上海市徐汇区2024-2025学年高三上学期期终教学质量监测指标数学试卷（含答案）

这是一份上海市徐汇区2024-2025学年高三上学期期终教学质量监测指标数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。
1.已知a为正数，则“a>3”是“aa>a3”的( )．
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
2.已知事件A和事件B满足A∩B=⌀，则下列说法正确的是( )．
A. 事件A和事件B独立B. 事件A和事件B互斥
C. 事件A和事件B对立D. 事件A和事件B互斥
3.设f(x)=sinx-csxcsx-tanxtanx-sinx，若α、β为同一象限的角，且不存在α、β，使得f(α)f(β)0，则an满足“性质Ω”；
下列选项中正确的是( )
A. ①是真命题，②是真命题；B. ①是真命题，②是假命题；
C. ①是假命题，②是真命题；D. ①是假命题，②是假命题．
二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。
5.函数y=lg2(x2-1)的定义域为 ．
6.直线3x-y+1=0的倾斜角为 .(用反三角函数表示)
7.如果复数z满足i⋅z=1+2i(i为虚数单位)，则z= ．
8.在(x-2)6的二项展开式中，x3项的系数为 ．
9.设a>0且a≠1，则函数y=2+lgax的图像恒过的定点坐标为 ．
10.若某圆锥的底面半径为1，高为1，则该圆锥的侧面积为 .(结果保留π)
11.已知函数y=lg2x,x>0f(x),x0)．
(1)当函数y=f(x)的最小正周期为2π时，求y=f(x)+csx在0,π2上的最大值；
(2)若ω=2，且在▵ABC中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角A满足fA+π6=0，AB⋅AC=4，求a的最小值．
19.(本小题16分)
在一场盛大的电竞比赛中，有两支实力强劲的队伍甲和乙进行对决.比赛采用5局3胜制，最终的胜者将赢得10万元奖金，比赛过程中，每局比赛双方获胜的概率相互独立且甲队每局获胜概率为0.4，乙队每局获胜概率为0.6.比赛开始后，甲队先连胜两局，此时，主办方记录了两队队员在这两局比赛中的一些数据.甲队队员的击杀数(单位：个)数据如下：24,31,31,36,36,37,39,44,49,50；乙队队员的击杀数(单位：个)数据如下：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39.然而此时比赛场地突发技术故障，比赛不得不中止.请回答以下问题：
(1)根据目前情况(甲队已连胜两局)，写出甲､乙两队“采用5局3胜制”的比赛结果的样本空间；
(2)根据所给数据，绘制甲､乙两队队员的击杀数分布的茎叶图；
(3)在目前情况下(甲队已连胜两局)，估算甲乙两队获胜概率，并据此分配10万元奖金．
20.(本小题17分)
已知圆O:x2+y2=1，双曲线Γ:x2-y2b2=1，直线l:y=kx+b，其中k∈R,b>0．
(1)当b=2时，求双曲线Γ的离心率；
(2)若l与圆O相切，证明：l与双曲线Γ的左右两支各有一个公共点；
(3)设l与y轴交于点P，与圆O交于点A、B，与双曲线Γ的左右两支分别交于点C、D，四个点从左至右依次为C、A、B、D.当k= 22时，是否存在实数b，使得PA⋅PC=PB⋅PD成立？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．
21.(本小题17分)
双曲余弦函数cshx=ex+e-x2，双曲正弦函数sinhx=ex-e-x2．
(1)求函数cshx=ex+e-x2的单调增区间；
(2)若函数y=csh2x-asinhx在0,+∞上的最小值是14，求实数a的值；
(3)对任意x∈R,csh(x)≥csx+mx2恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.B
5.(-∞,-1)∪(1,+∞)
6.arctan3
7.2+i/i+2
8.-160
9.(1,2)
10. 2π
11.-3
12.144
13.6
14.9
15.1336
16.-12/-0.5
17.【详解】(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面BB1C1C∩平面ABC=BC，
由平面BB1C1C⊥平面ABC，得点C1在平面ABC上的射影在直线BC上，
点C1与其在平面ABC上的射影的距离h为点C1到平面ABC的距离，
直线CC1与直线CB的夹角即为侧棱CC1与底面ABC所成的角为60∘，
因此h=CC1sin60∘= 32BC= 3，而正▵ABC的面积S= 34BC2= 3，
所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=Sh=3．
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中，取A1B1的中点G，连接BG，FG，
在▵A1B1C1中，由F是A1C1的中点，得FG//B1C1，且FG=12B1C1，
而BC//B1C1且BC=B1C1，又E为棱BC的中点，则FG//BE，且FG=BE，
则四边形BEFG为平行四边形，EF//BG，又BG⊂平面ABB1A，EF⊄平面ABB1A1，
所以EF//平面ABB1A1．

