上海市松江区2024-2025学年高三上学期期终教学质量诊断数学试卷（含答案）

这是一份上海市松江区2024-2025学年高三上学期期终教学质量诊断数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数y=1-2sin2x是( )
A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为π2的奇函数D. 最小正周期为π2的偶函数
2.某机构对2014年至2023年的中国新能源汽车的年销售量进行了统计，结果如图所示(单位：万辆)，则下列结论中正确的是( )
A. 这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为123
B. 这十年中国新能源汽车年销售量的极差为721
C. 这十年中国新能源汽车年销售量的第70百分位数为136.6
D. 这十年中的前五年的年销售量的方差小于后五年的年销售量的方差
3.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x-1)(x-3)+0.01，则关于函数y=f(x)在R上的零点的说法正确的是( )．
A. 有4个零点，其中只有一个零点在区间(-3,-1)上
B. 有4个零点，其中两个零点在区间(-3,-1)上，另外两个零点在区间(1,3)上
C. 有5个零点，两个正零点中一个在区间(0,1)上，一个在区间(3,+∞)上
D. 有5个零点，都不在(0,1)上
4.已知数列an的前n项和为Sn，设tn=Snn(n为正整数).若存在常数c，使得任意两两不相等的正整数i,j,k，都有(i-j)tk+(j-k)ti+(k-i)tj=c，则称数列an为“轮换均值数列”.现有下列两个命题：①任意等差数列an都是“轮换均值数列”.②存在公比不为1的等比数列bn是“轮换均值数列”.则下列说法正确的是( )
A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①､②都是真命题D. ①､②都是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知全集U=-1,0,1,2，集合A= x-1≤x≤1,x∈N，则A= ．
6.已知向量a=1,2,b=3,k，若a//b，则实数k= ．
7.已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=2x,x≤2,lg2x,x>2,则f(4)的值为 ．
8.若x+x25=a0x5+a1x6+a2x7+a3x8+a4x9+a5x10，则a3的值为 ．
9.设n≥1，m≥1，m、n∈N，等差数列an的首项a1=0，公差d≠0，若am=i=111ai，则m的值为 ．
10.设▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4，sinA+π3=0，▵ABC的面积为 3，则a的值为 ．
11.在▵ABC中，已知∠ACB=120∘,AB=2 7，若BC=2AC，则▵ABC的面积为 ．
12.已知圆柱M的底面半径为3，高为 3，圆锥N的底面直径和母线长相等.若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为 ．
13.(x+y)(x-y)6的展开式中，x4y3项的系数为 ．
14.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1､F2，P为椭圆上一点，且∠PF2F1=π3，若此椭圆的离心率为 3-1，则∠PF1F2的大小为 ．
15.徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上､下底面直径分别为30cm和26cm，下面圆台的上､下底面直径分别为24cm和18cm，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm，则该花盆上､下两部分母线长的总和为 cm．
16.已知定义域为A=1,2,3的函数y=f(x)的值域也是A，所有这样的函数y=f(x)形成全集B.设非空集合C⊆B且C中的每一个函数都是C中的两个函数(可以相同)的复合函数，则集合C的元素个数的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CDA=90∘，PA⊥平面ABCD，Q是PB的中点，PA=AD=DC=1,AB=2．
(1)证明：CQ//平面PAD；
(2)求点D到平面PAC的距离．
18.(本小题12分)
设函数y=f(x)的表达式为f(x)=sin(ωx)，其中ω>0．
(1)设ω=1，m∈R，若有且只有一个x0∈(0,m)，使得函数y=fx+π4取得最小值，求m的取值范围；
(2)若对任意的x∈R，皆有f(x)+f2π3-x=0成立，且函数y=f(x)在区间-π8,0上是严格增函数，求函数y=f(x)的最小正周期．
19.(本小题12分)
为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=2AD=200m，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN(底边MN⊥CD)种植观赏树木，其余区域种植花卉．设∠MOB=θ，θ∈0,π2．

