综合专题01 空间向量与立体几何15题型整章复习（期中专项训练）（原卷版+解析版）高二数学上学期人教A版

这是一份综合专题01 空间向量与立体几何15题型整章复习（期中专项训练）（原卷版+解析版）高二数学上学期人教A版，文件包含综合专题01空间向量与立体几何15题型整章复习期中专项训练原卷版docx、综合专题01空间向量与立体几何15题型整章复习期中专项训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共96页， 欢迎下载使用。

题型1 空间向量及线性运算
题型9 利用空间向量求线线角
题型2 空间向量共面定理的推论及应用
题型10 利用空间向量求线面角（重点）
题型3 空间向量数量积应用（重点）
题型11 利用空间向量求面面角（重点）
题型4空间向量基本定理及其应用
题型12 利用空间向量求点到平面的距离（重点）
题型5 空间向量的坐标表示（常考点）
题型13 利用空间向量求面到面的距离（重点）
题型6 空间位置关系的向量证明
题型14 利用空间向量求点到直线或异面直线之间的距离
题型7 利用空间向量证明平行和垂直
题型15 空间线段点的存在性问题（难点）
题型8 异面直线夹角的向量求法（重点）
题型一 空间向量及其线性运算（共3小题）
1．（24-25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】空间向量加减运算的几何表示
【分析】利用向量的线性运算法则，，进而可得答案.
【详解】由已知得，，
.
故
故选：A
2．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】空间向量数乘运算的几何表示、空间向量加减运算的几何表示
【分析】根据和可求关于的线性表示，由此可求结果.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：B.
3．（24-25高三上·安徽·期中）在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，点G在底面内运动含边界，且平面，则（ ）
A．若，则平面
B．点G到直线的距离为
C．若，则
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】空间向量数乘运算的几何表示、证明线面平行、证明线面垂直、求线面角
【分析】分别取棱，，，的中点M，N，P，Q作出图形，确定平面，及点G的轨迹．对于A，由条件得点G为棱的中点P，根据线面平行的性质判定即可；对于B，由，可得点G到的距离即为与间的距离，求解即可判断；对于C，连，与的交点即为点G，求解即可得出；对于D，设面，根据对称性可知，为的中点，由已知得为直线与平面所成的角，即可求解判断.
【详解】分别取棱，，，的中点M，N，P，Q，
∵点E，F分别为棱，的中点，∴，
∵，∴，
∵平面，平面，∴，
∵平面，∴平面，
∵平面，∴，同理，
∵平面，∴平面，
根据条件平面，可得平面即为平面，
于是点G的轨迹即为线段
对于A，若，则点G在上，
又点G的轨迹即为线段，则点G为棱的中点P，
连，∵，∴为平行四边形，
∴，又平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，∵点F，Q分别为棱，的中点，∴，
∴正六边形的边长为，
设正六边形的中心，
则均是边长为的正三角形，
∵,
∴，即与间的距离，
因为，所以点G到的距离即为与间的距离，
所以点G到的距离为，所以 B错误；
对于C，连，交点为，
∵，则点G在上，
又点G的轨迹即为线段，则点G为与的交点，
∵分别为的中点，则，
此时，于是满足，所以C正确；
对于D，设平面，根据对称性可知，为的中点，
∴，
∵平面，∴为直线与平面所成的角，
又，
∴，
所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确，
故选：ACD.
题型二 空间向量共面定理的推论及应用（共4小题）
1．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】判定空间向量共面
【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案.
【详解】A选项，，所以，，是共面向量；
B选项，，所以，，是共面向量；
C选项，， 所以，，是共面向量；
D选项，令，显然无解，故不是共面向量.
故选：D
2．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）.
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】空间向量共面求参数
【分析】根据向量共面的性质来求解的值.若三个向量，，共面，则存在实数，使得，然后根据向量相等的性质列出方程组，进而求解.
【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得.
则可得.
由，可列出方程组.
由可得，将其代入中，得到.
去括号得，移项合并同类项得，解得.
将代入，可得.
将，代入，可得.
故选：B.
3．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求空间向量的数量积、空间共面向量定理的推论及应用
【分析】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
由，则，
由共面，则，解得，
所以
.
故选：B.
