河北省保定市2026届高三上学期摸底考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份河北省保定市2026届高三上学期摸底考试数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．密位制是度量角度的一种方法，我国在航海和军事领域采用的是6000密位制，即把一个周角等分为6000份，每一等份是1密位，则120密位等于（ ）
A．B．C．D．
3．，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数，则（ ）
A．2B．1C． D．3
5．设，则的最小值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
6．已知向量在向量方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．D．4
7．已知为数列的前项和，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数（其中是虚数单位），为的共轭复数，则（ ）
A．的虚部为1
B．
C．在复平面内对应的点位于第四象限
D．是方程的一个复数根
10．把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．
B．在上单调递增
C．对任意成立
D．若方程在上有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为
11．数列满足函数，其中，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．函数，若，则实数的值为 .
13．正四棱台的下底面棱长是上底面棱长的2倍，高为，侧棱长为3，则该四棱台的体积为 .
14．如图，在中，，点在线段上，且，，则当取最小值时，的面积为 .

四、解答题
15．已知数列为等差数列，为数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
16．如图，在直三棱柱中，底面为边长为2的等边三角形，点为线段上一点，且满足.
(1)证明：点为线段中点；
(2)求平面与平面的夹角.
17．如图，平面四边形中，的三个内角的对边分别是，且.
(1)求角；
(2)若，求的面积；
(3)若，求四边形的周长.
18．已知，其中.
(1)当时，求证：是函数的极小值点；
(2)求在上的最小值；
(3)若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
19．函数.
(1)求图象在点处的切线方程；
(2)已知正项数列满足，且.
证明：（i）；
（ii）.
参考答案
1．A
【详解】由题意知，
而，故，
故选：A
2．C
【详解】由题意可得120密位等于.
故选：C
3．B
【详解】由于，，，所以；
故选：B
4．A
【详解】，
设，定义域为R，则，
所以，即，
所以.因为，所以.
故选：A
5．B
【详解】由题设，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为9.
故选：B
6．D
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，
所以，所以，又，
所以，所以.
故选：D.
7．C
【详解】因为，所以，
两式相减可得，
所以，所以，
当时，，
当时，符合的情况，
所以，所以，
所以，
故选：C.
8．B
【详解】，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故选：B.
9．ACD
【详解】已知复数 ，其中 是虚数单位。首先简化 ：
，
因此，，其共轭复数 .
选项 A： ，虚部为 1，故A正确；
选项 B： ，故B错误；
选项 C： ，对应点 位于第四象限，故C正确；
选项 D：代入 得：
满足方程，故D正确.
故选：ACD
10．AC
【详解】由，其图象向左平移，
所以，A对，
由，则，显然在上不单调，B错，
由，
故对任意成立，C对，
由，则，
则在上单调递增且值域为，在上单调递减且值域为，
要使在上有且仅有一个实数根，则，D错.
故选：AC
11．ABD
【详解】因为，
则，
又因为，则，
且，则.
对于选项A：因为，，
可知数列是以首项，公比为的等比数列，
所以，故A正确；
对于选项B：因为，，即，
可得，
可知数列是以首项，公差为的等差数列，
则，即，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，即，
可得
，
所以，故C错误；
对于选项D：因为，且，，
则，
所以，故D正确；
故选：ABD.
12．或
【详解】当时，；
当时，，
综上所述：或.
故答案为：或.
13．
【详解】
设上底面棱长为，则下底面棱长为，
则有，解得，
故该四棱台的体积.
故答案为：.
14．/
【详解】因为，所以，所以，
所以，则，
又，，所以，
即，当且仅当即时等号成立，
此时，由函数在上单调递减知，
故当时，取最大值，取最小值，
此时，
的面积为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
因为，可得，即，
解得，所以，
所以数列的通项公式为
（2）解：由（1）知：，所以，
则
.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）三棱柱为直三棱柱，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为为等边三角形，
所以为线段的中点.
（2）
过点作平面的垂线，并以该直线作为轴，
以为原点，以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，
，，
所以，，，，
，，
，，
设平面的法向量为，
，
则，
设平面的法向量为，
，
则，
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以平面与平面的夹角为.
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为在中，，
故，而，
故，
即，结合，
可得，而；
（2）由于，
故，
则；
又，故，（为锐角）
所以
，
故；
（3）延长交于点E，
因为，故，又，故，
故，故为等腰三角形，则，则；
又，则，
结合，可得∽，
故，
在中，，
即，解得，
又，结合（1）知，
故为正三角形，故，
故四边形的周长为.
18．(1)证明见详解
(2)
(3)
【详解】（1）当时，，函数的定义域为，
则，
∵在上单调递增，在上单调递增，
∴在上单调递增，
∵，
∴当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增，
∴是函数的极小值点.
（2），则，
当时，，∴函数单调递增，
当时，，∴函数单调递减，
当时，，∴函数单调递增，
当时，，∴函数单调递减，
，，，
∴在上的最小值为.
（3）由（2）可知，当时，.
对任意，总存在，使得成立，
即对任意，使得恒成立，
即在上恒成立.
令，则，
由（1）可知在上单调递增，
又∵时，，时，，
故一定存在，使得，
即当时，，单调递减，当时，，单调递增，
∴，
又∵，即，
则恒成立.
令，，
则，，
∴，∴，
即函数在上单调递减，且，
∴，
则
令，，故函数在上单调递减，
∴.
19．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意知，切点，
，
所以，，
所以在点处的切线方程为：.
（2）（i）由题意知，,
要证：等价于
即证：
记
恒成立，
所以函数在上单调递增，
又，
所以恒成立，
所以，
所以,
所以，则成立.
（ii）先证：，
记
则恒成立，
所以在区间上单调递减，
又，所以恒成立，
所以恒成立，
即
所以，
所以，
当时，，
所以；
再证：,
由（i）知
所以，
所以，
所以，
当时，，
所以