河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2025~2026学年高二上期（9月）月考数学测试试卷（历史方向）含解析

这是一份河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2025~2026学年高二上期（9月）月考数学测试试卷（历史方向）含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．
C．D．
3．设，，向量，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．30海里
7．在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一个盒子内装有6张大小和形状完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数满足，若，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9．空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（ ）
A．B．
C．D．
A．若是对立事件，且，则
B．若是对立事件，则
C．若是互斥事件，，，则
D．若是互斥事件，，则
11．在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，则（ ）
A．与为异面直线
B．与所成的角为90°
C．平面截该正方体所得的截面形状为等腰梯形
D．，则点轨迹长度为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若，，则 ．
13．如图是棱长均为2的柏拉图多面体，已知该多面体为正八面体，四边形为正方形，、分别为、的中点，则点A到平面的距离为 .
14．设是定义在R上的奇函数，当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知，，，，，
(1)若、共线，求实数；
(2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围．
16．（15分）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为，且.
(1)求角；
(2)若，求取值范围.
17．（15分）某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
(1)若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？
(2)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率．
(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
18．（17分）如图所示，已知斜三棱柱中，在上和上分别有一点和，且.

(1)求证：，，共面；
(2)，且，点为侧棱上靠近点的四等分点，求直线与平面所成角的余弦值.
19．（17分）函数（，，，）的图象如图所示，图象最高点、最低点处分别记为，，在轴上的射影分别为，.已知图象过点，，，沿轴将坐标平面折叠，使平面平面，此时.
(1)求的解析式；
(2)求四面体外接球的表面积；
(3)若为已知图象上一点，且，设四面体外接球的半径为，求证：.
数学答案（历史方向）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
C
A
A
B
C
A
ACD
AC
ABD
12．/
13．1
14．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的模长公式以及可求出、的值，可得出向量、的坐标，根据、共线，可得出关于实数的不等式，解之即可；
（2）分析可知以及、不共线，结合空间向量的坐标运算可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为，，，，，
则，可得，，解得，
所以，，所以，，
因为，所以，解得．
（2）解；由（1）知，，，
因为向量与所成角为锐角，
所以，解得，
又当时，，
所以实数的范围为．
16．(1)；
(2).
【分析】（1）由已知及余弦边角关系得，再由三角形面积公式、差角正弦公式整理得，即可求角；
（2）由已知和三角形面积公式、三角形内角关系得、，利用正弦定理及三角恒等变换得，根据锐角三角形得，进而求的范围.
【详解】（1）由，则，
所以，则，
又，可得；
（2）由，且，
由正弦定理知，
所以，
由且，可得，则，
所以，故，即.
17．(1)73分合理
(2)
(3)22.25
【分析】（1）由题意知可得，计算可求得；根据小长方形的面积和为1求得，利用频率分布直方图计算第60百分位数即可；
（2）利用分层抽样可得两层应分别抽取4人和2人，分别记为，，，和，，
列出所有基本事件，根据古典概型计算即可得出结果；
（3）根据平均数和方差的计算公式求解即可.
【详解】（1）由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，，
解得，
又，解得，
所以，，
成绩落在内的频率为：，
落在内的频率为：，设第60百分位数为，
则，解得，所以晋级分数线划为73分合理；
（2）由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为，，，和，，
则所有的抽样有：，共15个样本点，
“抽到的两位同学来自不同小组”，
则共8个样本点，
所以.
（3）因为，所以，
所以，
所以，
剔除其中的96和84两个分数，设剩余8个数为，，，…，，
平均数与标准差分别为，，
则剩余8个分数的平均数：，
方差：
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据向量的运算及平面向量基本定理即可证；
（2）根据题中的条件分析，适当建立空间直角坐标系，用向量的方法来解.
【详解】（1）证明：因为，所以，.
，
即，由共面向量定理可知，，，共面.
故，，共面.
（2）设的中点为.因为，，所以为正三角形，
得，.又因，，
所以为正三角形，.
在中.，
由余弦定理可得，，
所以.又因，均为正三角形，所以，
且，平面，平面，
所以平面.因为平面ABC.
所以平面平面ABC.所以在平面内作，则平面ABC，
以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示：

则，，，.
设是平面的一个法向量.
，
则，即
取，则，，得.
由上知，
.
设直线与平面所成角为，，.
则
故直线与平面所成角的余弦值为.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）结合图象确定函数的最小正周期，根据周期公式求，由图象过点，列方程求， 由关系列方程，结合，求，由此可得结论，
（2）由条件利用余弦定理求，再求，再由正弦定理求的外接圆半径，再求四面体外接球的半径，根据球的表面积公式求结论，
（3）设，由向量夹角余弦公式和基本不等式可得，由此可求的范围，由此可求的范围，结合（2）可得结论，
【详解】（1）由题得，，所以，
由图象过点，，得，①
，②
由①②可得，
所以（舍去）或，，
因为，，，所以，又，
所以，
所以，所以，
代入①，解得，
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，平面，所以，
因为，，，
所以，即，又，
解得，，
所以.
（2）由（1），又，，
所以，，，故，，
在中，由余弦定理可得，，
设外接圆半径为，则，所以，
由（1），故，，，
所以，又平面平面，是截面圆的直径，
所以平面所在截面圆半径就是外接球半径，
所以四面体外接球的半径为，
所求外接球表面积.
（3）由题得，，设，
③
，
因为，所以，
即，所以，
又（为外接圆半径），
当且仅当时等号成立，此时，不满足，
所以等号取不到，所以，由（2）知.