4．（24-25高二上·山东·期中）下列说法中正确的是（ ）
A． 是共线的充分不必要条件
B．若共线，则
C．三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面
D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】充要条件的证明、判定空间向量共面、判断命题的充分不必要条件、空间向量共线的判定
【分析】由向量数量积运算律及共线判定，结合充分必要性定义判断A，利用共线，则直线AB，CD可能重合判断B，利用四点共面的结论判断C，由向量线性运算及共线判定，结合充分必要性定义判断D.
【详解】对于A：由，
此时，共线，充分性成立，
若，同向共线，且，则，显然不成立，
必要性不成立，
所以“”是“共线”的充分不必要条件，故A正确；
对于B：若共线，则直线AB，CD可能重合，故B错误；
对于C：由，且，
根据空间向量共面的推论知四点共面，故C正确；
对于D：（不共线），若，
则，所以，
即，所以三点共线，反之也成立，
所以是三点共线的充要条件，（本选项也可用三点共线的推论）故D正确.
故选：ACD
题型三 空间向量数量积应用（共3小题）
1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的概念辨析
【分析】由投影向量的计算公式即可求解.
【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为，
因为为单位向量，，，
所以，
所以，
故选：B
2．（24-25高二下·江苏南京·期中）正方体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求空间向量的数量积、求含sinx(型)函数的值域和最值
【分析】建立空间直角坐标系结合空间向量及向量模长公式计算求解得出球的方程，再应用三角换元结合值域计算求解.
【详解】以为原点建立空间直角坐标系，则，
点，，
因为，所以，
化简得：，表示以为球心，半径为的球.
设，
，，
所以的取值范围为，
向量 ，故的范围为.
故选：C.
3．（24-25高一下·江西宜春·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面
B．已知两个向量，，且，则
C．若，且，，则
D．点关于平面对称的点的坐标是
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、null
【分析】利用空间中四点共面的推论可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量垂直的坐标表示可判断C选项；根据空间直角坐标系中点的对称性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，若、、、四点共面，则存在、，使得，
即，
所以，且，
因为对空间中任意一点有，且，
故、、、四点不共面，A错；
对于B选项，已知两个向量，，且，
设，即，则，解得，故，B对；
对于C选项，若，且，，
则，C对；
对于D选项，点关于平面对称的点的坐标是，D对.
故选：BCD.
题型四 空间向量基本定理及其应用（共3小题）
1．（24-25高二下·甘肃金昌·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量
【分析】连接，根据空间向量法线性运算法则计算可得.
【详解】连接，因为是的中点，所以，
因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱，
所以四边形为长方形，又因为是的中点，
所以，
则，
又，又，，不共面，所以，所以．
故选：D．
2．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】空间向量基本定理及其应用、空间向量共面求参数
【分析】由共面向量的基本定理得出，利用空间向量的减法可得出，设，利用空间向量的线性运算得出，进而可得出关于、、的方程组，解出的值，即可得出的值.
【详解】如下图所示：
因为、、、四点共面，且、不共线，
则存在、，使得，
即，
所以，
因为四边形为平行四边形，所以，即，
所以，
设，则，
因为、、不共面，所以，解得，所以，
又因为，故，
故选：C.
3．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）正方体，点E是上底面的中心，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量
【分析】根据空间向量对应线段的关系，结合加减、数乘的几何意义用表示求出参数，即可得答案.
【详解】由，
所以，故.
故选：D
题型五 空间向量的坐标表示（共3小题）
1．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】空间向量的坐标表示
【分析】由投影向量的定义可求得结果.
【详解】向量在坐标平面上的投影向量是.
故选：C.
2．（24-25高二上·天津·期中）已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】空间向量的坐标运算
【分析】利用空间向量的坐标进行空间向量的线性运算即可.
【详解】由，，可得：，
故选：A.
3．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（ ）
A．2B．4C．3D．6
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】空间向量模长的坐标表示
【分析】首先表示出，再由向量模的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，
所以，
所以，当且仅当时取等号.
故选：A
4．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示
【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可.
【详解】因为空间向量，，
若与的夹角是锐角，则且不成立，
所以或.
故选：C.
5．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知空间三点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的中点，则点的坐标为
B．若四边形为平行四边形，则点的坐标为
C．向量与向量夹角为
D．以为邻边的平行四边形面积为
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求空间两点的中点坐标、三角形面积公式及其应用、null、空间向量夹角余弦的坐标表示
【分析】对于A，根据中点坐标公式求解判断即可；对于B，由四边形为平行四边形，可得，设，进而结合空间向量的坐标表示列出方程组求解判断即可；对于C，直接根据空间向量夹角余弦的坐标表示求解判断即可；对于D，结合三角形的面积公式求解判断即可.
