【中考数学】2025年江苏省南通市试卷【附解析】

这是一份【中考数学】2025年江苏省南通市试卷【附解析】，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．计算，正确的结果是（ ）
A．B．5C．D．6
2．《2025年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，去年我国卫星导航与位置服务产业总产值达5758亿元．将“5758亿”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（ ）
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．在中，，则的长为（ ）
A．1B．2C．D．5
9．如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
10．在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
11．分解因式 ．
12．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ．
13．南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ．
14．把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为 （写出一种情况即可）．
15．如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为 ．
16．我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ．
17．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为 ．
18．如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）解不等式组；
（2）计算．
20．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例．
(1)若，则；
(2)对于任意实数，一定有；
(3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；
(4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形．
21．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动，为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校名学生进行调查，得到如下未完成的统计表．
(1)表格中的值为_____________；
(2)若该校有名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数；
(3)为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示，你建议选拔哪名同学，请说明理由．
22．为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动．
已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率：
(1)小明到南通博物苑参加社会实践活动；
(2)小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动．
23．如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且．
(1)连接，求证：；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
24．综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
25．如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点．
(1)求证：；
(2)设的角平分线交于点．
①当时，求点到的距离；
②若，作直线分别交于两点，求的值．
26．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点关于原点对称．该函数图象上另有两点，它们的横坐标分别为，其中．依次作直线与轴分别交于点，直线与轴分别交于点．记，．
(1)若，求的长；
(2)求代数式的值；
(3)当，时，求点关于直线对称的点的坐标．
体育活动
足球
篮球
排球
乒乓球
跳绳
啦啦操
人数
6
10
9
8
5
方案一
方案二
如图1，围成一个面积为的矩形花圃．
如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．
1．D
【分析】根据有理数乘法法则中“两数相乘，同号得正”来计算的结果．本题主要考查有理数的乘法法则，熟练掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”是解题的关键．
【详解】解： ．
故选：．
2．B
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：将数据5758亿用科学记数法表示为；
故选B．
3．A
【分析】利用平移性质，确定对应点，通过线段长度计算平移距离．本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移中对应点间的距离为平移距离是解题的关键．
【详解】解：∵沿射线平移得到，
∴点与点是对应点．平移的距离为的长度，
又∵，，
∴．
故选：．
4．C
【分析】先明确钟表表盘的特征，即被分成个大格，每个大格对应角度固定，再看上午时整时针和分针的位置，计算间隔大格数，进而求出夹角．本题主要考查钟面角的计算，熟练掌握钟表表盘大格对应的角度（每大格 ）以及特定时刻时针和分针的位置关系是解题的关键．
【详解】解：每一个大格对应的角度是 ．上午时整，时针指向，分针指向，它们之间间隔个大格．
所以时针和分针构成的角的度数为 ．
故选：．
5．D
【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴时， 时，
故选： ．
6．A
【分析】本题考查由三视图，解题的关键是通过三视图判定几何体．
由三视图可确定该几何体，根据图中数据计算底面周长即可．
