河南省信阳高级中学贤岭校区2025-2026学年高二上期09月月考数学试卷

这是一份河南省信阳高级中学贤岭校区2025-2026学年高二上期09月月考数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知集合 A  {2, 1, 0,1, 2} ， B  x | x2  3x  2  0 ，则 A I ðR B  （ ）
2, 1, 0,1
2, 1, 0
C．0,1, 2
D．2, 0,1
已知直线l ，平面α,β，若l α，则“ l //β”是“α β”的（ ）
充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
在平面直角坐标系 xOy 中，α的始边为 x 轴的非负半轴，终边与单位圆交于点
P(x, 10 ) ，其中 x  0 ，则 3csα 2 sinα （ ）
102 sinα csα
A．11B． 11
7
C． 5
D．  7
5
袋子中有 6 个大小质地完全相同的球，其中 1 个黑球，2 个白球，3 个黄球，从中不放回地随机摸出 2 个球，能摸到白球的概率为（ ）
1238
A． 3B． 5C． 5D． 15
在V ABC 中， a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边，已知b  7, c  3, 7 sin A  a sin B ，则a 
2
（ ）
10
79
A．5B．8C． 2D．
4
已知2x  2x  2 y  3y  2z  lg z  5 ，则 x, y, z 的大小关系是（ ）
x  y  z
y  x  z
y  z  x
z  x  y
已知大小为60 的二面角α l  β棱上有两点 A ， B ， AC  α， AC  l ， BD  β，
10
BD  l ，若 AC  3 ， BD  3 ， AB  2
，则CD 的长为（）
21
A．22B．49C．7D．
已知函数 f  x  sin 2x φ 在 x  0, π  时满足 f  x  1 恒成立，且在区间 0, 3π  内，
3 22 

仅存在三个数x ， x ， x  x  x  x  ，使得 f  x   f  x   f  x   m ，则 x1  x  x3 

123123
（ ）
7π3π
123
11π
222
13π
A． 6B． 2C． 6D． 6
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个
选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选的得部分分，有选错的得 0 分.
已知复数 z1  a  i, z2  2  i ，其中a  R ， i 为虚数单位，则（ ）
z1
5
若a  2 ，则B．若 z1  2z2  0 ，则a  1
若 z1 z2 为实数，则a  2
若 z1 为纯虚数，则a  2
z
2
下列说法正确的是（ ）
若 P  A  P  B  1 ，则事件 A 与 B 是对立事件
设 A，B 是两个随机事件，且 P  A  1 ， P  B  1 ，若 P  AB  1 ，则 A，B 是相互
236
独立事件
，B 同时发生的概率一定比 A，B 中恰有一个发生的概率小
D．若 P  A  0 ， P  B  0 ，则“事件 A，B 相互独立”与“事件 A，B 互斥”一定不能同时成立
如图，在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中， E 为 DD1 的中点（ ）
BD1 ∥平面 ACE
BD1  AB1
若正方体的棱长为 1，则点 B 到平面 ACE 的距离为 6
6
直线 AD 与平面 ACE 所成角的正弦值为 6
3
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
已知向量a  2, 1, 3 ， b  2, 2,1 ，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标为．
某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序.则第一局比赛高一获胜的概率
为.
3
在四棱锥 P  ABCD 中，AB ，BC  3，AD  2 ，ABC  90 ，∠BAD  150 ，且 PA 
平面 ABCD ，过点 A 的平面α与侧棱 PB，PC，PD 分别交于点 E，F，G，若四边形 AEFG
为菱形，则 PA  ．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13 分）近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威
2  2 
胁，国际上常用身体质量指数BMI  体重kg
身高 m
衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的
BMI 数值标准是： BMI  18.5 为偏瘦； 18.5  BMI  23.9 为正常； 24  BMI  27.9 为偏胖； BMI  28 为肥胖．下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了 100 个居民体检数据，将其BMI 值分成以下五组： 12,16 ，16, 20 ， 20, 24 ， 24, 28 ， 28, 32，得到相应的频 率分布直方图．
根据频率分布直方图，求a 的值，并估计该社区居民身体质量指数BMI 的样本数据中位数；
现从样本中利用分层抽样的方法从16, 20 ，24, 28 的两组中抽取 6 个人，再从这 6 个人中随机抽取两人，求抽取到两人的BMI 值不在同一组的概率．
16．（15 分）正方体 ABCD  A1B1C1D1 的棱长为 2，点 E 、 F 分别是 B1C1 、C1D1 的中点，求：
直线 A1C 与 BE 所成的角的余弦值；
点 A 到平面 BDFE 的距离.
17．（15 分）记锐角V ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知a  2 ，
b cs B 
2 sin 2B .
求 A ；
3
求 1b  2c 的最大值.
18．（17 分）如图，在三棱锥 A  BCD 中，平面 ABD  平面 BCD ， AB  AD ， O 为 BD 的
3
中点， VOCD 是边长为 1 的等边三角形，且VA BCD  6 .
求直线CD 和平面 ABC 所成角的正弦值；
在棱 AD 上是否存在点 E ，使二面角 E  BC  D 的大小为45 ？若存在，并求出 AE 的值.
DE
1 x2
 2x, x  0,
x2 1, x  0,
19．（17 分）已知函数 f x  