【详解】对于A，因为为的中点，所以，
即，故A错误；
对于B，因为四边形为平行四边形，所以，
由，设，则，
所以，解得，即，故B错误；
对于C，由，，
则，，，
所以，
所以向量与向量夹角为，故C错误；
对于D，由C知，，，，
所以以为邻边的平行四边形面积为：
，故D正确.
故选：D.
6．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：
①；②；③与垂直．
(1)求向量的坐标；
(2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值．
【答案】(1)或；
(2)
【难度】0.65
【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示
【分析】（1）首先设，再根据条件列出方程组，即可求解；
（2）根据（1）的结果，确定向量，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解.
【详解】（1）设，则由题可知，
解得或，
所以或．
（2）因为向量与向量共线，所以．
又，，所以，，
所以，且，，
所以与夹角的余弦值为．
题型六 空间位置关系的向量证明（共6小题）
5．（23-24高二下·湖南衡阳·期中）在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．平面与平面的距离为B．三棱锥外接球的表面积为
C．D．直线BC与平面所成的角为
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】多面体与球体内切外接问题、平行平面距离的向量求法、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法
【分析】D选项，作出辅助线，由线面垂直得到⊥，故⊥平面，直线与平面所成的角为，且，故D错误；C选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到，所以⊥平面，⊥；B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，从而求出外接球半径，得到外接球表面积；A选项，先证明出平面平面，利用点到平面距离向量公式得到答案.
【详解】D选项，如图1，连接，与相交于O点，

因为⊥平面，且平面，所以⊥，
又因为⊥，，平面，
所以⊥平面，
即直线与平面所成的角为，
且，故D错误；
C选项，如图2，连接，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，
则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，则，
则，所以⊥平面，
又因为平面，则⊥，故C错误；
B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
设其外接球的半径为R，则，即，
所以，故B错误；
A选项，如图3，因为，平面，平面，

所以平面，同理平面，
又，平面，所以平面平面，
由B选项可知，平面的一个法向量为，
且，
则两平面间的距离，故A正确.
故选：A
13．（24-25高二下·浙江温州·期中）在四棱锥中，面，，点为的中点，点为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点到平面的距离为
C．三棱锥与三棱锥的外接球半径之比为
D．与面交于点则
【答案】ABD
【难度】0.4
【知识点】多面体与球体内切外接问题、空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法
【分析】建立如图所示空间直角坐标系，由向量的数量积可得A正确；求出平面的法向量，再由空间点到平面的距离公式可得B正确；由几何关系找到各外接球圆心位置求出半径可得C错误；设，求出平面的法向量，再由可得D正确.
【详解】
因为面所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
又面，，点为的中点，点为的中点，
则，
由中点坐标公式可得，
对于A，，，
所以，即，故A正确；
对于B，设平面的法向量为，
由可得，
令，可得，
又，
所以点到平面的距离为，故B正确；
对于C，因为面，所以三棱锥的外接球的球心为中点，
又，所以其外接球半径为；
因为，，，
所以，
又面所以三棱锥的外接球的球心为的中点，
，所以其外接球半径为，
所以外接球半径之比为，故C错误；
对于D，设，，则，，
设平面的法向量为，
，
由可得，
令，则，
因为，解得，
所以，故D正确.
故选：ABD
18．（24-25高二上·重庆·期中）已知棱长为2的正方体中，为的中点，为上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A．平面B．
C．与的距离是D．动点的轨迹长为
【答案】ACD
【难度】0.4
【知识点】异面直线距离的向量求法、空间位置关系的向量证明、立体几何中的轨迹问题、证明线面平行
【分析】利用线面平行判定定理即可判断A正确，再由向量数量积的坐标表示计算可得B错误，利用异面直线间的距离的向量求法计算可得C正确，求出动点的轨迹即可得其长度为，可得D正确.
【详解】根据题意以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
设，易知，
易知；
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，
可得法向量，
由平面可得，即可得；
因此可得即为，即点在直线上，
对于A，由正方体性质可得，又平面，平面，
所以平面，即A正确；
对于B，又，可得，
显然，即B错误；
对于C，又，，
设与都垂直的向量为，可得，
令，可得，即，
又，所以与的距离为，即C正确；
对于D，由点在直线上且为上的动点，设点
连接交于点，因此动点的轨迹为线段，易知;
所以，即动点的轨迹长为，所以D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正方体性质建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量表示求得点动点的轨迹所在位置，即可得出异面直线间的距离以及轨迹长度.
