数学人教版（2024）数学广角—数与形课后练习题

这是一份数学人教版（2024）数学广角—数与形课后练习题，共20页。试卷主要包含了比的意义和各个部分的名称，6    12∶20读作，比和除法、分数的区别，比的基本性质，化简比的意义，化简比的方法等内容，欢迎下载使用。
小学数学六年级上册易错专项练（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）

1.比的意义和各个部分的名称。
（1）比：两个数相除也叫两个数的比；
（2）比式中，比号（∶）前面的数叫前项，比号后面的项叫做后项，比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做比值。
（3）比的读法、写法：a比b记作a:b，读作a比b。
注意：比值是没有单位名称的。
2.比表示的是两个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几。
例：12∶20= ＝12÷20= =0.6 12∶20读作：12比20
区分比和比值：比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。
比是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式，但是不能用整数和小数来表示。
3.比和除法、分数的区别。
4.比的基本性质。
比的前项和后项同时乘或者除以相同的数(0 除外)，比值 不变。
5.化简比的意义。
把两个数的比化成最简单的整数比（比的前项和后项是互 质数的比），叫作化简比，也叫作比的化简。
6.化简比的方法。
（1）整数比的化简方法。
比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
（2）分数比的化简方法。
比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，先转化成整数比，再进行化简。
（3）小数比的化简方法。
通常把比的前、后项的小数点同时向右移动相同的位数，先转化成整数比，再进行化简。
1.一个比的前、后两个数位置不能颠倒。
2. 比值和比是有区别的，比值是一个具体的数，可以是分数、小数、整数，而比表示两个数的关系。
3. 比、分数、除法三者是有区别的，它们之间不是“等于”的关系，而只能是“相当于”的关系。
4. 比的基本性质不是指同时加或者减相同的数，也不是指同时乘或者除以不同的数（0除外）。
5. 一般情况下，小数比的化简要先把前、后项扩大相同的倍数化成整数比，再化成最简单的整数比。
【易错一】在一种盐水中，盐的重量占，那么盐与水的重量比是（ ）。
A．1∶18B．1∶19C．18∶19D．1∶20
【解题思路】
把这种盐水的重量看作19份，则盐占1份，水占（19－1）份，于是可求盐与水的重量之比。
【完整解答】
由分析可得：1∶（19－1）＝1∶18
答案：A
【易错点】解答此题的关键是，找出对应量，写出对应比即可。
【易错二】六年级一班有男生24人，女生23人，女生与全班人数的比是( )。
【解题思路】
根据题意，男生24人，女生23人，男生人数＋女生人数＝全班人数，再利用比的意义求出女生与全班人数的比即可。
【完整解答】
24＋23＝47
女生人数∶全班人数＝23∶47
【易错点】本题考查了的比的意义的应用。
【易错三】用涂阴影的方式设计一个长与宽的比是3∶2的长方形。
【解题思路】
两数相除又叫两个数的比，长方形的长是3格，宽是2格即可。
【完整解答】
涂法不唯一
【易错点】关键是理解比的意义。
【易错四】把10克盐溶解在90克水中，盐和盐水的比是（ ）。
A．1∶10B．10∶11C．1∶11
【解题思路】
10克盐完全溶解在90克水里，用盐的质量10克比上盐水的质量（10＋90）克，再化简最简整数比，由此判断。
【完整解答】
10∶（10＋90）
＝10∶100
＝1∶10
答案：A
【易错点】此题主要是考查对比的应用情况，做题时应看清谁与谁比，最后要化成最简整数比。
【易错五】果园里种有桃树和梨树，其中梨树棵数是桃树的，则桃树与梨树棵数的比是( )，梨树占总棵数的( )。
【解题思路】
