2023-2024学年江苏省南通市中考数学试卷（附答案解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市中考数学试卷（附答案解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如果零上记作，那么零下记作
A．B．C．D．
2．（3分）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为
A．B．C．D．
3．（3分）计算的结果是
A．9B．3C．D．
4．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体是
A．球B．棱柱C．圆柱D．圆锥
5．（3分）如图，直线，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为
A．B．C．D．
6．（3分）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为，列方程为
A．B．
C．D．
7．（3分）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为
A．B．C．D．
8．（3分）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为
A．12B．13C．14D．15
9．（3分）甲、乙两人沿相同路线由地到地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程（单位：与甲的前进时间（单位：之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是
A．甲比乙晚出发B．乙全程共用
C．乙比甲早到地D．甲的速度是
10．（3分）在△中，，，垂足为，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点落在边上时，点为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，请对两位同学的发现作出评判
A．小明正确，小丽错误B．小明错误，小丽正确
C．小明、小丽都正确D．小明、小丽都错误
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）分解因式： ．
12．（3分）已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是 ．
13．（4分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的的值： ．
14．（4分）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在处测得旗杆顶部的仰角为，，则旗杆的高度为 ．
15．（4分）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为 ．
16．（4分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是 ．
17．（4分）如图，在△中，，．正方形的边长为，它的顶点，，分别在△的边上，则的长为 ．
18．（4分）平面直角坐标系中，已知，．直线，为常数，且经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12分）（1）计算：；
（2）解方程．
20．（10分）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表．
50个家庭去年月均用水量频数分布表
根据上述信息，解答下列问题：
（1） ， ；
（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 组；
（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？
21．（10分）如图，点在的边上，经过边的中点，且．求证：．
22．（10分）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 ；
（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
23．（10分）如图，△中，，，，与相切于点．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）设上有一动点，连接，．当的长最大时，求的长．
24．（12分）某快递企业为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
信息二
（1）求、两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买、两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
25．（13分）已知函数，为常数）．设自变量取时，取得最小值．
（1）若，，求的值；
（2）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点到轴的距离；
（3）当，且时，分析并确定整数的个数．
26．（13分）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系： ．
【变式思考】
（2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，中，，点在边上，．以点为圆心，长为半径作弧与线段相交于点，过点作任意直线与边，分别交于，两点．请补全图形，并分析的值是否变化？
2024年江苏省南通市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）如果零上记作，那么零下记作
A．B．C．D．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果零上记作，那么零下记作．
故选：．
2．（3分）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【解答】解：由题知，
1582亿．
故选：．
3．（3分）计算的结果是
A．9B．3C．D．
【解答】解：．
故选：．
4．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体是
A．球B．棱柱C．圆柱D．圆锥
【解答】解：由所给三视图可知，
该几何体为圆锥．
故选：．
5．（3分）如图，直线，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：延长与直线交于点，
，，
．
四边形是矩形，
，
，
．
故选：．
6．（3分）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为，列方程为
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
7．（3分）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
所以抛物线的顶点坐标为，
所以将此抛物线向右平移3个单位长度后，所得新抛物线的顶点坐标为．
故选：．
8．（3分）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为
A．12B．13C．14D．15
【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为，
，即①，
，
②，
①②得，
大正方形的面积为：，
故选：．
9．（3分）甲、乙两人沿相同路线由地到地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程（单位：与甲的前进时间（单位：之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是
A．甲比乙晚出发B．乙全程共用
C．乙比甲早到地D．甲的速度是
【解答】解：甲的速度是：；
乙的速度是：；
由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到，
故选：．
10．（3分）在△中，，，垂足为，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点落在边上时，点为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，请对两位同学的发现作出评判
A．小明正确，小丽错误B．小明错误，小丽正确
C．小明、小丽都正确D．小明、小丽都错误
