2025-2026学年北京市房山区高一上学期学业水平调研（一）数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年北京市房山区高一上学期学业水平调研（一）数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的零点所在的区间（ ）
A．B．C．D．
6．设，则是的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知是奇函数，且在上单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．如图（1），四边形为直角梯形，，动点从点出发，由沿边运动，设点运动的路程为的面积为．若的图象如图（2）所示，则的面积为（ ）
A．9B．12C．15D．24
10．设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（ ）
A．15B．24C．27D．32
二、填空题
11．函数的定义域为 ．
12．已知函数，则 ；若，则 ．
13．若是一元二次方程的两个根，则的值为 的值为 ．
14．已知集合．用列举法表示集合，则 ；若，则的取值范围是 ．
15．设是任意整数，且，能够说明“若，则”是假命题的一组的值依次为 ．
16．已知函数，给出下列四个结论：
①当时，在定义域上是增函数；
②当时，的单调递减区间为；
③存在实数，使得函数是偶函数；
④若方程有三个不等的实根，则．
其中正确结论的序号为 ．
三、解答题
17．已知全集为，集合，，．
(1)求；
(2)求；
(3)若，求的取值范围．
18．已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
(2)依据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数；
(3)直接写出函数的值域．
19．已知函数．
(1)当时，求函数在上的最大值和最小值；
(2)当时，求不等式的解集；
(3)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
20．为改善学生进行体育活动的环境，学校要建造体育馆．在建造体育馆时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为20年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是3万元．每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）的函数关系是（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为2.5万元．20年的总维修费用为15万元．记为20年的总费用（总费用＝隔热层的建造成本＋使用20年的能源消耗费用＋使用20年的总维修费用）．
(1)求的解析式；
(2)当隔热层的厚度为多少厘米时，20年的总费用最小，并求出最小值．
21．设集合为正整数集的非空子集，对于任意，定义运算，若所有这些运算结果构成的集合记为，则称为集合的倍差集．
(1)当时，写出集合的倍差集；
(2)设集合，若其倍差集中恰好有两个元素，求的值；
(3)若是由4个正整数构成的集合，求其倍差集中元素个数的最小值．
参考答案
11．且
12．；
13．；6
14．；
15．（答案不唯一）
16．①②④
17．（1）∵，∴，即，
∴.
（2）或.
（3）∵，∴，
∴，
即.
18．（1）是偶函数，证明如下：
的定义域为，，得证.
（2）任取，且，
则，
因为，则，则，即，
所以函数在上是减函数.
（3）因为的定义域为，且，
所以由函数的单调性可得函数的值域为.
19．（1）当时，函数，
因为，所以，由二次函数的性质知，当时，有最小值；当时，有最大值，
所以，当时，函数在上的最大值和最小值分别为和.
（2）当时，函数，
所以，不等式的解集即为的解集，
因为，解得或，
所以，当时，不等式的解集为.
（3）因为对任意实数恒成立，
即对任意实数恒成立，
所以，对任意实数恒成立，
当时，，解得，不满足题意；
当时，对任意实数恒成立等价于，
即：，解得
综上，实数的取值范围为
20．（1）由题意得，当时，，解得，
所以，故，；
（2），
当且仅当，即时，等号成立，
故当隔热层的厚度为厘米时，20年的总费用最小，最小费用为33万元.
21．（1）根据倍差集的定义，，
当，时，；
当，时，；
当，时，.
由集合中元素的互异性，可得.
（2）已知，由集合中元素的互异性可知，且，
当时，的可能取值为1或3.
当时，，，，，
此时，满足倍差集中恰好有两个元素，故；
当时，，，，，
此时，不满足倍差集中恰好有两个元素，故；
当时，根据，得，，.
由于且，所以且，且，
因为倍差集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论：
若，此方程无解；
若，解得，此时，满足倍差集中恰好有两个元素，故，
综上，若其倍差集中恰好有两个元素，则的值为1或8.
（3）设，，.
根据，，则，，，，，.
不妨设，则，，，，，，
由集合中元素的互异性，可得，元素个数为4.
下证元素个数不少于4：
将，，，，，，
这6个值分别记为：，，，，，.
从而有：，即，，即.
因此，即，，已经是严格递增的三个数，它们已经占用了3个不同的值，
如果倍差集中只有3个元素，那么，，必须在中取值，且不能引入新的数.
先看：
若，则，即；
若，则，即，与假设矛盾；
若，则，即，显然矛盾.
因此，此时.
再看：
若，则，即，与矛盾；
若，则，即；
若，则，即，而，则，与矛盾；
因此，此时，即.
最后看，
将代入，可得，
若，则，即，与矛盾；
若，则，即，与矛盾；
若，则，即，而，则，与矛盾.
所以无论如何，都不能在中取值，即一定是不同于的第四个数.
因此倍差集中元素个数的最小值为4.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
B
C
A
D
C
B
C