已知梨树棵数是桃树的，可将桃树棵数看作单位1，则列出桃树与梨树棵数的比，再根据比的基本性质可得出最简比；列出比后，根据按比例分配原理可得出答案。
【完整解答】
将桃树棵数看作单位1，则桃树与梨树棵数的比为：；
梨树占总棵数为：。
【易错点】本题主要考查的是比的应用、化简及分数的乘法，解题的关键是将桃树棵数看作单位“1”，进而得出答案。
【易错六】甲数和乙数的比是2：5，乙数和丙数的比是3：10．甲乙丙三个数的比是_____．
【解题思路】
【完整解答】
解：因为甲：乙=2：5=6：15，
乙：丙=3：10=15：50，
所以甲：乙：丙=6：15：50；
故答案为6：15：50．
【易错点】解决此题关键是根据比的性质把乙数转化成15份数，进而得出甲、乙和丙三个数的比．
一、选择题
1．把25克盐溶入200克水中制成盐水，盐和盐水质量的比是（ ）。
A．1∶8B．1∶9C．1∶10D．1∶11
2．10mL消毒液完全混合在100mL水中制成消毒水对教室进行消毒，消毒液与消毒水的比是（ ）。
A．B．C．D．
3．秒针和分针的转动速度比是（ ）。
A．1∶1B．12∶1C．60∶1
4．A÷3＝B×7，A和B的最简整数比是（ ）。
A．3∶7B．21∶1C．7∶3
5．在下面各比中，与∶比值相同的是（ ）。
A．2∶3B．3∶2C．2∶
6．把的前项加上12，要使比值不变，后项应加上（ ）。
A．12B．21C．28
7．给4∶9的前项加16，要使比值不变，后项应该加（ ）。
A．46B．16C．45D．36
8．在8∶5中，后项增加15，要使比值不变，前项应（ ）。
A．增加15B．扩大到原来的4倍C．增加4倍
9．化简比的根据是（ ）。
A．比的意义B．比的基本性质C．比的应用
10．一批零件，小张单独做需要4小时，小李单独做需要6小时，小张和小李的工作效率最简比是（ ）。
A．B．C．D．
二、填空题
11．学校电脑小组有男生45人，女生40人。女生人数与男生人数的最简整数比是（ ），女生人数占总人数的。
12．2.8∶化成最简整数比是( )，比值是( )。
13．b是c的4倍，那么c∶b＝_____∶_____。
14．把90∶1.5化成最简整数化是______，比值是______。
15．一辆小轿车往返AB之间，过去的时间是4小时，返回需要6小时，往返时间比( )，速度比( )。
16．把∶1.25化成最简单的整数比是( )，它的比值是( )。
17．0.5∶4.5的比值是( )，如果前项加上1.5，要使比值不变，后项应该加上( )。
18．在4∶8中，如果后项变为24，要使比值不变，前项应该变为( )。
19．甲数和乙数的比是7∶3，乙数和丙数的比是6∶5，甲数和丙数的比是( )。
20．六年级合唱队的男生有7人，女生有13人。女生人数和总人数的比是( )。
三、化简比
21．化简比。
27∶54 ∶ 0.9∶0.7
22．先化成最简单整数比，再求出比值。
0.12∶56 300cm∶50dm 1.25时∶20分
23．化简下面的比。
8∶12 ∶ 20kg∶0.2t 6.25∶0.45
24．把下面各比化简，并求出比值。
36∶60 0.45∶0.2 ∶ 吨∶75千克
四、解答题
25．甲、乙两种方砖边长分别是8分米和3分米，它们边长的比是多少？它们面积的比是多少？
26．19世纪初法国数学家拉普拉斯经过研究发现，在不同的地区男婴和女婴的出生人数比大致是相同的。下表是某一年我国A、B、C三座城市的男、女婴儿出生人数比。
哪个城市男、女婴儿出生人数的差异最大？哪个城市男、女婴儿出生人数的差异最小？
27．12月5日上午10：00，六（3）班同学在操场上开展数学实践活动：研究竹竿长度与它的影长之间的关系。测量数据如下表：
（1）请写出每根竹竿的长度与它的影长的比，并求出比值。你发现了什么规律？
（2）在测量竹竿影长的同时，还有几位同学测量了旗杆的影长是18米。旗杆的实际长度是多少米？
28．计算分数除法时，采用了“转化”的方法，把分数除法转化成已经学过的分数乘法进行计算。如。想一想，我们学习哪个知识的时候也采用了“转化”的方法？是把什么转化成了什么？
29．已知，，求的值。
30．甲数是乙数的，乙数是丙数的，求这三个数的连比。
参考答案
1．B