若 f  x  g  x ，求 x 的取值范围．
g  x  2．

记max a, b  a a  b, 已知函数 y  max f  x , g  x  ax  2 有k 个不同的零点．
b(a  b),
①若k  2 ，求a 的取值范围；
α
β
②若k  3 ，且α,β是其中两个非零的零点，求 1  1 的取值范围．
河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）
2025-2026 学年高二上期 09 月测试（二）数学答案（物理方向）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
D
C
A
B
C
C
AC
BD
ABC
 333 
 2 ,  2 ,  1 

15．(1) a  0.04 ； 23
8
(2) 15
1
3
2 15
5
【分析】（1）根据频率分步直方图中所有矩形面积和为 1 计算a 的值，根据中位数左边的频率和为0.5 求解中位数即可；
（2）根据分层抽样的定义可求得在16, 20 ，24, 28 分别抽取2 人和4 人，再利用列举法即可求得概率.
【详解】（1）根据频率分步直方图可知组距为4 ，所有矩形面积和为1，所以0.01 a  0.1 0.08  0.02 4  1，解得a  0.04 ；
因为12,16 ，16, 20 两组频率之和为0.01 0.04 4  0.2 ，而20, 24 的频率为0.1 4  0.4 ，故中位数在20, 24 之间，设为 x ，
则0.2   x  20 0.1  0.5 ，解得 x  23 ，
即该社区居民身体质量指数BMI 的样本数据中位数为23 .
（2）由频率分步直方图可知16, 20 的频数为100  0.04  4  16 ， 24, 28 的频数为
100  0.08 4  32 ，
所以两组人数比值为1: 2 ，
按照分层抽样抽取6 人，则在16, 20 ， 24, 28 分别抽取2 人和4 人，记16, 20 这组两个样本编号为1, 2 ， 24, 28 这组编号为3,4,5,6 ，
故从6 人随机抽取2 人所有可能样本的构成样本空间：
  {1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 2, 6,
3, 4, 3, 5, 3, 6, 4, 5, 4, 6, 5, 6}
设事件 A  “从 6 个人中随机抽取两人，抽取到两人的BMI 值不在同一组”
则 A  1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 2, 6 ，
故 P  A 
8
15 .
8
15 ，即从这 6 个人中随机抽取两人，抽取到两人的BMI 值不在同一组的概率为
16．(1) 15
15
4
(2) 3
【分析】（1）根据空间向量的夹角即可求解线线角，
（2）根据空间向量即可求解点面距离.
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1 (2,0,2) ,C (0,2,0) ,B (2,2,0) ,E (1,2,2) ,
所以 A1C =(- 2,2,- 2) ,BE =(- 1,0,2) ,
设直线 A1C
与 BE 所成的角为θ，则
csθ =
cs
–––→ –––→
A1C ,BE
–––→ –––→
2 3´5
2 +0 - 4
A1C ×BE15
= –––→ –––→ ==，
A1C ×BE15
（2） D (0,0,0) ,B (2,2,0) ,F (0,1,2) ,则 DB =(2,2,0) ,DF =(0,1,2) ，
设平面 DBEF 的法向量为m   x, y, z  ， DA  2, 0, 0 ,
2x  2 y  0,