题型七 利用空间向量证明平行和垂直（共6小题）
1．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点．
(1)设平面平面，若P为的中点，求证：；
(2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【难度】0.65
【知识点】空间位置关系的向量证明、证明线面平行、空间线段点的存在性问题、线面平行的性质
【分析】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可；
（2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可.
【详解】（1）证明：设的中点为，连接，
因为P为的中点，Q为的中点，
所以，，，
在直三棱柱中，，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以.
（2）在直三棱柱中，平面，，
故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
则，，
又，则，
所以，
若平面，则，
则，解得，
所以线段上存在点P，使得平面，此时.
2．（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．

(1)求证：：
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【难度】0.85
【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标运算
【分析】（1）通过建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即得证；
（2）先求出平面的法向量，由和平面即可推得平面.
【详解】（1）

如图建立空间直角坐标系，
则，
则，
由，
可得，得证.
（2）设平面的法向量为，因，
则，令，可得，
因，故得，
又平面，所以，平面.
3．（24-25高三上·山东青岛·期中）如图，在三棱锥中，为在平面内的射影点，已知，，，，.
(1)请以、为基底表示，并证明.
(2)求证平面.
【答案】(1)，证明见解析
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】空间向量数乘运算的几何表示、空间位置关系的向量证明、空间向量加减运算的几何表示、证明线面垂直
【分析】（1）平面中：延长到，使；延长到，使，可得点为的重心，利用向量的运算可用、表示，利用数量积运算可证明；
（2）由条件可证得平面，得；利用向量的运算求得，，进而得，利用勾股定理证得，然后利用线面垂直的判定定理证得结论．
【详解】（1）如图：
平面中：延长到，使；延长到，使.
因为，所以，
所以点为的重心.
所以
，
所以.
又因为，
即.
因为
.
所以.
（2）如图：
因为平面，平面，所以；
又，，平面，，所以平面，
又平面，所以.
又因为，
所以，
所以；
在中，，，所以.
又，
所以，
所以.
在中，，，所以.
在中，，，，
因为，所以.
又，平面，，所以平面.
4．（24-25高二下·四川泸州·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，点Q为棱PC上一点．
(1)证明：平面；
(2)当二面角的余弦值为时，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法、已知面面角求其他量
【分析】（1）在四棱锥中由勾股定理计算可证明，，结合线面垂直判定定理可得出结论；
（2）建立空间直角坐标系分别求出平面和平面的法向量，设，再利用二面角的余弦值解方程可得.
【详解】（1）在四棱锥中，
由，，，，
得，，
则，，
又，且，平面，
所以平面．
（2）由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：
则，
可得，，，
设（），则，
设平面的法向量，
则，令，得，
设平面的法向量为，
由，解得，令，，得，
由二面角的余弦值为，得，
即，整理得，解得，
所以．
5．（24-25高二下·云南玉溪·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为棱上的一点.

(1)当为的中点时，求证：平面平面；
(2)当平面和平面所成的角的余弦值为时，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明面面垂直、已知面面角求其他量
【分析】（1）先证明平面，再证明平面，最后利用面面垂直的判定定理即可；
（2）以为原点，设，再分别求平面和平面的法向量为，再通过即可求出.
【详解】（1）因平面，平面，则，
又因底面为正方形，则，
因，平面，则平面，
又平面，则，
因，为的中点，则，
因平面，则平面，
因平面，则平面平面.
（2）以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，可设，
则 ，
则，
则，
设平面的法向量为，平面的法向量，
则，，
令，则，，
因平面和平面所成的角的余弦值为，
则，得，
则.

6．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，.
(1)取线段中点，连接，证明：平面；
(2)求到平面的距离；
(3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、面面垂直证线面垂直、点到平面距离的向量求法、已知面面角求其他量
【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，利用到平面的距离的向量公式即可求解.
（3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解．
【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，
由为的中点，且，，得，，
则四边形为平行四边形，，而平面，平面，
所以平面．
（2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，由，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
设平面的法向量为，则，取，得，
又，所以到平面的距离.