【分析】把25克盐溶入200克水中制成盐水，则盐水的质量是（25＋200）克，根据比的意义，即可写出盐和盐水的质量比，并化成最简整数比。
【详解】25∶（25＋200）
＝25∶225
＝1∶9
答案：B
【点评】此题是考查比的意义及化简，两数相除又叫两个数的比，化简比根据比的基本性质。
2．C
【分析】根据比的意义，写出消毒液与消毒液与水的和的比，化简即可解答。
【详解】10∶（10＋100）
＝10∶110
＝（10÷10）∶（110÷10）
＝1∶11
答案：C
【点评】利用比的意义和比的化简进行解答，关键明确消毒水是消毒液与水的和。
3．C
【分析】分针转1小格，秒针转一圈，即60个小格，可以将同一时间转的小格数量看作秒针和分针速度，根据比的意义，写出秒针和分针的转动速度比即可。
【详解】秒针和分针的转动速度比是60∶1。
答案：C
【点评】关键是理解比的意义，两数相除又叫两个数的比。
4．B
【分析】假设结果是1，根据除法和乘法各部分之间的关系，分别求出A和B，写出A和B的比，化简即可。
【详解】（1×3）∶（1÷7）
＝3∶
＝21∶1
答案：B
【点评】两数相除又叫两个数的比，化简比根据比的基本性质。
5．B
【分析】分别求出每个比的比值再进行比较即可。
【详解】∶＝
A．2∶3＝≠，所以A不符合；
B．3∶2＝，所以B符合；
C．2∶＝6≠，所以C不符合。
答案：B
【点评】本题考查的是比值，注意比值是一个数。
6．B
【分析】前项加上前项的几倍，后项就加上后项的几倍，比值不变，据此分析。
【详解】12÷4×7＝21，后项应加上21。
答案：B
【点评】关键是掌握并灵活运用比的基本性质。
7．D
【分析】给4∶9的前项加16，4＋16＝20，前项4乘5变为20，根据比的基本性质，要使比值不变，后项也应该乘5，9×5＝45，45－9＝36，即后项应该加36。
【详解】4＋16＝20
20÷4＝5
9×5＝45
45－9＝36
答案：D
【点评】本题考查比的基本性质。把前项“加16”，转化为前项“乘5”是解题的关键。
8．B
【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
在8∶5中，后项增加15得20，即后项扩大到原来的4倍，根据比的基本性质，比的前项也要扩大到原来的4倍；前项乘4后再减去8，就是比的前项要增加的数，据此解答。
【详解】（5＋15）÷5
＝20÷5
＝4
8×4－8
＝32－8
＝24
即后项扩大到原来的4倍，要使比值不变，前项也应扩大到原来的4倍或前项增加24。
答案：B
【点评】灵活运用比的基本性质是解题的关键。
9．B
【分析】化简比的依据是根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变。
【详解】化简比的根据是比的基本性质；
答案：B。
【点评】此题主要考查了比的基本性质的用途。
10．C
【分析】做同一批零件，时间越少速度越快，将时间比反过来就是效率比，化简即可。
【详解】6∶4＝3∶2
答案：C
【点评】两数相除又叫两个数的比。
11．8∶9；
【分析】学校电脑小组有男生45人，女生40人，则总人数为（45＋40）人，根据比的意义，即可写出女生人数与男生人数的比，再化成最简整数比；求女生人数占总人数几分之几，用女生人数除以总人数。
【详解】40∶45＝8∶9
40÷（45＋40）
＝40÷85
＝
【点评】此题考查了比的意义及化简、分数的意义。
12．4∶5 0.8##
【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外），比值不变；比的前项除以后项所得的商，叫做比值；据此解答。
【详解】2.8∶
＝（2.8÷0.7）∶（÷0.7）
＝4∶5
2.8÷
＝2.8×
＝0.8
【点评】解答本题的关键是注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。
13．1 4
【分析】b是c的4倍，则b＝4c，再写出比并化简比即可。
【详解】根据分析得，b＝4c；
c∶b＝c∶4c＝1∶4
【点评】本题考查了比的意义，需灵活掌握。
14．60∶1 60
【分析】根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变；用比的前项除以后项即可。
