2026届河北省八校高三上学期期中联考数学试卷（学生版）

这是一份2026届河北省八校高三上学期期中联考数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D. 1
3. 某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办了“校园安全知识”竞赛.现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生名，高中生名，经统计：名学生的平均成绩为74分，其中名初中生的平均成绩为72分，名高中生的平均成绩为分，则（ ）
A. 74B. 76C. 78D. 80
4. 已知等比数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. 5D. 15
5. 2024年10月30日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（ ）
A. 16种B. 32种C. 48种D. 64种
6. 如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知椭圆，直线恒过定点，且与交于，两点，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 图象的对称中心为
D. 不等式的解集为
10. 分别用表示中的最小者和最大者，记为.若，，则（ ）
A.
B. 函数有2个零点
C. 函数的图象关于轴对称
D. 关于的方程的所有解的乘积为
11. 已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集
C. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为
D. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知抛物线的焦点为，点在上，且，则到轴的距离为______．
13. 已知，则______．
14. 已知正方体的表面积为6，三棱柱为正三棱柱，若，，且在正方体的表面上，则当三棱柱的体积取得最大值时，__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在处的切线垂直于轴．
（1）求实数的值；
（2）求函数的极小值．
16. 如图，直角梯形中，，，，，，点为线段不在端点上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体．
（1）若，求的长；
（2）求异面直线与所成角余弦值的最小值．
17. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.
18. 在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球，则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，向袋中放入两个黑球并取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球．
（1）求第1轮试验成功的概率；
（2）某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例；
（3）记试验结束时，试验成功的概率为，证明：．
参考数据：，，，．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
19. 双曲线，射线和射线分别与交于点和点．
（1）求双曲线的离心率；
（2）作射线（异于与分别交于点，记的面积为．
①求证：；
②若，且，记，证明：．