北京市房山区2025-2026学年高一上学期学业水平调研（一）数学试卷（学生版）

这是一份北京市房山区2025-2026学年高一上学期学业水平调研（一）数学试卷（学生版），共6页。
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的零点所在的区间（ ）
A. B. C. D.
6. 设，则是的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知是奇函数，且在上单调递减，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图（1），四边形为直角梯形，，动点从点出发，由沿边运动，设点运动的路程为，的面积为．若的图象如图（2）所示，则的面积为（ ）
A. 9B. 12C. 15D. 24
10. 设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（ ）
A. 15B. 24C. 27D. 32
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 函数的定义域为___________．
12. 已知函数，则___________；若，则___________．
13. 若是一元二次方程的两个根，则的值为_________的值为___________．
14. 已知集合．用列举法表示集合，则___________；若，则的取值范围是___________．
15. 设是任意整数，且，能够说明“若，则”是假命题的一组的值依次为___________．
16. 已知函数，给出下列四个结论：
①当时，在定义域上是增函数；
②当时，的单调递减区间为；
③存在实数，使得函数是偶函数；
④若方程有三个不等的实根，则．
其中正确结论的序号为___________．
三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 已知全集为，集合，，．
（1）求；
（2）求；
（3）若，求的取值范围．
18. 已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（2）依据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数；
（3）直接写出函数的值域．
19. 已知函数．
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；
（2）当时，求不等式的解集；
（3）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
20. 为改善学生进行体育活动的环境，学校要建造体育馆．在建造体育馆时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为20年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是3万元．每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）的函数关系是（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为2.5万元．20年的总维修费用为15万元．记为20年的总费用（总费用＝隔热层的建造成本＋使用20年的能源消耗费用＋使用20年的总维修费用）．
（1）求的解析式；
（2）当隔热层的厚度为多少厘米时，20年的总费用最小，并求出最小值．
21. 设集合为正整数集的非空子集，对于任意，定义运算，若所有这些运算结果构成的集合记为，则称为集合的倍差集．
（1）当时，写出集合的倍差集；
（2）设集合，若其倍差集中恰好有两个元素，求的值；
（3）若是由4个正整数构成的集合，求其倍差集中元素个数的最小值．