北京市房山区2024-2025学年高一上学期期中学业水平调研数学试题（解析版）

这是一份北京市房山区2024-2025学年高一上学期期中学业水平调研数学试题（解析版），共29页。
1 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由于集合，，所以，
故选：.
2. 设命题，.则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为命题，，
所以为：，
故选：.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】要使得函数有意义，则，解得，故定义域为.
故选：C.
4. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对A：在上单调递增，故A错误；
对B：令，则，且其定义域为，故其为偶函数，又在上单调递减，故B正确；
对C：二次函数的对称轴为，故其不是偶函数，C错误；
对D：令，则，且其定义域为，故其为奇函数，故D错误.
故选：B
5. 已知且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A.由，，，，所以，故A错误；
B. 由，所以，故B错误；
C. 由，所以，则，故C错误；
D.由A可知，，又，所以，故D正确.
故选：D
6. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
故选：C.
7. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，解得：，
集合，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
8. 果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意可知函数关系式是，
由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是.
故；
故选:C.
9. 已知且，，则、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】已知.则，
所以，
，因此，.
故选:C.
10. 已知定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，则，
又当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数在上为增函数，
由可得，
所以，，解得，
因此，不等式的解集为.
故选：B.
二､填空题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 已知函数，则=
【答案】3
【解析】取代入，得.
故答案为：3
12. 已知，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为，故可得，又，则，
即的范围为.
故答案为：.
13. 已知，使“若且，则”为假命题的一组实数的值为______，______.
【答案】 ； （答案不唯一）
【解析】根据题意，若，则，又，则，
故要说明该命题为假命题，则只需即可，
也即在的前提下，满足的均可；
故可取，（答案不唯一）.
故答案为：，，（答案不唯一）.
14. 已知，集合，且，则__________.
【答案】
【解析】因为，显然，则，
即，可得，
此时，可得，所以.
故答案为：.
15. 函数的值域为__________.
【答案】
【解析】因为，所以，故函数的值域为.
故答案为：.
16. 已知函数，当时，的最小值是__________；若存在最小值，则实数的取值范围是__________.
【答案】 ；
【解析】（1）当时，，
若，则；当时，，
故当时，函数的最小值为；
（2）由上可知，当时，函数存在最小值；
当时，函数在上单调递增，
此时，则函数不存在最小值；
当时，函数在上单调递减，此时，
若且时，则，由题意可得，解得，
此时，；
若且时，函数在上单调递增，则，
由题意可得，即，该不等式无解
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：；.
三､解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 已知全集，集合.
（1）求；
（2）已知集合，若，求实数的取值范围.
解：（1）由题意，集合，
又因为，所以.
因为全集，所以.
（2）因为，
所以或，即或.
所以实数的取值范围为.
18. 已知关于的一元二次方程.
（1）当时，设方程的两个实根分别为，求代数式的值；
（2）若该方程有两个正实根，求实数的取值范围.
解：（1）因为当时，方程的两个实根分别为，
所以.
所以.
（2）设方程的两个正实根分别为，则
，即，解得.
所以实数的取值范围为.
19. 某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费.因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体（包括门窗所占面积）每平方米元，左､右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元，设屋子的左､右两面墙的长度均为米，总造价为元.
（1）写出与的函数关系式，并注明函数定义域；
（2）当左､右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价.
解：（1）由题意可知，总造价为元，左､右两面墙的长度均为米，
则屋子前面新建墙体长为米.
则.
所以.
（2）因为，所以.
当且仅当，即时，等号成立，
所以当左､右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为元.
20. 已知函数.
（1）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）当时，是偶函数.
因为的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是偶函数.
（2）由，得，
所以.
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
（3）因为“在区间上恒成立”等价于“在上恒成立”，所以.
令，则.
因为，当且仅当，即时，取等号.
所以时取等号.
所以，所以，
所以实数的范围是.
21. 对于任意的，记集合，，若集合满足下列条件：① ；② ，且，不存在，使，则称具有性质．如当时，，，，且，不存在，使，所以具有性质．
（1）写出集合，中的元素个数，并判断是否具有性质．
（2）是否存在、具有性质，且，使，若存在请求出、，若不存在请说明理由．
（3）若存在、具有性质，且，使，求的最大值．
（1）解： 对于任意的，记集合，．当时，；
当时，，集合，中的元素个数分别为9，，
集合满足下列条件：①；②，，且，不存在，使，则称具有性质，
因为，，，，不符合题意，
不具有性质．
（2）证明：假设存在，具有性质，且，使．
其中．
因为，所以，
不妨设．因为，所以，．
同理，，．因为，这与具有性质矛盾．
所以假设不成立，即不存在，具有性质，且，使．
（3）解：因为当时，，由（2）知，不存在，具有性质，
且，使．
若，当时，，
取，，
则，具有性质，且，使．
当时，集合中除整数外，
其余的数组成集合为，
令，，
则，具有性质，且，使．
当时，集中除整数外，其余的数组成集合，
令，．
则，具有性质，且，
使．
集合中的数均为无理数，
它与中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令，，则，且．
综上，所求的最大值为14．