（3）令，
，，
设平面的法向量为，则，
取，得，平面的法向量为，
于是，
化简得，又，解得，即，
所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，.
题型八 异面直线夹角的向量求法（共3小题）
1．（25-26高二上·全国·期中）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．不存在点，使得异面直线与所成的角为
C．当点运动到中点时，平面的法向量可以为
D．三棱锥体积的取值范围为
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】求平面的法向量、点到平面距离的向量求法、锥体体积的有关计算、异面直线夹角的向量求法
【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，假设存在点使得，利用向量数量积为0求出可判断A；假设存在点，使得异面直线与所成的角为，由向量夹角公式计算可判断B；求出平面的法向量可判断C；对于D，方法一 利用向量法求出点到平面距离，再求三棱锥的体积可判断D；方法二 利用等体积可判断D．
【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
对于A，假设存在点，使得，
因为，，所以，
解得，不合题意，故A错误；
对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，
因为，，
所以，
解得，不符合，
则不存在点，使得异面直线与所成的角为，故B正确；
对于C，当点运动到中点时，，又，，
所以，，
设是平面的法向量，
则，令，则，故C正确；
对于D，方法一 因为，，
所以，
，则
，
设是平面的法向量，则，
令，则，设，
则，
则点到平面的距离，
则三棱锥的体积为，
因为，所以，故D正确．
方法二 设，则，
因为，
，
点到平面的距离，
所以，因为，
所以，故D正确．
故选：BCD.
2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）如图，在正三棱柱中，，为的中点．
(1)求点到直线的距离；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】点到平面距离的向量求法、异面直线夹角的向量求法
【分析】（1）取的中点，连接，即可证明平面，建立空间直角坐标，利用空间向量法求出点到直线的距离；
（2）求出直线与的方向向量，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）取的中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱，
所以为正三角形，所以,
又平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面，所以平面，
以为坐标原点，直线，分别为，轴，在面内过作的平行线作为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
所以，，
所以，，
，
则点到直线的距离.
（2）因为，．
所以．
所以异面直线与BD所成角的余弦值为．
3．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点．
(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)求直线到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】平行平面距离的向量求法、异面直线夹角的向量求法
【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可；
（2）利用向量法求线面距离作答即可.
【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
所以直线与所成角的余弦值为.
（2）由（1）知，，，，，
显然，所以，
而平面，平面，于是平面，
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以点到平面的距离为，
所以直线FC到平面的距离是.
题型九 利用空间向量求线线角（共3小题）
1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方体的棱长为2，分别为的中点，求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】异面直线夹角的向量求法
【分析】首先将异面直线的方向向量运用向量的线性运算表示出来，然后计算它们的数量积和向量的模，最后利用异面直线夹角的余弦公式求得答案.
【详解】根据题意可知，.
所以.
因为，，，，
所以，.
所以.
根据勾股定理可得，，
所以异面直线所成角的余弦值为：
.
2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）如图，在正三棱柱中，，为的中点．
(1)求点到直线的距离；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】异面直线夹角的向量求法、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）取的中点，连接，即可证明平面，建立空间直角坐标，利用空间向量法求出点到直线的距离；
（2）求出直线与的方向向量，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）取的中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱，
所以为正三角形，所以,
又平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面，所以平面，
以为坐标原点，直线，分别为，轴，在面内过作的平行线作为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
所以，，
所以，，
，
则点到直线的距离.
（2）因为，．
所以．
所以异面直线与BD所成角的余弦值为．
3．（24-25高二下·江苏淮安·期中）如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，，点E，F分别为棱AB、的中点．
(1)求直线与直线AF的夹角的余弦值；
(2)求点F到平面的距离．
【答案】(1)
(2)．
【难度】0.65
【知识点】异面直线夹角的向量求法、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与直线AF的夹角的余弦值；
（2）求得平面的法向量，利用空间向量法可求得点F到平面的距离.
【详解】（1）因为丄平面ABC，AB⊥AC，以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，则A(0,0,0)、、E(1,0,0)、F(1,0,2)，
所以，，，
，
所以，直线与直线AF的夹角的余弦值为．
（2）易知，，，
设平面的法向量为，
则，取x=2，可得，
所以平面的一个法向量为，
且，所以，点F到平面的距离为．
题型十 利用空间向量求线面角（共3小题）
1．（2025·重庆·一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点在棱上，且直线与所成的角为．
(1)证明：点为棱的中点；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】线面角的向量求法、已知线线角求其他量
【分析】（1）建系标点，设，根据直线与的交点求得，即可得结果；
（2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角.
