河北省保定市部分重点高中2026届高三上学期开学考试 数学试卷（含答案）

这是一份河北省保定市部分重点高中2026届高三上学期开学考试 数学试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 圆上的点到直线的距离可能为， 现有一组数据，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为，所以.
故选：A.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】依题意，，而，所以.
故选：C
3. 已知实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】B
【详解】依题意，，，
由，得，当且仅当3a=32b即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
4. 已知是抛物线上两点，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【详解】由Am,2,Bm+3,4在抛物线上上，
可得4=2pm,16=2pm+3,解得m=1,p=2.
故选：B.
5. 下列区间中，函数fx=3x+1,x⩽1,lg33x-3-2,x>1存在零点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】当时，fx=3x+1>1≠0，不存在零点.
当时，fx=lg33x-3-2，由，可得.
因为，所以的零点在区间内.
故选：A.
6. 圆上的点到直线的距离可能为（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】D
【详解】由圆，圆心，半径为，
由题可知，圆心到直线的距离，
则圆上的点到直线的距离的取值范围为.
故选：D.
7. 我们称各个数位上的数字之和为8的三位数为“幸运数”，例如107和224，则所有的“幸运数”共有（ ）
A. 66个B. 55个C. 36个D. 28个
【答案】C
【详解】当首位数字为1时，后两位相加为7， “幸运数”分别是116,161,125,152,134,143,107,170，共8个；
当首位数字为2时，后两位相加为6， “幸运数”分别是206,260,215,251,224,242,233，共7个；
当首位数字为3时，后两位相加为5，“幸运数”分别是305,350,314,341,323,332，共6个；
当首位数字为4时，后两位相加为4，“幸运数”分别是404,440,413,431,422，共5个；
当首位数字为5时，后两位相加为3，“幸运数”分别是503,530,512,521，共4个；
当首位数字为6时，后两位相加为2，“幸运数”分别是602,620,611，共3个；
当首位数字为7时，后两位相加为1，“幸运数”分别是701,710，共2个；
当首位数字为8时，后两位相加为0，“幸运数”是800，共1个.
因此，所有的“幸运数”共有个.
故选：C.
8. 在中，是关于的方程的两个实数根，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】由题可得tanA+tanB=3m,tanA⋅tanB=-3m+1,则，
则，所以为钝角，则均为锐角，
所以3m>0,-3m+1>0,(-3m)2-4-3m+1≥0,
解得239≤m20.
【小问1详解】
设的公差为.
由，
可得5a1+10d=-175,a1+5d=-29,
解得a1=-39,d=2,
则.
【小问2详解】
由（1）可知，当时，，则，
则.
当时，，则，
则.
故Tn=-n2+40n,n≤20,n2-40n+800,n>20.
16. 如图，在正三棱柱中，，是的中点.

（1）证明：平面.
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】

证明：连接并与交于点，连接.
在正三棱柱中，四边形为矩形，
则是的中点.
因为是的中点，所以.
又平面平面，
所以平面.
小问2详解】
由（1）可知平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离.
因为三棱柱为正三棱柱，所以平面.
又平面，所以.
因为是的中点，所以.
因为，所以平面.
由，可得.
连接，则.
设点到平面的距离为，
则.
由，得，
解得，即点到平面的距离为.
17. 某新能源汽车门店为了解某款汽车的销售情况，将每个月的销售量（单位：辆）进行等级划分：若当月的销售量在内，则等级为“良”；若当月的销售量在内，则等级为“优”；若当月的销售量在50,+∞内，则等级为“特优”.已知该门店该款汽车2024年每个月的销售量如表所示.
（1）求2024年月销售等级为“特优”的频率.
（2）若从2024年任选两个月的销售情况进行分析，求至少有一个销售等级为“良”的月份被选中的概率.
（3）为了鼓励销售团队，销售等级为“良”“优”“特优”的月份销售团队将分别获得5万元、10万元、20万元的奖金.以2024年各销售等级的频率代替2026年各销售等级的概率，记销售团队2026年某两个月获得的总奖金为万元，求的分布列与期望.
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析，
【小问1详解】
由题可知，2024年中1月、5月、10月的销售等级均为“特优”，
故2024年月销售等级为“特优”的频率为.
【小问2详解】
由题可知，2024年2月、6月、11月销售等级均为“良”，
从2024年中任选两个月的销售情况进行分析，
则至少有一个销售等级为“良”的月份被选中的概率为
（或）.
【小问3详解】
由题可知，2024年，有6个月的销售等级为“优”，
从而每个月的销售等级为“良”“优”“特优”的概率分别为，
的可能取值为，
且，，，
则的分布列为
.
18. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上单调递减，求的取值范围；
（3）若，证明：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【小问1详解】
由，得，则，则，
从而曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
由，得.
因为在上单调递减，所以在上恒成立.
令，则，
显然在上恒成立，则在上单调递减，即在上单调递减，
则f'1=1-e1-m≤0，解得，
即的取值范围为.
【小问3详解】
由，可得lnx-ex-m≤lnx-ex-2
令，则.
当时，单调递增，当时，单调递减，
则，即，当且仅当时，等号成立.
由，可得，则，当且仅当时，等号成立.
因为上面两个不等式的取等条件不同，所以，
从而当时，.
19. 已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为，记的运动轨迹为曲线.
（1）求的方程.
（2）设、是与轴的交点，是上异于、的一点，直线、的斜率分别为、.证明：为定值.
（3）已知为坐标原点，点A3,12，、是上异于的两点，若直线与的斜率之和为，求的面积的最大值.
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）1
【小问1详解】
设，由题可知，
整理得，即的方程为.
【小问2详解】
因为是与轴的交点，是上异于的一点，
由（1）可知，不妨设M-2,0，N2,0，Qx0,y0x0≠±2，
则.
又Qx0,y0x0≠±2在上，所以，
所以，
故为定值，定值为.
【小问3详解】
若直线的斜率不存在，设Bm,n，Cm,-n-2≤m≤2,-1≤n≤1,m≠3，
因为直线与的斜率之和为，
则，
解得，不符合题意.
若直线的斜率存在，设直线的方程为y=kx+t，Bx1,y1，Cx2,y2，
由，整理得，
则Δ=64k2t2-41+4k24t2-4=164k2-t2+1>0，x1+x2=-8kt1+4k2,x1x2=4t2-41+4k2.
所以kAB+kAC=y1-12x1-3+y2-12x2-3=2kx1x2-3k-t+12x1+x2-23t+3x1x2-3x1+x2+3
，
整理得4k+3t23k+2t-1=0.
若，则直线经过点A3,12，不符合题意.
若，则Δ=44-t2>0，得
又BC=1+k2⋅64k2-16t2+161+4k2，点到的距离，
所以的面积S=12BC⋅d=t64k2-16t2+162+8k2=4t4-t23t2+4
=4-t4+4t23t2+42=43-643t2+42+203t2+4-1=43-64⋅13t2+42+20⋅13t2+4-1.
由，得116