【解答】解：将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
当点落在边上时，如图：
，，
，
，
，
为的中点，
故小明的说法是正确的；
连接，，
，，
，
，
，
，
点在射线上运动，
当时，的长最小，
当的长最小时，，
又，
△△，，
，
故小丽的说法正确；
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）分解因式： ．
【解答】解：．
12．（3分）已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是 ．
【解答】解：圆锥的侧面积．
故答案为：．
13．（4分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的的值： （答案不唯一） ．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得：．
故答案为：（答案不唯一）．
14．（4分）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在处测得旗杆顶部的仰角为，，则旗杆的高度为 ．
【解答】解：由题意可得：，
又，
．
故答案为：．
15．（4分）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为 ．
【解答】解：过点作于点，
周长为，
，
，
，
高，
故答案为：．
16．（4分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是 ．
【解答】解：设反比例函数关系式为：，
把代入得：，
反比例函数关系式为：，
当时，则，
，
故答案为：．
17．（4分）如图，在△中，，．正方形的边长为，它的顶点，，分别在△的边上，则的长为 ．
【解答】解：如图，过点作于点，
，，
△是等腰直角三角形，
，，
，
△是等腰直角三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
设，，
正方形的边长为，
，
，，
，，
将代入整理得：，
解得，
，
，
，
故答案为：．
18．（4分）平面直角坐标系中，已知，．直线，为常数，且经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则的值为 ．
【解答】解：如图，设与直线交于点．
设所在直线的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和分别代入，
得，
解得，
所在直线的函数关系式为．
将点代入，
得，
解得，
直线为．
，
解得，
，，
，
远离原点部分的面积为，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12分）（1）计算：；
（2）解方程．
【解答】解：（1）
；
（2），
，
，
，
经检验，是原方程的解．
20．（10分）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表．
50个家庭去年月均用水量频数分布表
根据上述信息，解答下列问题：
（1） 20 ， ；
（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 组；
（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？
【解答】解：（1）由题意得，组的频数．
组的频数．
故答案为：20；15．
（2）由题意，根据中位数的意义，，
中位数是第25个数和第26个数的平均数．
又组频数为7，组频数为20，
这50个家庭去年月均用水量的中位数落在组．
故答案为：．
（3）由题意，个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有（个，
该小区有1200个家庭估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有：（个．
21．（10分）如图，点在的边上，经过边的中点，且．求证：．
【解答】证明：是的中点，
，
在和中，
，
，
，
．
22．（10分）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 ；
（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
【解答】解：（1）（甲在2号出入口开展志愿服务活动），
故答案为：；
（2）
一共有16种情况，甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种情况，
（甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动）．
23．（10分）如图，△中，，，，与相切于点．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）设上有一动点，连接，．当的长最大时，求的长．
【解答】解：（1），，，
，
，
与相切于点，
，
；
（2）当，，三点共线时，的长最大，
，，
．
24．（12分）某快递企业为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
信息二
（1）求、两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买、两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
【解答】解：（1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，
，
，
答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元；
（2）设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台，
，
，
每天分拣快递的件数，
当时，每天分拣快递的件数最多为200万件，
选择购买型智能机器人5台，购买型智能机器人5台．
25．（13分）已知函数，为常数）．设自变量取时，取得最小值．
（1）若，，求的值；
（2）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点到轴的距离；
（3）当，且时，分析并确定整数的个数．
【解答】解：（1）若，，则，
当时，取得最小值，
；
（2）点在双曲线上，
，
，
，
，，
当时，点到轴的距离为2；
当时，点到轴的距离1；
综上所述，点到轴的距离为2或1；
（3），
，
由题意得：，
，
，
整理得：，
或，
为整数，
或或1或2，共4个．
26．（13分）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系： ．
【变式思考】
（2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，中，，点在边上，．以点为圆心，长为半径作弧与线段相交于点，过点作任意直线与边，分别交于，两点．请补全图形，并分析的值是否变化？
【解答】解：（1）如图③，
，平分，
，
在中，，
，
两腰之和为，两腰之积为，
猜想：，
证明：如图，
，平分，
，
在中，，
，，
；
故答案为：，，，；
（2）．
证明：如图，过点作于，于，过点作于，
则，
平分，，，
，
在中，，
，
，
；
（3）补全图形如图所示：
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
如图，过点作于，于，过点作于，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
为定长，和为定值，
为定值，
即为定值．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/5 18:17:44；用户：帐号62；邮箱：hxnts62@xyh.cm；学号：37372738组别
家庭月均用水量（单位：吨）
频数
7
6
2
合计
50
型机器人台数
型机器人台数
总费用（单位：万元）
1
3
260
3
2
360
型机器人每台每天可分拣快递22万件；
型机器人每台每天可分拣快递18万件．
图序
角平分线的长
的度数
腰长
两腰之和
两腰之积
图①
1
2
4
4
图②
1
2
图③
1



组别
家庭月均用水量（单位：吨）
频数
7
6
2
合计
50
型机器人台数
型机器人台数
总费用（单位：万元）
1
3
260
3
2
360
型机器人每台每天可分拣快递22万件；
型机器人每台每天可分拣快递18万件．
图序
角平分线的长
的度数
腰长
两腰之和
两腰之积
图①
1
2
4
4
图②
1
2
图③
1