【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥，
由图中数据可知，圆锥的底面半径为,
∴根据圆的周长公式得，底面圆的周长
故选：．
7．B
【分析】利用平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律来求解点的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转的坐标变换，熟练掌握坐标变换规律是解题的关键．
【详解】解：设点绕原点逆时针旋转后的点为，则，．
∵，即，．
，
点的坐标为，
故选： ．
8．C
【分析】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义（为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键．
【详解】解：在中，， ，，
∴ ．
∴ ．
故选：．
9．B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可．
【详解】解：是等边三角形，
∴，
∵
，
即，
，
∴，
过点A作于G点，则，
∴
∴，
∴，
∴，
过点D作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
'
，
∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为，
∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意，
故选：B
10．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可．
【详解】解：抛物线)的对称轴为直线，
分情况讨论：
① 三点在抛物线上，
,
点C是抛物线的顶点，
将点代入，得，
解得，，
当时，，
不在抛物线上，
抛物线不同时经过三点；
②三点在抛物线上，
，
关于对称轴对称，
将点代入抛物线得，，
解得，，
把代入得，与关于对称轴对称矛盾，
抛物线不同时经过三点；
③ 三点在抛物线上，
将代入，得，
解得，，
把代入抛物线得，，
点E不在抛物线上，
故抛物线不同时经过三点；
④三点在抛物线上，
由③知，在抛物线上，
把代入得，，
不在抛物线上，
故抛物线不同时经过三点；
⑤三点在抛物线 上，
，
关于对称轴对称，
将代入得，
解得，
当时，得，，
点E在抛物线上，
故抛物线同时经过三点；
⑥ 三点在抛物线上
把代入得，
解得，
当时，，
在抛物线上，
故抛物线同时过 三点；
⑦三点在抛物线上，
将点代入得，
解得，
当时，，
不在上，
抛物线不同时过三点；
⑧三点在抛物线上，
把代入得，
解得，
把点代入，
在抛物线上，
抛物线同时过三点；
⑨三点在抛物线上，
由⑧知A，B在抛物线上，
把代入得，
故点不在抛物线上，
抛物线不同时过三点；
⑩三点在抛物线上，
由⑧知A，B在抛物线上，
把代入得，
故点不在抛物线上，
抛物线不同时过三点；
综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是．
的值不可能为Ｃ．
故选：C ．
11．
【分析】可利用提取公因式的方法对式子进行因式分解．本题主要考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握如何准确找出多项式各项的公因式是解题的关键．
【详解】解：
故答案为： ．
12．
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解．
【详解】解：由题意得：，
∴；
故答案为：．
13．1.2
【分析】本题考查了含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵E是斜梁的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：1.2．
14．（或或，写出一种即可 ）
【分析】设截成长的钢管根，长的钢管根，根据钢管总长为列出方程，再结合、为正整数求解，进而得到总根数．本题主要考查了二元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题列方程并求正整数解是解题的关键．
【详解】解：设截成长的钢管根，长的钢管根．
∵ 钢管总长，
∴ ，即 ．
又∵ 、为正整数，
当时，，总根数为；
当时，，总根数为；
当时，，总根数为 ．
故答案为：（或或，写出一种即可 ）．
15．
【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的关系．
根据题意，得出压强与受力面积之间的关系，分析计算即可．
【详解】解：设这块砖的质量为，与地面的接触面积为，地面所受压强为，
则（定值），
即与成反比例关系，
∵，
∴，
∵面向下放在地上，地面所受压强为，
∴面向下放在地上时，地面所受压强为，
故答案为：．
16．
【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键．
【详解】解：
将，，代入上式：
故答案为：．
17．6
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据垂径定理得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值．
【详解】解：∵
∴直线过定点，
∵点，
∴，
又∵的半径为，
∴，
∴点P在内部，
根据垂径定理得：当直线与垂直时，为最小，如图所示：
则，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
即的最小值为6．
故答案为：6．
18．
【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值．
【详解】解：如图，在图中标注，，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，（舍去），
∵
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质．
19．（1）；（2）．
【分析】（1）分别求解不等式组中两个不等式，再取它们的公共部分得到解集；
（2）先对括号内式子通分相加，再对分子因式分解，然后通过约分计算出结果 ．
本题主要考查了一元一次不等式组的解法以及分式的混合运算，熟练掌握解不等式的步骤、分式运算的通分、因式分解和约分是解题的关键．
【详解】解：（1）
解不等式得：
解不等式得：
