【数学】河北省百师联盟2026届高三上学期开学摸底联考试题（学生版+解析版）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，而，
所以.
故选：C.
2. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，，
所以复数的虚部为.
故选：C.
3. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数的定义域为R，且，
则函数是奇函数，图象关于原点对称，选项AD不符合要求；
又，选项C不符合要求，B符合.
故选：B.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以，
解得，
故选：D.
5. 为响应“全民健身+电竞”融合潮流，某电竞馆举办“运动达人电竞赛”，赛前通过简单随机抽样，获得了18名选手1分钟内健身操动作完成数，结合电竞互动得分换算后如下(单位∶分)∶
105 112 118 120 123 125 127 129 130 132 135 137 139 141 143 145 147 150
这18名选手1分钟内健身操动作完成得分的第60百分位数为（ ）
A. 132B. 133.5C. 135D. 136
【答案】C
【解析】由，得第60百分位数应是从小到大排列中的第11个数，即135.
故选：C.
6. 已知圆台的上、下底面面积分别为16π和36π，其侧面积为30π，则圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，圆台的上下底面半径为，设圆台母线为，
由圆台的侧面积为30π，得，解得，
圆台的高，
所以圆台的体积.
故选：A.
7. 已知函数，则的大小关系为(参考数据∶) （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
由，
所以.
故选：A.
8. 已知数列的首项为1，，则数列的前20项和为（ ）
A. 190B. 380C. 210D. 420
【答案】C
【解析】根据，由可得，
，，
由此可归纳通项公式为，
则，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知曲线的方程为，则下列说法中正确的有（ ）
A. 曲线可以是圆
B. 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆
C. 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线
D. 当曲线是椭圆或双曲线时，焦距均为6
【答案】BCD
【解析】由题意曲线的方程为，
显然，所以曲线不可能是圆，A选项错误；
当时，，所以曲线是焦点在轴上的椭圆，B选项正确；
当时，，所以曲线是焦点在轴上的双曲线，C选项正确；
由于恒成立，所以当曲线是椭圆或双曲线时，焦点均在轴，
当曲线是椭圆时，结合选项B可知，，此时，解得，
当曲线是双曲线时，结合选项C可知，，此时，解得，
所以当曲线是椭圆或双曲线时，焦距均为6，D选项正确；
故选：BCD.
10. 设，则下列说法正确的有（ ）
A. 的展开式中所有项的二项式系数的和为
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】A选项，的展开式中所有项的二项式系数的和为，A正确；
B选项，中，令得，B正确；
C选项，中，令得
①，
令得②，
两式①+②得，
即，C正确；
D选项，，
由二项式定理得，
故，，
令得，D错误.
故选：ABC.
11. 关于函数，有下述四个结论，则正确的有（ ）
A. 是的一个周期
B. 的最小值为
C. 在区间上单调递减
D. 在上有4052个零点
【答案】BD
【解析】A选项，，
，
故不是的一个周期，A错误；
B选项，因为，所以，
当时，，故的最小值为，B正确；
C选项，当时，，
，故，
由于在上单调递增，
故在区间上单调递增，C错误；
D选项，的定义域为R，
且，
故为偶函数，
当时，，
由于，
所以时，的一个周期为，
先考虑，
此时，
令，可得，，
故上有个零点，同理可得上有2026个零点，
综上，在上有4052个零点，D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】不等式，即，因此解集为，
若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
有（等号不同时成立），解得，经验证，符合题意.
故答案为：.
13. 已知向量，，若在方向上的投影向量为，则________．
【答案】
【解析】设的夹角为，
由题意在方向上的投影向量为，
所以，解得，
故答案为：
14. 在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为_________.
【答案】
【解析】在底面中，，，
由余弦定理，可得，
设的外接圆圆心为，半径为，三棱锥外接球的球心为，半径为，
在中，由正弦定理可得，解得，
因为平面，平面，且球心到点的距离相等，
所以球心到底面的距离为，
在中，，
故该三棱锥外接球的表面积为，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值．
【答案】解：（1）在中，，
代入整理得，
又因为，，所以，
所以，解得，
因为，所以，解得.