【详解】（1）以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系．
不妨设，则．
设，则，
可得，
由题意可得，
整理可得，解得，
所以点为棱的中点．
（2）由（1）可得：，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得．
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
2．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点．
(1)证明：直线平面；
(2)求直线PB与平面所成的角的正切值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【难度】0.65
【知识点】空间位置关系的向量证明、证明线面平行、线面角的向量求法
【分析】（1）取AD中点O，连结PO，FO，以O为原点，OA为x轴，OF为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面；
（2）求出直线PB的方向向量和平面的法向量，利用向量法即可求出直线PB与平面所成角的正切值.
【详解】（1）取AD中点O，连接，
在四棱锥中，，则，
由，则，有，
又平面底面，平面底面，平面，
∴平面，平面，则，
又分别为的中点，底面是边长为a的正方形，则，
所以两两垂直，以O为原点，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
，
则，取平面PAD的法向量为，
所以，且平面，
所以平面；
（2）由（1）知：，取平面的法向量，
设直线PB与平面所成的角为θ，
则，
∴，故，
∴直线PB与平面所成的角的正切值为．
3．（24-25高三下·云南·期中）如图，在六面体 中，平面 平面 ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 平面 ，，，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法
【分析】（1）设，中点分别为，，由面面平行性质定理证明，再证明，，由此证明，由平行的传递性证明，再由线面平行判定定理证明结论；
（2）结论空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论.
【详解】（1）设，中点分别为，，连接，；
由于平面平面，平面平面，
平面平面，
所以，
又是的中点，则，
由于，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
同理，可得
又，所以．
所以确定平面，又平面平面，
平面平面，
所以，
由于是的中位线，则，
所以，
而平面，平面，
所以平面．
（2）在中，因为，，，
所以，则．
由于平面，
所以以为原点，、、分别轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
，所以，
取，则，
所以为平面的一个法向量．
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
题型十一 利用空间向量求面面角（共3小题）
1．（24-25高二下·天津·期中）在如图所示的几何体中，四边形是菱形，，四边形是矩形，平面，，，点E为的中点．
(1)求证平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在直线上存在动点P，使得直线与平面所成角的余弦值为求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法、面面角的向量求法
【分析】（1）通过线线平行证明线面平行即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解夹角问题；
（3）设，利用线面角的余弦值求出正弦值，利用空间向量建立等式求出，再利用空间两点间的距离公式进行求解．
【详解】（1）设与交于点，连接
四边形是菱形，是矩形，
所以且，且，
则且，
四边形是平行四边形，则是的中点．
是的中点，
，平面，平面，
平面．
（2）连接，由四边形是菱形，，
为正三角形，
又是的中点，得，即，
平面，、平面，
，，
以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示
则，，，，，
得，，，
设平面的一个法向量为
则
令，得，，
平面的一个法向量为，
令，得，，，
得，
平面与平面所成角的余弦值为；
（3）设，且，
由（2）知平面的法向量为，
设直线与平面的所成角为，则，
所以，
解得或，
或．
2．（24-25高二下·北京延庆·期中）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
(3).
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法、面面角的向量求法
【分析】（1）只需证明，然后结合线面平行的判定定理即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由公式即可求解；
（3）容易知道是平面的一个法向量，由公式结合二面角是钝角即可求解.
【详解】（1）连接，设，连接.
因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，
所以为的中点.
因为为的中点，
所以.
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为，，平面，
所以平面，平面，所以.
又，所以，，两两相互垂直.
如图建立空间直角坐标系.
则，，，，.
所以，.
设平面的法向量为，则即
令，则，.于是.
因为
所以.
直线与平面所成角的正弦值为.
（3）因为平面，
所以是平面的一个法向量.
所以.
由题设，二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
3．（25-26高二上·全国·期中）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则 ．

【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知面面角求其他量
【分析】以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据二面角的平面角为60°建立方程求解即可．
【详解】因为底面，，底面，所以，，
又为直角，所以两两垂直．
以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
因为为的中点，所以，所以，．设为平面的法向量，则
令，得．易知，平面的一个法向量为．
由题意，二面角的平面角为60°，则，解得．
故答案为：.