由m ^ DB,m ^ DF,得 y  2z  0,
取 z  1，则m  2, 2,1 ，
–––→ –→
DA×m = 4
所以点 A 到平面 BDFE 的距离为 –→
m3
17．(1) A  π
4
2
(2) 4
【分析】（1）根据二倍角公式化简，结合正弦定理可得角 A ；
（2）根据正弦定理进行边角互化，结合三角函数性质可得最值.
【详解】（1）由已知b cs B 
即b cs B  2 2 sin B cs B ，
又在V ABC 中， B  0, π  ，
2 sin 2B ，
2 

2
则cs B  0 ，
可得b  2 2 sin B ，即
b
sin B
 2，
又由正弦定理可知
a
sin A
b
sin B
c
sin C
 2 2 ，
2 2
即sin A  a
2 ，
2
又 A  0, π  ，
2 

所以 A  π ；
4
（2）由（1）可得b  2 2 sin B ， c  2 2 sin C ，
则 3 1b 
2c  2  6 
2 sin B  4 sin C ，
又在V ABC 中， sin C  sin  A  B  sin A cs B  cs Asin B 2 sin B  2 cs B ，
22
即 3 1b  2c  2  6  2 sin B  2 2 sin B  2 2 cs B
 2 6 sin B  2 2 cs B  4 2 sin  B  π  ，
6 

0  B  π
由2， π  B  π ，则 B  π  5π , 2π  ，
3ππ426 123 
0  B  
42
所以当 B  π  π ，即 B  π 时， 
1b 
2c  4 2 sin  B  π  取最大值为4.
2
6236 

18．(1) 2 5
5
1
(2)存在， 2
【分析】（1）首先求得CD, BC, OA ，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线CD 和平面 ABC 所成角的正弦值.
（2）设 AE  λAD 0  λ 1 ，利用二面角 E  BC  D 的大小列方程，求得λ，进而求得
AE DE .
【详解】（1）分别取 CB、CD 的中点为 F、G，连结 OF、OG，
∵ O 为 BD 的中点， VOCD 是边长为 1 的等边三角形，∴△BCD 是直角三角形，
 BD2  CD2
BD  2OD  2 ， CD  1， BC  3 ，
∵CB、CD 的中点为 F、G， ∴ OF //CD ， OG//BC ， OF  OG ，
∵ AB  AD ， O 为 BD 的中点，∴ OA  BD ，
又∵平面 ABD  平面 BCD ，平面 ABD  平面 BCD  BD ， OA  平面 ABD ，
∴ OA  平面 BCD ， OA 是三棱锥 A  BCD 底面 BCD 的高， V AOB 是直角三角形
∵V 1  OA S
 1  OA 2  1 3 ，∴ OA  1 ，
ABCD3
V BCD
346
3
以 O 点为坐标原点，分别以 OF、OG、OA 所在的直线为 x, y, z 轴，如图建立空间直角坐标系，
则O(0, 0, 0)
1
3
，F (, 0, 0) ，G(0,, 0) ，
A(0, 0,1)
， 1
B( , 
, 0) ， 1, 0) ，D(
1 ,, 0) ，
22
3
3
3
3
C( ,
–––→1
222 222
∴ CD  (1, 0, 0) ， BC  (0, 3, 0) ， AB  (, 
22
设n1  (x1 , y1 , z1 ) 是平面 ABC 的一个法向量，
, 1) ，

–→ –––→
n1  BC  0
 3y  0
1

则–→ –––→，即 13，

n1  AB  0 2 x1  2 y1  z1  0
–→
–––→
令 z1  1，则 x1  2 ， n1  (2, 0,1) ， n1  5 ， CD  1，
–→ –––→n1  CD2 5
–→ –––→
n1 CD
cs n1 , CD   5 ，
∴直线CD 和平面 ABC 所成角的正弦值等于 255 ；
（2）在棱 AD 上存在点 E ，使二面角 E  BC  D 的大小为45 .
设 AE  λAD 0  λ 1
3
–––→1
由（1）知， BC  (0, 3, 0) ， AB  (, 
22
, 1)
3
–––→ 1
–––→–––→ 13
AD    ,, 1 ， AE  λAD    2 λ, 2 λ, λ
 22
–––→–––→ –––→
 13
  13
 λ1
3 λ1
BE  AE  AB    2 λ, 2 λ, λ   2 ,  2 , 1    2 ,2, λ1
 
