元.

（1）设总造价为S（单位：元），长为x（单位：m），试求出S关于x的函数关系式并求出定义域（这里）；
（2）当x取何值时总造价S最小，并求出S最小值.
【答案】（1）
（2），S最小值
【解析】
【分析】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，并用表示，将花坛、地坪、草坪的造价相加，求得总造价，并求得的取值范围.
（2）利用基本不等式求得的最小值，并求得此时对应的的值.
【小问1详解】
设，因，则，即，
则
；
【小问2详解】
，
当且仅当，即时，此时S最小值（元）.
18. 已知函数，.
（1）若，试求函数在区间上的最小值；
（2）若，对于任意的，存在，使得，求a的取值范围.
【答案】（1）12 （2）
【解析】
【分析】（1）将函数变形，利用基本不等式求最值；
（2）求出函数和的值域，问题转化为在上的值域是在上的值域的子集求解.
【小问1详解】
当时，，
，
因为，所以，
，当且仅当，即时，取等号，
所以函数在区间上的最小值为12.
【小问2详解】
函数，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以函数在上的值域为，
又函数在上单调递增，所以，
所以函数在上的值域为，
若对于任意的，存在，使得，
即在上的值域是在上的值域的子集，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
19. 若存在常数使得函数与在给定区间上的任意实数x都有，则称是与的“隔离直线函数”.
已知函数，.
（1）证明：当，有；
（2）对任意的时，恒成立，求的值；
（3）当时，与是否存在“隔离直线函数”？若存在，请求出“隔离直线函数”解析式；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）用作差法证明即可；
（2）由题意可得在R上恒成立，由求解即可；
（3）假设存在“隔离直线函数”，先用作差法判断出在上恒成立，当时，等号成立，从而可得“隔离直线函数”必过点，则有，最后根据定义得在上恒成立，解出的值，即可得答案.
【小问1详解】
证明：因为
，
因为，
所以，当时，等号成立；
所以，
即，
所以
【小问2详解】
因为在R上恒成立，
即在R上恒成立，
所以，
解得；
【小问3详解】
假设存“隔离直线函数”，
当时，
，
当时，等号成立，
所以在上恒成立，当时，等号成立，
又，
所以“隔离直线函数”必过点，
所以，
由题意可得在上恒成立，
即在上恒成立，
由在上恒成立，
可得在上恒成立，
令，
解得 ，
要使在上恒成立，
则，解得，
此时；
当在上恒成立，
即在上恒成立，
当，即时，
则有在上不恒成立，不满足题意；
当时，
令，
解得 ，
要使在上恒成立，
则有，且，
解得，满足，
此时；
综上，，
所以与存在“隔离直线函数”，为.