【详解】最简整数比：
90∶1.5
＝（90÷1.5）∶（1.5÷1.5）
＝60∶1
比值是：60∶1＝60÷1＝60
【点评】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数，小数或分数。
15．2∶3 3∶2
【分析】用4小时比6小时，化简求出往返时间比；
将AB这段路程看作单位“1”，据此将往返的速度分别表示出来，再化简求出速度比。
【详解】4∶6＝2∶3
（1÷4）∶（1÷6）
＝（1÷4×12）∶（1÷6×12）
＝3∶2
所以，往返时间比2∶3，速度比3∶2。
【点评】本题考查了比的化简，利用比的性质化简，化简结果必须是最简整数比。
16．1∶2
【分析】根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外）比值不变；再用比的前项除以后项即可。
【详解】∶1.25
＝∶
＝（×8）∶（×8）
＝5∶10
＝（5÷5）∶（10÷5）
＝1∶2
1∶2
＝1÷2
＝
【点评】利用比的基本性质和求比值的方法进行解答。
17． 13.5
【分析】求比值，根据比的性质进行化简，再写成分数的形式；如果前项加上1.5，可知比的前项由0.5变成2，相当于前项乘4；根据比的性质，要使比值不变，后项也应该乘4即4.5×4=18，再减4.5进行计算即可。
【详解】0.5∶4.5＝（0.5×2）∶（4.5×2）＝1∶9＝
（0.5＋1.5）÷0.5×4.5－4.5
＝2÷0.5×4.5－4.5
＝18－4.5
＝13.5
【点评】此题考查了求比值、比的性质的运用，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
18．12
【分析】后项变为24，24÷8＝3，相当于后项乘3，根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘一个不为0的数，比值不变，所以前项应乘3，据此解答。
【详解】24÷8＝3，
4×3＝12，所以前项变为12。
【点评】此题的解题关键是灵活运用比的基本性质来求解。
19．14∶5
【分析】统一乙数的份数，甲数∶乙数＝7∶3＝14∶6，所以甲数∶乙数∶丙数＝14∶6∶5，据此可求出甲数和丙数的比。
【详解】7∶3＝（7×2）∶（3×2）＝14∶6，
可得甲数∶乙数∶丙数＝14∶6∶5。
所以甲数∶丙数＝14∶5。
【点评】关键是根据题意，统一乙数的份数，即找出3和6的最小公倍数，由此解决问题。
20．13∶20
【分析】已知男生和女生的人数，先求出总人数，再用女生人数比上总人数即可。
【详解】13∶（7＋13）
＝13∶20
【点评】本题考查了比的意义，关键是先求出总人数。
21．1∶2；2∶3；9∶7
【分析】根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变。据此解答。
【详解】27∶54
＝（27÷27）∶（54÷27）
＝1∶2
∶
＝（×10）∶（×10）
＝6∶9
＝（6÷3）∶（9÷3）
＝2∶3
0.9∶0.7
＝（0.9×10）∶（0.7×10）
＝9∶7
22．3∶1400；；3∶5；0.6；15∶4；3.75
【分析】化简比时先把单位换算为统一单位，10厘米＝1分米，1小时＝60分，再利用比的基本性质化简；前项除以后项得到的商就是比值。
【详解】0.12∶56
＝（0.12×100÷4）∶（56×100÷4）
＝3∶1400
0.12∶56
＝0.12÷56
＝
300cm∶50dm
＝（300÷10）dm∶50dm
＝30∶50
＝（30÷10）∶（50÷10）
＝3∶5
300cm∶50dm
＝（300÷10）dm∶50dm
＝30÷50
＝0.6
1.25时∶20分
＝（1.25×60）分∶20分
＝75∶20
＝（75÷5）∶（20÷5）
＝15∶4
1.25时∶20分
＝（1.25×60）分∶20分
＝75∶20
＝3.75
23．2∶3；2∶1；1∶10；125∶9
【分析】根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变；要注意如果比的前后项是名数的，要先把单位化统一再化简比。
