2025秋九年级数学上册第22章一元二次方程专题4一元二次方程的特殊解法习题课件新版华东师大版（含答案）

第22章　一元二次方程专题4 一元二次方程的特殊解法1．(1)按规律在下面的横线上写出第4个一元二次方程及它的两个实数根：_________________________________________． 返回2．【阅读材料】解方程x2＋2x－35＝0我们可以按下面的方法解答：①竖分二次项与常数项：x2＝x·x，－35＝(－5)×(＋7)，如图①；②交叉相乘，验中项：如图②；③横向写出两因式：x2＋2x－35＝(x＋7)(x－5)．根据上述方法，方程x2＋2x－35＝0可变形为(x＋7)(x－5)＝0.根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0，得x＋7＝0或x－5＝0，∴x1＝5，x2＝－7.即原方程的解为x1＝5，x2＝－7.试用上述方法和原理解下列方程：(1)x2＋5x＋4＝0；　　(2)x2－6x－7＝0；【解】∵x2＋5x＋4＝0，∴(x＋1)(x＋4)＝0，∴x＋1＝0或x＋4＝0，∴x1＝－1，x2＝－4.∵x2－6x－7＝0，∴(x＋1)(x－7)＝0，∴x＋1＝0或x－7＝0，∴x1＝－1，x2＝7.(3)x2－6x＋8＝0; (4)2x2＋x－6＝0.【解】∵x2－6x＋8＝0，∴(x－2)(x－4)＝0，∴x－2＝0或x－4＝0，∴x1＝2，x2＝4.∵2x2＋x－6＝0，∴(2x－3)(x＋2)＝0，∴2x－3＝0或x＋2＝0，∴x1＝1.5，x2＝－2. 返回3．用上述方法解下列方程：(1)(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0；【解】设2x＋5＝y，则原方程化为y2－4y＋3＝0，解此方程得y1＝1，y2＝3，当y＝1时，2x＋5＝1，解得x＝－2；当y＝3时，2x＋5＝3，解得x＝－1.∴原方程的解为x1＝－2，x2＝－1.(2)x4－8x2＋7＝0；(3)x2－3|x|＋2＝0.x2－3|x|＋2＝0可变形为|x|2－3|x|＋2＝0，设|x|＝t，则t≥0，∴t2－3t＋2＝0，∴(t－1)(t－2)＝0，∴t－1＝0或t－2＝0，∴t1＝1，t2＝2，∴|x|＝1或|x|＝2，∴x1＝－1，x2＝1，x3＝－2，x4＝2. 返回4．[2025厦门月考]已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝α，x2＝β，求关于x的一元二次方程p2ax2＋pbx＋c＝0(ap≠0)的两根．解：∵p2ax2＋pbx＋c＝0(ap≠0)，∴a(px)2＋b·px＋c＝0，令px＝t，得新方程at2＋bt＋c＝0.∴新方程的解为t1＝α，t2＝β，∴px＝α或px＝β，这种解一元二次方程的方法叫做“缩根法”．举例：用缩根法解方程49x2＋35x－24＝0.解：∵49＝72，35＝5×7，∴(7x)2＋5×7x－24＝0，令7x＝t，得新方程t2＋5t－24＝0.解新方程得t1＝3，t2＝－8，∴7x＝3或7x＝－8，请利用上面的方法解决下列问题，并写出具体步骤：(1)36x2－6x－1＝0；(2)3x2－160x＋1 600＝0. 返回5．阿拉伯数学家阿尔·花剌子米用正方形巧妙地解出了一元二次方程x2＋2x－35＝0的一个解，就是阿尔·花剌子米解法．如图，将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x，宽为1的长方形，拼合在一起的面积就是x2＋2·x·1＋1×1，而由x2＋2x－35＝0变形得x2＋2x＋1＝35＋1，即边长为x＋1的正方形的面积为36.∴(x＋1)2＝36，∴x＝5(负值已舍去)．你能运用上述方法求出方程x2＋8x－9＝0的一个正根吗？【解】如图，大正方形的边长为x＋4，则其面积为x2＋4x＋4x＋16＝x2＋8x＋16.∵x2＋8x－9＝0可化为x2＋8x＋16－25＝0.∴x2＋8x＋16＝25，即(x＋4)2＝25，∴x＝1(负值已舍去)． 返回