河北省保定市部分高中2026届高三上学期开学考试数学试题

这是一份河北省保定市部分高中2026届高三上学期开学考试数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z1=2−i，z2=3+6i，则z1−z2=( )
A. −1−7iB. 1+7iC. 5+5iD. 5−5i
2.已知集合A={x|x+3>1}，B={−3,−2,0,1,2}，则A∩B=( )
A. {−3,−2}B. {1,2}C. {0,1,2}D. {−2,0,1,2}
3.已知实数a，b满足a+2b=1，则3a+9b的最小值为( )
A. 3B. 2 3C. 3D. 6
4.已知A(m,2)，B(m+3,4)是抛物线y2=2px(p>0)上两点，则p=( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
5.下列区间中，函数f(x)=3x+1,x≤1,lg3(3x−3)−2,x>1存在零点的是( )
A. (2,3)B. (1,2)C. (0,1)D. (−1,0)
6.圆x2+y2=2上的点到直线3x−4y−10=0的距离可能为( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
7.我们称各个数位上的数字之和为8的三位数为“幸运数”，例如107和224，则所有的“幸运数”共有( )
A. 66个B. 55个C. 36个D. 28个
8.在△ABC中，tanA，tanB是关于x的方程x2−3mx− 3m+1=0的两个实数根，则( )
A. m 33C. tanC= 3D. tanC=− 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.现有一组数据10，20，30，30，50，60，80，则( )
A. 该组数据的极差为70B. 该组数据的众数为30
C. 该组数据的第60百分位数为40D. 该组数据的平均数为60
10.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|0,b>0)的左焦点，过F且斜率为 3的直线与W在第二象限交于点P，线段PF的中点为Q.若|OQ|=2a，则W的离心率为 .
14.已知f(x)是定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)的奇函数，f(x)的导函数为f′(x)，且当x0恒成立.若关于x的方程f(1−ax)=f( −x)有解，则正实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=−175，a6=−29.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=6， D是AB的中点.
(1)证明：BC1//平面A1CD.
(2)求点C1到平面A1CD的距离.
17.(本小题15分)
某新能源汽车门店为了解某款汽车的销售情况，将每个月的销售量(单位：辆)进行等级划分：若当月的销售量在(0,30]内，则等级为“良”;若当月的销售量在(30,50]内，则等级为“优”;若当月的销售量在(50,+∞)内，则等级为“特优”.已知该门店该款汽车2024年每个月的销售量如表所示.
(1)求2024年月销售等级为“特优”的频率.
(2)若从2024年任选两个月的销售情况进行分析，求至少有一个销售等级为“良”的月份被选中的概率.
(3)为了鼓励销售团队，销售等级为“良”“优”“特优”的月份销售团队将分别获得5万元、10万元、20万元的奖金.以2024年各销售等级的频率代替2026年各销售等级的概率，记销售团队2026年某两个月获得的总奖金为X万元，求X的分布列与期望.
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx−ex−m.
(1)若m=0，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在(1,+∞)上单调递减，求m的取值范围;
(3)若m≤2，证明：f(x)−2}，B={−3,−2,0,1,2}。
所以A∩B={0,1,2}.
故选：C。
3.【答案】B
【解析】解：依题意，a，b∈R，3a>0，9b>0，
由a+2b=1，得3a+9b=3a+32b≥2 3a+2b=2 3，
当且仅当3a=32b即a=2b=12时取等号，
所以3a+9b的最小值为2 3.
故选：B
4.【答案】B
【解析】解：由A(m,2)，B(m+3,4)在抛物线上y2=2px(p>0)上，
可得4=2pm16=2p(m+3)，解得m=1p=2
故选：B.
5.【答案】A
【解析】解：当x≤1时，f(x)=3x+1>1≠0，不存在零点.
当x>1时，f(x)=lg3(3x−3)−2，由f(x)=0，可得3x=12.
因为32=912，所以f(x)的零点在区间(2,3)内.
故选：A.
6.【答案】D
【解析】解：解：由圆x2+y2=2，圆心(0,0)，半径为 2，
由题可知，圆心(0,0)到直线3x−4y−10=0的距离d=|−10| 32+(−4)2=2> 2，
则圆上的点到直线的距离的取值范围为[2− 2,2+ 2].
故选D.
7.【答案】C
【解析】解：当首位数字为1时，后两位相加为7，“幸运数”分别是116，161，125，152，134，143，107，170，共8个；
当首位数字为2时，后两位相加为6，“幸运数”分别是206，260，215，251，224，242，233，共7个；
当首位数字为3时，后两位相加为5，“幸运数”分别是305，350，314，341，323，332，共6个；
当首位数字为4时，后两位相加为4，“幸运数”分别是404，440，413，431，422，共5个；
当首位数字为5时，后两位相加为3，“幸运数”分别是503，530，512，521，共4个；
当首位数字为6时，后两位相加为2，“幸运数”分别是602，620，611，共3个；
当首位数字为7时，后两位相加为1，“幸运数”分别是701，710，共2个；
当首位数字为8时，后两位相加为0，“幸运数”是800，共1个.