18.【详解】(1)因为f(x)=sinωx(ω>0)且函数y=f(x)的最小正周期为2π，
所以T=2πω=2π，解得ω=1，所以f(x)=sinx，
则y=f(x)+csx=sinx+csx= 2sinx+π4，
由x∈0,π2，则x+π4∈π4,3π4，
所以当x+π4=π2，即x=π4时y=f(x)+csx取得最大值 2．
(2)当ω=2时，f(x)=sin2x，则fA+π6=sin2A+π3=0，
因为00,
又PA⋅PC=PB⋅PD，又C、A、B、D四个点在同一直线上，
∴PA|⋅|PC|=|PB|⋅|PD⇒|PA||PB|=|PD||PC|⇒x1x2=x4x3，
∴x1x2=x4x3，还可得x2x1=x3x4，
∴x1x2+x2x1=x4x3+x3x4,x12+x22x1x2=x32+x42x3x4,x1+x22x1x2=x3+x42x3x4，
即-2kb1+k22b2-11+k2=2kbb2-k22-2b2b2-k2，化简后可得：2b2k2+1=b2-1k2-b2，
k= 22代入后化简可得：4b4+b2-3=0，解得b=± 32，由b>0，得b= 32．
经检验，此时l与Γ两支分别有交点，
∴b= 32为唯一满足条件的实数b．

21.【详解】(1)由cshx=ex+e-x2，x∈R，
则(cshx)'=ex-e-x2，令(cshx)'=0，解得x=0，
当x>0时，(cshx)'=ex-e-x2>0，则双曲余弦函数在(0,+∞)单调递增；
当x0，
所以t=ex-e-x在[0,+∞)上是严格增函数，
则当x∈[0,+∞)时，t∈[0,+∞),
函数y=12t2-a2t+1=12t-a22-18a2+1，
当a0时，ymin=-18a2+1=14，解得a= 6．
综上所述，实数a的值为 6．
(3)①证明sinh(x)≥x≥sinx,x∈[0,+∞),
令t(x)=sinh(x)-x,x∈[0,+∞),
则t'(x)=csh(x)-1=ex+e-x2-1≥2 ex⋅e-x2-1≥0，
所以t(x)=sinh(x)-x在[0,+∞)上单调增，则t(x)≥t(0)=0，
则当x∈[0,+∞),sinh(x)-x≥0，即sinh(x)≥x成立；
令s(x)=x-sinx,x∈[0,+∞),
则s'(x)=1-csx≥0，
所以s(x)在[0,+∞)上单调增，则s(x)≥s(0)=0，
则当x∈[0,+∞),x-sinx≥0，即x≥sinx成立；
故sinh(x)≥x≥sinx,x∈[0,+∞)，得证．
②证明csh(x)-csx-x2≥0，
令g(x)=csh(x)-csx-x2,g(0)=0,g'(x)=sinh(x)+sinx-2x,g'(0)=0，
令h(x)=g'(x)=sinh(x)+sinx-2x,h'(x)=csh(x)+csx-2为偶函数．
令c(x)=h'(x)=csh(x)+csx-2，且c(0)=0，
则当x∈[0,+∞)时，由①结论可知，c'(x)=sinh(x)-sinx≥x-sinx≥0，
则c(x)≥c(0)=0，即当x∈[0,+∞)时，h'(x)≥0，
由偶函数性质得x∈R,h'(x)≥0，从而g'(x)=sinh(x)+sinx-2x单调增，又g'(0)=0，
所以当x∈(-∞,0)时，g'(x)1，所以c1(0)=h'1(0)=2-2m0，使得c1x0=h'1x0=c1-x0=0，
从而当x∈0,x0时，c1(x)≤0，即h1'(x)≤0，则h1(x)在0,x0单调递减；
当x∈x0,+∞时，c1(x)≥0，即h1'(x)>0，则h1(x)在x0,+∞单调递增；
又h1(0)=0,x→+∞时，h1(x)→+∞，
所以存在x1>0，使得h1x1=0，
即有当x∈0,x1时，h1(x)≤0，即g1'(x)≤0，则g1(x)在0,x1时单调递减；
当x∈x1,+∞时，h1(x)≥0，即g1'(x)≥0，则g1(x)在x1,+∞时单调递增；
又g1(0)=0,x→+∞时，g1(x)→+∞，
所以存在x2>0，使得g1x2=0，当x∈0,x2时，g1x21，都存在x，使得f(x)=csh(x)-csx-mx2