（2）因为是中点，所以，
两边平方得，
所以，即，
又由均值不等式可得，
当且仅当时等号成立，所以，
所以，即面积的最大值为.
16. 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，为正三角形，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：设中点为，连接，
因为四边形为菱形，，所以为正三角形，
又为正三角形，则，，
因为，所以，
所以，即，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）可知两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示坐标系，
则，，，，，
易知平面的一个法向量，设平面的法向量，
则，可得平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17. 在校园文化建设中，社团活动丰富多彩．学校为了解高一、二学生对手工制作社团的参与热情，将每月参与手工制作社团活动次数超过4次的学生认定为“积极参与”，每月参与手工制作社团活动次数不超过4次甚至从不参与的学生认定为“一般参与”．随机抽取100名学生，得到如下统计数据：
（1）依据的独立性检验，能否认为该校学生是否积极参与手工制作社团与年级有关联？
（2）该校学生小李周一、周二计划参与社团活动，且周一从手工制作社团、绘画社团中随机选一个．若周一选手工制作社团，周二选手工制作社团的概率为；若周一选绘画社团，周二选手工制作社团的概率为．求小李周二选绘画社团的概率．
（3）用频率估计概率，现从该校高一、二学生中随机抽取20名，记其中“积极参与”手工制作社团的学生人数为，记“”的概率为，求使取得最大值的的值．
参考公式及数据： 其中．
【答案】解：（1）零假设：该校学生积极参与手工制作社团与年级无关联，
根据列联表，由可得：
，
根据小概率值的独立性检验，我们没有充足的理由推断不成立，
所以认为该校学生积极参与手工制作社团与年级没有关联.
（2）设事件“周一选手工制作社团”，则“周一选绘画社团”，
设事件“周二选手工制作社团”，则“周二选绘画社团”，
由题意可知，，，
所以，
所以，即小李周二选绘画社团的概率为.
（3）由频率估计概率，从该校高一、二学生中随机抽取1名学生，该学生“积极参与”手工制作社团的概率，
则，
所以，
所以，
若，即，，解得，
若，即，，解得，
所以当时，最大.
18. 已知坐标平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程．
（2）设直线与曲线交于两点，，直线与直线的倾斜角互补．
①求的值；
②若，求面积的最大值．
【答案】解：（1）设圆心为，
由题意可得，整理得，
所以曲线的方程为.
（2）①设，，
因为两点在曲线上，则，，
则，同理，
联立，消去得，所以，，
因为直线与直线的倾斜角互补，
所以，
将，代入得，解得.
②由①可知联立，消去得，所以，，
又，解得，所以，
因为
，
点到直线的距离，
所以的面积，
令，则，由得，
所以，则，
令解得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，的面积最大，最大值为.
19. 已知函数，其中．
（1）求的单调区间；
（2）若函数有两个不相等的零点．
①求实数a 的取值范围；
②证明：.
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
求导得，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数的递减区间为，递增区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为；
当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为.
（2）①解：由（1）知，当时，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意；
当时，函数在处取得极大值，最多一个零点，不符合题意；
当时，函数在处取得极大值，最多一个零点，不符合题意；
当时，，
由函数有两个不相等的零点，得，则，
当从大于0的方向趋近于0时，趋近于正无穷大，函数在上有唯一零点；
而，函数在有唯一零点，
因此当时，函数有两个不相等的零点，
所以实数a 的取值范围是.
②证明：由①知，当时，函数有两个不相等的零点，不妨令，
令函数，求导得
，函数在上单调递减，
则，即当时，，于是，
因此，又，函数在上单调递增，
则，所以.
学生
参与热情
合计
积极参与
一般参与
高一学生
30
20
50
高二学生
25
25
50
合计
55
45
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828