北京市房山区2024-2025学年高一下期中学业水平调研(一)数学试卷（解析版）

这是一份北京市房山区2024-2025学年高一下期中学业水平调研(一)数学试卷（解析版），共10页。
1. 若，且，则角的终边在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】因为，所以角的终边在第二象限或轴的负半轴或第三象限，
因为，所以角的终边在第一象限或第三象限，所以角的终边在第三象限，
故选：C.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D
3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的
B. 先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍
C. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的
D. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍
【答案】A
【解析】对于A，向左平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的得到，故A正确；
对于B，向左平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的2倍得到，故B错误；
对于C，向右平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的得到，故C错误；
对于D，向右平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的2倍得到，故D错误.
故选：A
4. 已知向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以，解得或，
故可以推出，充分性成立，
当不能推出，必要性不成立，
则“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
5. 已知点为角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】点为角终边上一点，
则，
所以.
故选：A.
6. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，即.
故选：D
7. 木雕是我国雕塑的一种，在我们国家常常被称为“民间工艺”.传统木雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形木雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇形木雕的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】扇形的圆心角为，又因为，，
所以该扇环形木雕的面积为.
故选：B
8. 已知函数，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】C
【解析】函数，
而，则时，，当时，.
故选：C
9. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距约为（ ）
（参考数据，，，，．）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，且天顶距，晷影长，得，
当晷影长度时，，所以.
故选：B
10. 气候变化是人类面临的全球性问题，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型．某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数，其图象如图．则下列结论正确的是（ ）

A.
B. 函数的最小正周期为
C. ，
D. 若是偶函数，则的最小值为2
【答案】D
【解析】根据题图可知得所以．
根据题图可知，，B错误．
，，，即．又，所以，所以，
解得，A错误．
，，
所以，C错误．
因为是偶函数，所以，，得，，所以当时，取最小值为2，D正确．
故选：D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
11. ________．
【答案】
【解析】.
故答案为：
12. 已知，则________．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
13. 函数的单调递减区间________．
【答案】
【解析】函数，
由，解得，
所以所求单调递减区间是.
故答案为：
14. 若函数的最小值为，则常数的一个取值为________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为，要想的最小值为，需要同时成立，由得到，，
不妨取，则，解得：，取，得.
故答案为：（答案不唯一）
15. 如图，已知矩形中，，，点为上一点，则________；当最大时，________．
【答案】9；
【解析】因为四边形是矩形，所以以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系.

可得,因为点为上，可设，
可知，则.
可知，则，
因为，所以当时，取得最大值，
此时，，则.
故答案为：9；.
16. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，函数．给出下列结论：
①函数的值域是；
②函数是非奇非偶函数；
③函数的图象关于对称；
④方程只有一个实数根．
其中正确结论的序号是________．
【答案】①④
【解析】函数的定义域为R，
因为，所以为偶函数，
当时，，
则，
当时，，
当时，，
所以函数的图象如下图所示
由可知，在内，，
当，Z时，，
当，且，Z时，，
当或，Z时，，
所以函数的值域是；
因为，所以为偶函数，
则函数的图象如下图所示
由图可知函数的图象不关于对称，
对于方程，当时，方程有一个实数根，
当时，，此时，方程没有实数根，
当时，，此时，方程没有实数根，
所以方程只有一个实数根.
综上所得，故①④正确，②③错误；
故答案为：①④.
三、解答题共5小题，每小题14分，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 已知向量，．
（1）求与的数量积；
（2）若与垂直，求的值．
解：（1）向量，，所以.
（2）由向量，，得，，
由与垂直，得，即，
所以实数.
18. 已知，且．
（1）求，的值；
（2）求的值．
解：（1）因为，且，
所以，
所以，
所以．
（2）因为，
所以．
19. 已知函数的最小值为，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求，的值；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数的单调递增区间．
条件①：的图象关于点对称；
条件②：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分．
解：（1）由题知，，函数的最小正周期．
由，解得．
（2）选择①：由（1）知，．
因为的图象关于点对称，
所以，则得，即，，
因为，所以，故．
由，可得，
故函数的单调递增区间是．
选择②：由（1）知，
依题意，，则有，
即，
因为，所以，故，
由，解得，
故函数的单调递增区间是．
20. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）记点的横坐标为，若，求的值．
解：（1）因为圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，
所以．所以．
（2）原式．
（3）由（1）知，，且为锐角，
所以，．
所以
．
21. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个维向量.特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关.
（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.
①，；
②，，.
（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.
（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①如果存在等式（，，2，3，…，m），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，（，，，2，3，…，m）同时成立，其中，则.
解：（1）对于①，设，则可得，所以，线性相关；
对于②，设，则可得，
所以，，所以，，线性相关；
（2）设，
则，
因为向量，，线性无关，所以，解得，
所以向量，，线性无关.
（3）①，如果某个，，2，…，m，
则，
因为其中任意个都线性无关，所以，，…，，，…，都等于0，
所以这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零，
②因为，所以，，…，全不为零，
所以由可得，
代入可得，
所以，
所以，…，，所以.