【详解】8∶12
＝（8÷4）∶（12÷4）
＝2∶3
∶
＝（×8）∶（×8）
＝2∶1
20kg∶0.2t
＝20kg∶200kg
＝（20÷20）∶（200÷20）
＝1∶10
6.25∶0.45
＝（6.25×100）∶（0.45×100）
＝625∶45
＝（625÷5）∶（45÷5）
＝125∶9
24．3：5，；9∶4，；25∶6，；5∶3，
【分析】首先根据比的基本性质化简比，然后用比的前项除以比的后项，求出比值是多少即可。
【详解】36∶60
＝（36÷12）∶（60÷12）
＝3：5
＝
0.45∶0.2
＝45∶20
＝9∶4
＝
∶
＝ （×15）∶（×15）
＝50∶12
＝25∶6
＝
吨∶75千克
＝125千克∶75千克
＝5∶3
＝
25．8∶3；64∶9
【分析】求甲、乙边长比，直接代入数据进行解答即可；根据“正方形的面积＝边长×边长”，分别求出甲、乙两种砖的面积，然后根据题意，进行比即可。
【详解】（1）甲的边长∶乙的边长＝8∶3
（2）（8×8）∶（3×3）
＝64∶9
答：它们的边长比是8∶3，面积比是64∶9。
【点评】解答此题应根据正方形的面积计算方法求出甲、乙两种砖的面积，并结合题意，进行解答。
26．A城市男、女婴儿出生人数的差异最大，B城市男、女婴儿出生人数的差异最小。
【分析】要求男女婴出生人数的差异大小，用比的前项除以后项，看比值的大小即可。
【详解】A城市：114÷100＝1.14
B城市：43÷40＝1.075
C城市：28÷25＝1.12
1.14＞1.12＞1.075
答：A城市男女婴出生人数的差异最大，B城市男女婴出生人数的差异最小。
【点评】此题采用了求比值的方法，通过比较比值的大小，解决问题。
27．（1）
1号：2∶3，
2号：2∶3，
3号：2∶3，
长度与影长的比值均为；
（2）12米
【分析】（1）根据表中的信息分别写出每根竹竿的长度与它的影长的比，并求出比值，观察比值的情况发现规律；
（2）根据（1）发现规律，可知，实际长度是影长的，据此解答。
【详解】（1）1∶1.5＝2∶3
2÷3＝
1.4∶2.1＝2∶3
2÷3＝
1.8∶2.7＝2∶3
2÷3＝
长度与影长的比值均为。
（2）（米）
答：旗杆的实际长度是12米。
【点评】此题考查的是实际长度与影长的关系，此题得出的结论是实际长度与影长的比值是个定值。
28．在学“比”的时候但是利用了“转化”的方法进行计算。把“比”转化成了分数。
【分析】比的前项相当于分数的分子，比的后项相当于分数的分母，比号相当于分数线，比值相当于与分数值，从而推导出比的基本性质。据此解答即可。
【详解】由题意可知：
比和分数是有密切联系的，分数有分数的基本性质，故而推导出比的基本性质，这就是采用了“转化”的方法。
【点评】本题考查比和分数的关系，明确它们的关系是解题的关键。
29．9∶12∶16
【分析】b∶c先化成最简整数比是3∶4，a∶b＝3∶4，则可以知道两个比里面都有b，a∶b里面b占了4份，b∶c里面b占了3份，把这两个里面b的份数变成相同的，则3和4的最小公倍数是12，则可以求出a∶b＝9∶12；b∶c＝12∶16，这个时候两个里面b的份数相同，之后就可以进行连比。
【详解】b∶c＝∶＝3∶4
a∶b＝3∶4＝9∶12
b∶c＝3∶4＝12∶16
a∶b∶c＝9∶12∶16
【点评】此题主要考查了比的性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）比值不变。
30．6∶20∶45
【分析】根据两个分数关系，写出甲数与乙数、乙数与丙数的比，以乙数为标准，根据比的基本性质将两个比中的乙数化成一样的份数，据此统一三个数的比。
【详解】甲：乙＝3∶10＝12∶40
乙∶丙＝4∶9＝40∶90
甲∶乙∶丙＝12∶40∶90＝6∶20∶45
答：这三个数的连比是6∶20∶45。
【点评】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。城市
A
B
C
男、女婴儿出生人数比
114∶100
43∶40
28∶25
竹竿长度
影长
1号
1米
1.5米
2号
1.4米
2.1米
3号
1.8米
2.7米