因此，所有的“幸运数”共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36 个.
故选：C.
8.【答案】D
【解析】解：由题可得tanA+tanB=3mtanA⋅tanB=− 3m+1，
则tan(A+B)=tanA+tanB1−tanA⋅tanB= 3，
则tanC=−tan(A+B)=− 3，
所以C为钝角，则A，B均为锐角，
所以3m>0− 3m+1>0(−3m)2−4(− 3m+1)≥0，
解得2 39≤m< 33.
故选：D.
9.【答案】AB
【解析】解：选项A：极差=最大值-最小值=80−10=70，正确；
选项B：众数是出现次数最多的数，30出现2次(其他数各出现1次)，故众数为30，正确；
选项C：第60百分位数计算：数据共7个，位置i=7×60%=4.2，向上取整为第5个数，排序后第5个数是50，故第60百分位数为50，错误；
选项D：平均数=10+20+30+30+50+60+807=2807=40，错误.
故选：AB.
10.【答案】BD
【解析】解：因为f(x)的最小正周期为2π，所以ω=2π2π=1，A不正确.
由∀x∈R,f(x)≤fπ6，得π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，则φ=π3+2kπ,k∈Z，
因为|φ|0，则a=−1t2+1t=−(1t−12)2+14≤14，
所以正实数a的取值范围为(0,14].
15.【答案】解：(1)设{an}的公差为d，
由S5=−175，a6=−29，
可得5a1+10d=−175a1+5d=−29，解得a1=−39d=2，
则an=a1+(n−1)d=2n−41.
(2)由(1)可知，当n≤20时，an20时，an>0，则an=an，
则Tn=−a1−a2−⋯−a20+a21+a22+⋯+an
=Sn−2S20
=n2−40n+800.
故Tn=−n2+40n,n≤20,n2−40n+800,n>20.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：(1)证明：连接AC1并与A1C交于点O，连接OD.
在正三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形ACC1A1为矩形，
则O是AC1的中点.
因为D是AB的中点，所以OD//BC1.
又BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，
所以BC1//平面A1CD.
(2)由(1)可知BC1//平面A1CD，
所以点C1到平面A1CD的距离等于点B到平面A1CD的距离，
因为三棱柱ABC−A1B1C1为正三棱柱，所以AA1⊥平面ABC.
又CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD.
因为D是AB的中点，所以CD⊥AB.
因为AA1∩AB=A，且AA1，AB⊂平面ABB1A1，
所以CD⊥平面ABB1A1，
由AB=AA1=6，可得CD=3 3，A1D=3 5，S△A1CD=12×3 3×3 5=9 152.
连接A1B，则VA1−BCD=13S△BCD⋅AA1=13×12×3×3 3×6=9 3，
设点B到平面A1CD的距离为d，
则VB−A1CD=13S△A1CD⋅d=3 152d，
由VA1−BCD=VB−A1CD，得3 152d=9 3，
解得d=6 55，即点C1到平面A1CD的距离为6 55.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：(1)由题可知，2024年中1月、5月、10月的销售等级均为“特优”，
故2024年月销售等级为“特优”的频率为312=14.；
(2)由题可知，2024年2月、6月、11月的销售等级均为“良”，
从2024年中任选两个月的销售情况进行分析，
则至少有一个销售等级为“良”的月份被选中的概率为P=C31C91+C32C122=511；
(3)由题可知，2024年，有6个月的销售等级为“优”，
从而每个月的销售等级为“良”“优”“特优”的概率分别为14，12，14，
X的可能取值为10，15，20，25，30，40，
且P(X=10)=(14)2=116，
P(X=15)=C21×14×12=14，
P(X=20)=(12)2=14，
P(X=25)=C21×14×14=18，
P(X=30)=C21×12×14=14，
P(X=40)=(14)2=116，
则X的分布列为
E(X)=10×116+15×14+20×14+25×18+30×14+40×116=452.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：(1)由m=0，得f(x)=lnx−ex(x>0)，则f′(x)=1x−ex，
则f(1)=−e，f′(1)=1−e，
从而曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+e=(1−e)(x−1)，
即(e−1)x+y+1=0.
(2)由f(x)=lnx−ex−m，得f′(x)=1x−ex−m.
因为f(x)在(1,+∞)上单调递减，
所以f′(x)≤0在(1,+∞)上恒成立.
令g(x)=1x−ex−m，则g′(x)=−1x2−ex−m，
显然g′(x)0，h(x)单调递增，
当x∈(1,+∞)时，h′(x)0，得0≤t2