题型十二 利用空间向量求点到平面的距离（共3小题）
1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】求平面的法向量、点到平面距离的向量求法、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示
【分析】建立适当的空间直角坐标系，因为位于的同侧，设关于平面的对称点为，根据求解.
【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，．
设A关于平面的对称点为，，
则，．
设平面的法向量，则，
令，则，，所以，
所以A与到平面的距离，
即 ①．
又，所以，即 ②．
由①②得，由可得，，，
所以，
所以，
当且仅当，，三点共线时取等号，
所以的最小值为．
故选：C.
2．（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、点到平面距离的向量求法
【分析】连接，设，连接，证明平面，再以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】连接，设，连接，
由，得，所以，
因为底面是菱形，所以，
又因为，且，在平面内，
所以平面，
在中，，，所以，
如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
故，，，
设平面的法向量为，
则有，令，得，
所以点到平面的距离.
故选：C.
3．（24-25高三上·四川·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，且，侧面是正三角形，侧面底面，E为中点，作交于F．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)在平面内是否存在点Q．使得，若存在，求动点Q的轨迹长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)不存在，理由见解析.
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、点到平面距离的向量求法、空间线段点的存在性问题、面面角的向量求法
【分析】（1）由面面垂直的性质得面，进而有，且，最后根据线面垂直的判定，面面垂直的判定及性质证结论；
（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值；
（3）问题化为判断以为直径的球体与平面是否存在交线，结合点面距离判断中点与面的距离与的大小，即可判断.
【详解】（1）由侧面底面，侧面底面，面，
又底面是直角梯形，，故，
所以面，面，则，
由侧面是正三角形，E为中点，则，
而且都在面内，则面，面，
所以面面，而，面面，面，
所以平面.
（2）依题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，，
所以，，
令是面的一个法向量，则，
令，则，
令是面的一个法向量，则，
令，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值.
（3）由，即，故点在以为直径的球体与平面的交线上，
又，其中点坐标为，则，
由（1）（2）知，是面的一个法向量，
所以到面的距离，
所以以为直径的球体与平面不相交，故不存在使.
题型十三 利用空间向量求面到面的距离（共2小题）
1．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】平行平面距离的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，
所以,
设平面的法向量为，则
，令，则，
因为，平面，平面，
所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离，
所以直线到平面的距离为 .
故选：D.
2．（24-25高二上·四川自贡·阶段练习）在棱长为的正方体中，求
(1)直线与平面所成的角；
(2)求平面与平面的距离；
(3)求三棱锥外接球的表面积；
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】多面体与球体内切外接问题、平行平面距离的向量求法、线面角的向量求法
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求得线面角；
（2）先证平面平面，将面到面的距离转化为点到面的距离，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出点到面的距离即可；
（3）根据补形法确定三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求出正方体外接球半径，即可求得结果.
【详解】（1）
建立如图所示，以为坐标原点，
、、分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，
根据题意有：，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
所以，即，令，则有，
所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则有，又因为，
所以
（2）
连接、、、、、，
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面；同理可证平面，
又，平面，
所以平面平面；
因为，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，，
令，可得，
则为平面的一个法向量，
所以平面与平面的距离.
（3）根据补形法可知三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
设三棱锥的外接球半径为，则，
所以，所以三棱锥的外接球的表面积为.
题型十四 利用空间向量求点到直线或异面直线之间的距离（共4小题）
1．（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】点到直线距离的向量求法
【分析】由空间中点到直线的距离的向量求法求解即可.
【详解】依题意，得，．
因此在上得投影长为，
所以点到直线的距离为．
故选：B．
2．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】异面直线距离的向量求法
【分析】连接，，可得且交于，再由面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，
所以面，
连接，，则且交于.
因为 面，
所以，.
所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，
则，，，，，
所以，.
设异面直线与的公垂线方向向量为，
则有 ，即，取.
又因为，
所以异面直线与的距离.
所以异面直线与的距离为.
故选：B
3．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是
【答案】/0.5
【难度】0.65
【知识点】异面直线距离的向量求法、求二次函数的值域或最值
【分析】利用二面角的定义证得就是二面角的平面角，即为，再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元二次函数的图象与性质运算即可得解.
【详解】连接，如下图，

由题意，，，正方形中，
正方形中，平面，平面，
平面平面，
∴就是二面角的平面角，则，
∴向量与向量夹角为，且，，
设，，，则，
且由题意，
∴，
，
∴，
令，，图象开口向上，且对称轴为，
∴当时，取得最小值，
即最小值为，
∴的最小值是.