OA  0, 0,1 是平面 BCD 的一个法向量，

––→ –––→
n2  BC  0
设n2  (x2 , y2 , z2 ) 是平面 BCE 的一个法向量，则––→ –––→，
n2  BE  0
 λ1 x  3 λ1 y
 λ1 z  0


即222
 3y2  0
22，
取 x2  2 λ1 ， z2  λ1， n2  2λ 2, 0, λ1 ，
n2  OA
––→ –––→
––→ –––→
n2 OA
∵二面角 E  BC  D 的大小为45 ，
2
––→ –––→
∴ cs n2 , OA  2 ，
λ1
2λ 22  λ12
2
即，
2
整理得， 3λ2 10λ 3  0 ，解得，λ 1 或λ 3 （舍去），
3
–––→
所以， AE 
1 –––→
AD ， AE 
3
1 AD ，
3
所以，在棱 AD 上存在点 E ，使二面角 E  BC  D 的大小为45 ， AE  1 .

19．(1) 
2
2 ,1
DE2

2
(2)① 2, 02
 2；② 1  1 2 2, 
αβ
【分析】（1）根据题意，分 x 0,1 与 x 1, 0 代入计算，求解不等式，即可得到结果；
（2）（ⅰ）将问题转化为h  x  ax  2 的实根个数问题，然后求得1  x  
2 与
2
2  x  1
2
时，根的个数，从而可得a 的范围，即可得到结果；（ⅱ）结合（ⅰ）中的结论可得
1  1  3 a  1 1, a 0, 2 2  2，再由对勾函数的单调性，即可得到结果.
αβ4a
1 x2
1  x2
【详解】（1）由题意得函数 g  x 的定义域为1,1 ．当 x 0,1 时，不等式 f  x  g  x 等价于 x2 1  2当 x 1, 0 时，不等式 f  x  g  x 等价于2x  2
，显然满足条件；
，即2x2  1，
解得
2  x  0 ．
2
2

综上， f  x  g  x 的解集为

,1 ，
2

即当 x 的取值范围为 2 ,1 时， f  x  g  x 成立．
2

 f  x, 1  x   2 ,

（2）（ⅰ）令h  x  max f  x, g  x  


g  x, 
2
2  x  1,
2
原题可转化为h  x  ax  2 的实根个数问题（二重根为一个零点）．
当1  x  
2 时，即为 f  x  ax  2 ，所以2x  ax  2 至多一个实根①；
2
1 x2
当 2  x  1时，即为 g  x  ax  2 ，所以2
2
 ax  2 至多两个实根②．
x  22
2

由①知，
a  2  1, 
2 ) ，所以0  a  2
 2 ，此时①有一解；
由②知， 2

1 x2
2
 ax  2   x  1, 所以即求 y  2 1 x2，y  ax  2 的交点个数，
2
y  2
y2  2

2
 1,   x  1, y  0  ，为椭圆的一部分，y  ax  2 过椭圆的上顶点
1 x2
x
即
42
0, 2 ，
2
当 y  ax  2 过点  2 , 2  时， a  2
 2 ；当 y  ax  2 过点1, 0 时， a  2 ；
2

2
所以当若a  0 或a  2
2 或a  2 时，②有一个根或两个相等的根；若0  a  2
2 或
2
0  a  2 时，②有两个根；
综上所述，当k  2 时， a 的取值范围为2, 02 2  2.
2
（ⅱ）由（ⅰ）得当k  3 时， 0  a  2 2 ，且三个零点分别为 2 , 4a , 0 ，
显然α,β 0 ，所以 1  1  3 a  1 1, a 0, 2 2  2．
a  2
a2  4
αβ4a
易得函数 y  3 a  1  1 在0, 2 2  2 上单调递减，所以 y  3 a  1  1  2 2 ，
a4a
αβ
所以 1  1 2 2, ∞ ．
【点睛】关键点点睛：本题关键是分段讨论零点个数.