(1)当θ=π3时，求▵PMN的面积；
(2)求三角形区域PMN面积的最大值．
20.(本小题12分)
已知椭圆C:x24+y23=1，F为椭圆C的右焦点，过点F的直线l交椭圆C于A、B两点．
(1)若直线l垂直于x轴，求椭圆C的弦AB的长度；
(2)设点P(-3,0)，当∠PAB=90°时，求点A的坐标；
(3)设点M(3,0)，记MA、MB的斜率分别为k1和k2，求k1+k2的取值范围．
21.(本小题12分)
已知定义域为D的函数y=f(x)，其导函数为y=f'(x)，若点x0,y0在导函数y=f'(x)图像上，且满足f'x0⋅f'y0≥0，则称x0为函数y=f(x)的一个“T类数”，函数y=f(x)的所有“T类数”构成的集合称为“T类集”．
(1)若f(x)=sinx，分别判断π2和3π4是否为函数y=f(x)的“T类数”，并说明理由；
(2)设y=f'(x)的图象在R上连续不断，集合M=xf'(x)=0 .记函数y=f(x)的“T类集”为集合S，若SÜR，求证：M≠⌀；
(3)已知f(x)=-1ωcs(ωx+φ)(ω>0)，若函y=f(x)的“T类集”为R时φ的取值构成集合A，求当φ∈A时ω的最大值．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.A
5.{-1,2}
6.6
7.2
8.10
9.56
10. 21
11.2 3
12.3
13.-5
14.π6/16π
15.5 17
16.2
17.【详解】(1)取PA的中点T，连接DT,TQ，
因为∠BAD=∠CDA=90°，所以AB//DC，AB=2,AD=1，
因为T,Q分别是PA,PB中点，得出TQ//AB//DC，TQ=12AB=DC，
所以四边形DCQT是平行四边形，所以DT//CQ，
DT⊂平面PAD，CQ⊄平面PAD，所以CQ//平面PAD；
(2)∠CDA=90∘，AC= AD2+DC2= 2，
PA⊥平面ABCD，AD,AC⊂平面ABCD，则PA⊥AD，PA⊥AC，
S▵PAC=12|AC|×|PA|=12× 2×1= 22，S▵ACD=12×|DC|×|AD|=12，
设点D到平面PAC的距离为d，由VD-PAC=VP-ACD，得13S▵PAC×d=13S▵ACD×|PA|，
即13× 22×d=13×12×1，得d= 22．
所以点D到平面PAC的距离为 22．

18.【详解】(1)当ω=1时，f(x)=sinx，
则y=fx+π4=sinx+π4，
当x∈(0,m)时，x+π4∈π4,m+π4，
因为有且只有一个x0∈(0,m)使得函数y=fx+π4取得最小值，
所以3π20，
∴f'x1⋅f'y10)，
f'(x)=-1ω(ωx+φ)'[cs(ωx+φ)]'=sin(ωx+φ)，
先证明ω≤π；
∵函数f(x)=-1ωcs(ωx+φ)(ω>0)的“T类集”为R，
∴对任意x0∈R，
令y0=f'x0，则y0⋅f'y0≥0，
∵函数f'(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的值域为[-1,1]，
∴当y0∈(0,1]时，必有f'y0≥0，
即f'(x)=sin(ωx+φ)≥0(ω>0)对于x∈(0,1]恒成立，
∴函数y=f'(x)的最小正周期T应有T2≥1-0，即T=2πω≥2，则ω≤π．
再证明0∈A，此时f'(x)=sin(ωx)，对于任意x0∈R,f'x0f'y0=y0sinωy0，
当y0=f'x0∈[0,1]时，0≤ωy0≤ω≤π，则f'y0∈[0,1],f'x0⋅fy0≥0，
当y0=f'x0∈[-1,0]时，-π≤-ω≤ωy0≤0，则f'y0∈[-1,0],f'x0⋅f'y0≥0，
∴φ=0时，函数f(x)=-1ωcs(ωx+φ)(ω>0)的“T类集”为R，即0∈A，
我们不难发现，上述过程中令ω=π也成立，
因此ω的最大值是π．