故答案为：.
4．（24-25高二上·辽宁·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为 .
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】异面直线距离的向量求法、空间向量数量积的应用
【分析】连接，，设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
求出与，都垂直的向量为，利用即可求.
【详解】

连接，，设，
由题意，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，
，，.
设与，都垂直的向量为，
则，即，
令，则，，
所以为与，都垂直的一个向量，
则线段的长度的最小值为.
故答案为：
题型十五 空间线段点的存在性问题（共4小题）
1．（24-25高二下·广东深圳·期中）图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，且
【难度】0.65
【知识点】证明面面垂直、已知线面角求其他量、空间线段点的存在性问题
【分析】（1）利用勾股定理可证得，，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）假设在线段上存在点，使平面与平面所成的角为，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论.
【详解】（1）翻折前，是边长为的等边三角形，
因为，，．
由余弦定理得．
因为，所以，折叠后有．
在四棱锥中，连接，如下图所示：
在中，，，，
由余弦定理可得，
因为，，所以，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，故平面平面.
（2）翻折前，翻折后，则有，又平面，
以为原点，以点、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
过作交于点，
设，则，，，
易知，，，所以.
因为平面，所以平面的一个法向量为，
因为直线与平面所成的角为，
所以，解得.
所以，满足，符合题意.
所以在线段上存在点P，使直线与平面所成的角为，此时.
2．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．
(1)求线段的长度；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点
【难度】0.65
【知识点】线面角的向量求法、面面垂直证线面垂直、点到平面距离的向量求法、空间线段点的存在性问题
【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度；
（2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值；
（3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论.
【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以；
因为平面平面，又平面平面，又面，
所以平面；取边的中点记为，则；
以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，所以；
（2）由（1），，，，
所以，，，
记平面的法向量为，
所以，
不妨取，得，
所以为平面的一个法向量；
记直线与平面的所成角为，
则，
所以，直线与平面的所成角的正弦值为；
（3）设，其中，
，，
，，
，
记平面的一个法向量为，
则有，
不妨取，解得，
即；
则点到平面的距离，
整理得：即，
解得或（舍去），
所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为．
3．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）,（ii）存在，
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、空间线段点的存在性问题、面面角的向量求法
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可根据线面平行的判定定理证明结论；
（2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解；
（ii）设，，根据点面距离的向量法即可求出，进而求出的值．
【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示：
为棱的中点，
，，，，，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面；
（2），，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
又，平面，，，由，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，，，
（i）故，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，，
平面的一个法向量为,

则，令，则，，故，
,，
由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为；
（ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是，
设，，则,0,，0,，
由（2）知平面的一个法向量为,,，
，
点到平面的距离是，
，．
4．（24-25高二上·四川泸州·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为.
(1)求证：平面；
(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(3)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【难度】0.65
【知识点】求点面距离、证明线面垂直、点到平面距离的向量求法、空间线段点的存在性问题
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得；根据线面垂直的判定与性质可得，结合菱形对角线互相垂直和线面垂直判定定理可证得结论；
（2）方法一：以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据点面距离的向量求法可求得结果；
方法二：取的中点，作，，根据平行关系可将所求距离转化为点到平面的距离，由平面，结合长度关系可求得结果；
（3）方法一：设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结论；
方法二：假设存在点，根据二面角平面角的定义可知，由长度关系可求得结果.
【详解】（1）连接，，
为等边三角形，为中点，；
由题意知：平面，又平面，，
，平面，平面，
平面，；
四边形为平行四边形，，
四边形为菱形，，
分别为中点，，，
又，平面，平面.
（2）方法一：由（1）知：平面，；
则以为坐标原点，正方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
点到平面的距离；
方法二：取的中点，连接，过作交于，
过作分别交的延长线于，则分别是的中点，
，平面，平面，平面，
点到平面的距离等于点到平面的距离；
由（1）得：，平面，
平面，是直角三角形，
在菱形中，易得，，，
，，
即点到平面的距离为.
（3）方法一：，，，
设，，，
；
由（2）知：平面的一个法向量；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，解得：（舍）或，
此时，
在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时；
方法二：假设存在点满足题意，取的中点，连接，
过作交于，连接，
，平面， 又由（1）得：，，
二面角的平面角为，；
在菱形中，作，
，，
，
为直角三角形，，，
在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时.