故原不等式组的解集为；
（2）原式
20．(1)假命题，见解析；
(2)假命题，见解析；
(3)真命题，证明见解析；
(4)假命题，见解析．
【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可
根据真命题和假命题的定义判断并说明即可．
【详解】（1）解：是假命题，反例：
当时，
，，
∴结论不成立；
（2）解：是假命题，反例：
当时，
，
∴结论不成立；
（3）解：是真命题，证明：
设两个连续的正奇数为，（为正整数），
则
∵为正整数，
∴是8的倍数，
∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；
（4）解：是假命题，反例：
当四边形为等腰梯形时结论不成立．
21．(1)
(2)人
(3)选拔甲同学，理由见解析
【分析】本题考查了折线统计图，统计表，用样本估计总体，解题的关键是正确理解统计图表中的信息．
（1）根据种体育活动的总人数为人，可得的值；
（2）用总人数乘以样本中足球人数所占比例即可；
（3）求出甲、乙的平均成绩，比较后再进一步求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：（人）
答：估计该校参加足球活动的学生人数约为人．
（3）解：选择甲，理由：
由图知，，，
∴，
又∵甲成绩明显比乙成绩更稳定，
∴选拔甲同学．
22．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了概率的计算，包括简单事件概率（单一对象选择）和两步事件概率（两人选择），熟练掌握概率公式（，其中是总结果数，是事件发生的结果数 ）以及用列表法列举所有等可能结果是解题的关键．
（1）根据有四个等可能的场所，小明选到南通博物苑是其中一种情况，用南通博物苑这一种情况数除以总场所数即可得概率；
（2）通过列表法列出小华和小丽选择场所的所有等可能结果，再找出两人都选南通美术馆的结果数，用该结果数除以总结果数得到概率 ．
【详解】（1）解：图中社会实践活动分别用①，②，③，④表示，则小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率为；
（2）解：列表如下：
共有16种等可能的结果数，其中小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果数有1种，所以小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为．
23．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出；
（2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵与相切，
∴，
∴，
在和中
∴
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的切线性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积计算，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径、全等三角形判定定理、等边三角形判定与性质及扇形面积公式是解题的关键．
24．(1)15米；
(2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键．
（1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解．
（2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值．
【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，
根据题意得，
解得
答：与墙垂直的边的长度为15米；
（2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为，
根据题意得
∴
∵，
∴当时，有最大值363，
答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
25．(1)见解析；
(2)①2；②．
【分析】本题考查的是矩形的性质、平行四边形性质与判定及相似三角形判定与性质，
（1）先证明，根据相似三角形性质即可证明结论；
（2）①过点作，垂足为，设，借助三角形面积求出即可；②作，垂足为，作，垂足为，设，借助三角形面积求出，再通过求出，证明四边形是平行四边形，从而证明，即可求出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①在中，∵，
∴，
∴，
如图，过点作，垂足为，
设，则，
∴，
即，
∴点到的距离为2；
②如图，作，垂足为，作，垂足为，
设，
，
，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
即，
∴，，
∴，
∴．
26．(1)；
(2)10；
(3)．
【分析】（1）先确定反比例函数解析式，得到坐标，再求直线解析式，进而确定点坐标，算出 ．
（2）设出直线、解析式，求出、表达式，化简计算得结果 ．
（3）利用已知条件求出、，确定、直线AM2等相关点和解析式，结合对称性质求解 ．
【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，
∵在函数图象上，
∴，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
∵，
∴，解得，
∴，
∴点的坐标为，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，
∵，
∴的解析式为，
设直线的解析式为，
∵，
∴的解析式为，
∴，
∴．同理，．
∴；
（3）解：∵，
∴
由（2）得，
∴
∵，
∴．
∴，，
∴，
∵，
∴的解析式为，的解析式为．
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵点关于直线对称的点，
∴线段的中点为，
∴点关于直线对称的点的坐标为即．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及函数解析式求解、点坐标计算、对称性质等，熟练掌握反比例函数性质、一次函数解析式求法及对称点坐标特征是解题关键．
小华小丽
①
②
③
④
①
①①
①②
①③
①④
②
②①
②②
②③
②④
③
③①
③②
③③
③④
④
④①
④②
④③
④④