【数学】河北省保定市部分高中2026届高三上学期开学考试试题（学生版+解析版）

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3D. 6
4. 已知是抛物线上两点，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
5. 下列区间中，函数存在零点的是（ ）
A. B. C. D.
6. 圆上的点到直线的距离可能为（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
7. 我们称各个数位上的数字之和为8的三位数为“幸运数”，例如107和224，则所有的“幸运数”共有（ ）
A. 66个B. 55个C. 36个D. 28个
8. 在中，是关于的方程的两个实数根，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 现有一组数据，则（ ）
A. 该组数据的极差为70
B. 该组数据的众数为30
C. 该组数据的第60百分位数为40
D. 该组数据的平均数为60
10. 已知函数的最小正周期为，且，则（ ）
A.
B.
C. 在上恰有4个零点
D. 将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象
11. 如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形，其中，.现将沿着折起，连接，得到三棱锥，取的中点分别为，连接.下列结论正确的是（ ）
A.
B. 直线与所成角的最大值为
C. 若，则三棱锥外接球的半径为
D. 若，则直线与平面所成的角为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量.若，则__________.
13. 已知为坐标原点，为双曲线的左焦点，过且斜率为的直线与在第二象限交于点，线段的中点为.若，则的离心率为__________.
14. 已知是定义域为的奇函数，的导函数为，且当时，恒成立.若关于的方程有解，则正实数的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16. 如图，在正三棱柱中，，是的中点.
（1）证明：平面.
（2）求点到平面的距离.
17. 某新能源汽车门店为了解某款汽车的销售情况，将每个月的销售量（单位：辆）进行等级划分：若当月的销售量在内，则等级为“良”；若当月的销售量在内，则等级为“优”；若当月的销售量在内，则等级为“特优”.已知该门店该款汽车2024年每个月的销售量如表所示.
（1）求2024年月销售等级为“特优”的频率.
（2）若从2024年任选两个月的销售情况进行分析，求至少有一个销售等级为“良”的月份被选中的概率.
（3）为了鼓励销售团队，销售等级为“良”“优”“特优”的月份销售团队将分别获得5万元、10万元、20万元的奖金.以2024年各销售等级的频率代替2026年各销售等级的概率，记销售团队2026年某两个月获得的总奖金为万元，求的分布列与期望.
18. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上单调递减，求的取值范围；
（3）若，证明：.
19. 已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为，记的运动轨迹为曲线.
（1）求的方程.
（2）设、是与轴的交点，是上异于、的一点，直线、的斜率分别为、.证明：为定值.
（3）已知为坐标原点，点，、是上异于A的两点，若直线与的斜率之和为，求的面积的最大值.
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
销售量
65
23
31
42
52
28
37
45
44
51
25
38